初一至初三数学全部知识点!!

第二章 有理数

整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。

任何一个有理数都可以在数轴上表示。

无限不循环小数和开平方开不尽的数叫作无理数 ,比如π，3.14159265357932384626......

而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数

其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。 有理数分为正数、0、负数 正数又分为正整数、正分数 负数又分为负整数、负分数

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。 ①加法的交换律 a+b=b+a； ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c； ③存在数0，使 0+a=a+0=a；

④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0； ⑤乘法的交换律 ab=ba； ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； ⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；

⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。 ⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。 0的绝对值还是0.

第二章 有理数加减混合运算

1.理数加减统一成加法的意义：

对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的方法和步骤：

（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 （2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。 一般情况下，有理数是这样分类的：

整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数

整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。

凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数

第三章 用字母表示数

代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如:ax＋2b，－2／3等。 全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。 这十条规则是：

五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；

两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；

三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数想乘；积的乘方等于乘方的积。

(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式。

(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．

求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．

(3)代数式的分类

把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。如2ab与－3ab，m2n与nm2都是同类项。特别地，所有的常数项也都是同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并（或合并同类项）。同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

第四章 一元一次方程

概述

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0。我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数，b是常数，a的次数是1。 性质

一.等式的性质一:等式两边加一个数或减一个数，等式两边相等。

二.等式的性质二:等式两边乘一个数或除以一个数（0除外），等式两边相等。 三.等式的性质二：两边都可以有未知数。 一元一次方程的解

1，当a≠0，b=0时，方程有唯一解，x=0； 2，当a≠0，b≠0时，方程有唯一解，x=-b/a。 一元一次方程与实际问题

一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如：

工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题。

第五章 走进图形世界

有的面是平面、有的面是曲面。

我们知道，面与面相交成线，在棱柱与棱锥中，面与面的交线叫做棱。（edge） 其中，相邻两个侧面的交线叫做侧棱 棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点(vertex) 棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。

棱柱的侧棱长相等，棱柱的上下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形。 棱锥的侧面都是三角形

图形都是由点(point)、线（line)、面(plane）构成。 第六章 平面图形的认识(一) 线段和直线的有关性质：

两点之间的所有连线中，线段最短。 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 线段的中点：

线段的中点把线段分成两条长度相等的线段。 角的平分线：

角的平分线把角分成两个度数相等的角。 线段长度的比较：

（1）度量法（先量出长度，再比较长度大小）

（2）重合法（两同条线段放在一条直线上，一个端点重合，观察另一端点位置。） 角的比较：

（1）用量角器度量角。

（2）重合法（把角的顶点和一条边分别重合，然后看另一边的位置，另一边在外面的角大） 角的两种定义：

1、角是由两条具有公共端点的射线组成的。

2、角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的。 角的有关性质：

1、同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 2、对顶角相等。 两直线平行的有关知识：

1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 两直线垂直的有关知识：

1、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

2、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3、过直线外一点作这条直线的垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段。垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

4、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

七年级下册

第七章 平面图形的认识(二)

同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角。

内错角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的内侧，且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角。

同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的你侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角。 同位角相等两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行

平移由两个方面所决定：平移的方向与平移的距离 某图形平移后所得的图形称为此图形的对应图形 平移不改变图形的大小与形状

图形经过平移后，连结各组对应点的线段平行（或在同一直线上），并且相等 三角形的定义：

由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三角

BA

边：组成三角形的三条线段

如右所示：线段AB、AC、BC就是三角形 的三条边

顶点：三角形任意两边的交点

如右所示：点A、B、C均为三角形的顶点

C通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个 三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系

如上图中，此三角形可以表示为△ABC，或△ACB或△BAC等等 内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角 例如△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角

边BC称为∠A所对的边，或顶点A所对的边，因此边BC也可以 表示为a

三角形的分类 1）按角分

锐角三角形：三个角都是锐角的三角形三角形直角三角形：有一个角为直角的三角形

钝角三角形：有一个角为钝角的三角形

2）按边分

不等边三角形：三个边均不相等三角形等腰三角形：有两个边相等的三角形

等边三角形：三边均相等的三角形三角形任意两边之和大于第三边

高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂 足之间的线段称为三角形的高 注：1）三角形的高必为线段

2）三角形的高必过顶点垂直于对边 3）三角形有三条高

在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三

角形的角平分线

注：1）三角形的角平分线必为线段，而一个角的角平分线为一条射线 2）三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做 三角形的中线

1）三角形的中线必为线段 2）三角形的中线必平分对边 直角三角形的两个锐角互余。

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 n边形的内角和等于（n-2）×180°

三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。 多边形的外角：多边形的一边与另一边的延长线所组成的角。

多边形每一顶点处有两个外角，这两个角是对顶角，n边形就有2n个外角。

多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

注：多边形的外角和并不是所有外角的和。

第八章 幂的运算

①a×a＝a⑥a＝

－nmnm＋n．②a÷a＝amnm－n．③(a)＝a．④(ab)＝ab．⑤()＝n．

mnmnnnnn1－nn0325624326

，特别：()＝()．⑦a＝1(a≠0)．如：a×a＝a，a÷a＝a，(a)＝a，na＝

，()－2＝()2＝，(－3.14)º＝1，(

－

)0

(3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝1．

第九章 从面积到乘法公式

完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 因式分解

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 ⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)； 完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3． 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。 （3）分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③ 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

第十章 二元一次方程组

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：代入消元法 加减消元法

二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解2.有无数组解3.无解

第十一章 图形的全等

全等三角形的对应边、对应角相等

边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 第十二章 数据在我们周围

为了一定的目的而对考察对象进行全面调查，称为普查。其中所考察对象的全体称为总体．．．．（population），而组成总体的每一个考察对象称为个体（individual）。 ．．．．

人们从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查（sampling investigation），其中从总体中抽取一部分个体叫做总体的一个样本（sample），样本中所抽取的这一部分个体的数量称为样本容量。 第十三章 感受概率

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。在一定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。随机事件发生的可能性有大有小，一个时间发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率。

八年级上册 第一章 轴对称图形

-----轴对称与轴对称图形

1． 什么叫轴对称：

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2． 什么叫轴对称图形：

如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别：

①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系：

①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。 4．线段的垂直平分线： l 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 （也称线段的中垂线） 5．轴对称的性质：

A B ⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 6．怎样画轴对称图形：

画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

------线段、角的轴对称性 l 1．线段的轴对称性： M ① 线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线， 另一条是这条线段的垂直平分线。

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2．角的轴对称性：

①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。 ②角平分线上的点到角的两边距离相等。

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合 O--------等腰三角形的轴对称性

1.等腰三角形的性质：

①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；

②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”) 2.等腰三角形的判定：

①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 3．等边三角形：

① 等边三角形的定义：

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 ② 等边三角形的性质：

等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 等边三角形的每个角都等于600。

EBDPACA B ③等边三角形的判定：

3个角相等的三角形是等边三角形； 有两个角等于600的三角形是等边三角形； 有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。 4．三角形的分类：

斜三角形：三边都不相等的三角形。 三角形 只有两边相等的三角形。 等腰三角形

等边三角形

----------等腰梯形的轴对称性

1.等腰梯形的定义：

①梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。

梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。 ③ 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2.等腰梯形的性质：

①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。 ②等腰梯形同一底上两底角相等。 ③等腰梯形的对角线相等。 3．等腰梯形的判定：

④ 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。 ⑤ 补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。

A D B C

第二章 勾股定理与平方根

----- 勾股定理、勾股定理的应用

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 数学式子：

∠C=900abc

A C b 2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：

222

如果三角形的三边长a、b、c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形. 数学式子：

abc∠C=900

满足a＋b＝c三个数a、b、c叫做勾股数。

3. 一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。

一个正数的平方根有两个，他们互为相反数。

0只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。

一般的，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也称为三次方根。 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。 常见的无理数有：⑴ 无限不循环小数：如0.010010001……

2

2

2

B a

c 222222⑵ 开不尽的根号：如3、5、34、37等

⑶ 圆周率：如-3.14、

4、近似数的认识：

实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。

取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

例如，圆周率π=3.1415926…

取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）

取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1） 取π≈3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01） 取π≈3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）

5、有效数字：

对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。

例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；

3.142有4个有效数字3，1，4，2.

等。 3第三章 中心对称图形(一)

-------中心对称与中心对称图形

1、图形的旋转：

在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

2、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

注意：①中心对称是旋转的一种特例，因此， 成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。

②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心， 并且被对称中心平分。 3、中心对称图形：

把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

4、中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 . 5、对比轴对称图形与中心对称图形： 轴对称图形 有一条对称轴——直线 沿对称轴对折 对折后与原图形重合 1、平行四边形的定义：

2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD.

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 2、平行四边形的性质：

①平行四边形的对边平行； ②平行四边形的对边相等； ③平行四边形的对角相等；

④平行四边形的对角线互相平分。 3、平行四边形的判定：

①2组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②2组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③2组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

------矩形、菱形、正方形

1、矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。 2、矩形的性质：

①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。 ③矩形的对角线相等；

④矩形的四个角都是直角。 3、矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有3个角是直角的四边形是矩形。 4、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

5、菱形的性质：

A D

中心对称图形 有一个对称中心——点 绕对称中心旋转180O 旋转后与原图形重合 -----------平行四边形 O B C

①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点。

③菱形的四条边相等；

④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 6、菱形的判定：

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边都相等的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 7、菱形的面积：

1S菱形=AC·BD

28、正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

9、正方形的性质：

①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。

A O D

B C ②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点。 10、正方形的判定：

①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②有一组邻边相等矩形形是正方形； ③有一个角是直角的菱形是正方形。

11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：

--------三角形、梯形的中位线

1、三角形的中位线：

⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。 ⑵三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 2、梯形的中位线：

⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。 ⑵梯形中位线的性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

第四章 数量、位置的变化

数量、位置的变化、平面直角坐标系

1、数量的变化：

⑴生活中处处有变化的数量关系，并且这些变化的数量之间往往有一定的联系；感受

用变化的观点分析数字信息的重要意义。

⑵实际问题中的数量常常会发生变化，表示这种变化通常有3种各具特色的表达方式——表格、图形、式子，可根据实际情况灵活选用。 2、位置的变化：

现实生活中，人们既关心事物的数量变化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车辆、飞行中的火箭、航行中的船只、移动中的台风等位置的变化。 3、平面直角坐标系：

⑴有关概念：平面上有公共原点且互相垂直的2条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

水平方向的数轴称为x轴或横轴；竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。

y 它们统称坐标轴。公共原点O称为坐标原点。 ⑵确定点的位置（点坐标）

①若平面内有一点P（如图），我们应该如何确定它的位置？ （过点P分别作x、y轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数，这样的有序实数对叫做点的坐标，可表示为P（a，b）

②若已知点Q的坐标为（m，n），该如何确定点Q的位置？ （分别过x、y轴上表示m、n的点作x、y轴的垂线，两线的交点即为点Q）

4、点坐标的特征：

⑴四个象限内点坐标的特征：

-4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 b P（a，b） · O 1 a 2 3 4 x 两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别记作第一、二、三、四象限。

⑵数轴上点坐标的特征：

x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a，0）； y轴上的点的横坐标为0，可表示为（0，b）。 ⑶象限角平分线上点坐标的特征：

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)。 ⑷对称点坐标的特征：

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a，b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a，-b)。

--------函数

1、常量和变量：

在数量和位置的变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。 2、函数：

⑴函数的定义：

一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 ．．

⑵函数的表示方法：

通常,表示2个变量之间的关系可用3种方法：表格、图形、式子。表示2个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。（函数解析式）

例如s=100t就是一个函数解析式。 ⑶函数自变量的取值范围：

自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。

例如式子y11中，能使它有意义的值是x3的一切实数，所以函数y的取x3x3值范围是x3的一切实数。

常见的使函数解析式有意义的式子有：

①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数； ④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

第五章 一次函数

-----------一次函数 1、一次函数与正比例函数的定义：

一般地，如果两个变量x与y之间的关系，可以表示为y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时， y叫做x的正比例函数。 2、如何求一次函数与正比例函数的解析式：

① 因为正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。 ②而一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。 3、一次函数的图象：

一般的，正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线，一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b个单位长度得到的一条直线。

因为一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线。所以在画一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y-kx+b。 4、一次函数的性质：

在一次函数y=kx+b中，

如果k>0，那么y的值随x的增大而增大； 如果k<0，那么y的值随x的增大而减小。 ☆补充性质：

在正比例函数y=kx中，

如果k>0，那么正比例函数的图象经过一、三象限； 如果k<0，那么正比例函数的图象经过二、四象限；

在一次函数y=kx+b中，

如果k>0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、三象限； 如果k>0、b<0，那么一次函数的图象经过一、三、四象限； 如果k<0、b>0，那么一次函数的图象经过一、二、四象限； 如果k<0、b<0，那么一次函数的图象经过二、三、四象限；

------------一次函数的应用

1、一次函数的应用：

用一次函数解决实际问题的步骤：(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；(3)利用一次函数的有关知识解题。

在一些具体生活问题中，常常数据较多，反映的内容也很复杂，如何把众多的信息组织起来是解题的核心，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径。在实际生活问题中，如何应用一次函数知识解题，关键是建立一次函数关系式，然后再根据一次函数的性质，综合方程知识求解。

在一次函数应用的过程中，要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数值时，也要结合实际舍去不符合题意的部分。 2、二元一次方程组的图象解法

⑴一次函数与二元一次方程的关系：

一般地，一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y+b=0的解；以二元一次方程kx－y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上。 ⑵两个一次函数与二元一次方程组的解的关系：

一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。

所以解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法。 用图象法解二元一次方程组的步骤如下：

①把二元一次方程化成一次函数的形式；

②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点； ③交点坐标就是方程组的解。

第六章 数据的集中程度

-----------数据的集中程度

1、 平均数：

一般地，对于n个数x1，x2，…，x n 我们把xx1x2xn 叫做这 n 个数的

n算术平均数，简称平均数，

平均数，它是显示出一组数据的集中趋势的特征数字，也就是说这组数据都“接近”哪个数。 补充公式：⑴如果在n个数中，x1出现f1 次，x2出现f2次，x3出现f3次，… …x n出现fn

次，（其中f1+f2+f3+……+fn=n），这n个数的平均数可表示为：

xx1f1x2f2x3f3xnfn

n⑵如果一组数据x1，x2，x3，……，x n的平均数为x，则一组新数据：

x1+a，x2+ a，x3+ a，……，xn+ a的平均数为：

xxa

举例说明：某班第一小组的同学的身高如下：（单位：㎝）：158，160，160，170，158，170，168，158，160，160，168，170。计算这组同学的平均身高。（精确到1㎝） 方法⑴ x1583160416821703163

3423方法⑵ 将各个数据同时减去160，得到-2，0，0，10，-2，10，8，-2，0，0，8，8

再计算这组新数据的平均数，得

x1(20010210820088)3.2 12 xx160163.2163

2、加权平均数： 在实际问题中，一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的，有时有些数据比其它数据更重要。所以，我们在计算这组数据时，往往给每个数据一个“权 ”。

加权平均数：如果在n个数中，x1出现f1 次，x2出现f2次，x3出现f3次，……x k出现f k

次，（其中f1+f2+f3+……+f k=n），则xx1f1x2f2x3f3xkfk

n 其中f1、f2、f3、……f k叫做权。（看例1） 3、中位数和众数：

一般地，n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势。一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。

八年级下册

第七章 一元一次不等式

一.等式的概念：

一般的，用符号“=”连接的式子叫做等式。 *等式的左右两边是代数式。

一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。 不等式中可以含有未知数，也可以不含）

用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式（linear ineqality with one unknown）。

不等式的性质：

1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4.不等式的两边都乘以0,不等号变等号。 不等式的基本性质

1.性质1：如果a>b,那么a±c>b±c

2.性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c) 3.性质3：如果a>b，c<0，那么ac3、移项 （运用不等式性质1）。 4、合并同类项。

5、将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2，3）。 （6、有些时候需要在数轴上表示不等式的解集） 二．一元一次不等式的解法及解集

1.解一元一次不等式的步骤：(1)去分母，(2)去括号，(3)移项，(4)合并同类项，(5)求得解集。

2.一元一次不等式的解集 将不等式化为aχ>b的形式 (1)若a>0，则解集为χ>b/a (2)若a<0，则解集为χ（1） 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x﹥5的一个解，7，8，9，…也是不等式x﹥5的解。

（2）一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x²﹥0的解集是所有非零实数。求不等式解集的过程叫做不等式。 6.数轴：

规定原点，方向，单位刻度的直线叫做数轴。

7.解不等式的五个步骤：（在运算中，根据不同情况来使用） （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项；

（5）两边同时除以x的系数。 8.一元一次不等式：

这些不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 9.一元一次不等式组：

（1） 一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。

（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 三. 不等式解集的表示方法：

（1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3。 （2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。

第八章 分式

形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的等式叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 掌握分式的概念应注意：

（1）分式的分母中必须含有未知数。

（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。分式的法则 分式的法则 1.约分：

把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。 2.分式的乘法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 3. 分式的加减法法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 4.通分：

异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2和2/3可化为9/6和4/6！即：3/2*3，2/3*2！ 5.异分母分式的加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

(1).定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式（fraction）。 注：A/B=A×1/B

(2).组成：在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。 (3).意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。

(4).分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分式值为0。

注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除

式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式的基本性质和变形应用

V.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

VI.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分． VII.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.

注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.

VIII.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.

IX.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.

X.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.

注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.

注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质2.(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程.

第三节 分式的四则运算

XI.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

XII.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

XIII.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.

XIV.分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

第四节 分式方程

XVI.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

XVII.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程

化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)....................................................

第九章 反比例函数

反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． ① k ≠ 0; ②一般情况下 , 自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数 ; ③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 . 反比例函数的图象属于双曲线,

曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）。 反比例函数性质

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。

2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

第十章 图形的相似

图形相似

如果两个图形形状相等,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：∽）

如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。 三角形相似

1.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例

4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 性质

1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

第十二章 认识概率

（1）频率=频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方

总数图中各个小长方形的面积为各组频率。 （2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

九年级上册 第二章 数据的离散程度

设有n个数x1，x2，…，xn，那么： ①平均数为：xx1x2......nxn；

②极差：

用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差： 数

据

x1、

x2……,

xn的方差为

s2，则

1s=

n2x1x2x2x2.....xnx2

标准差：方差的算术平方根. 数

据

x1、

2x2……,

2xn的标准

2差

s，则

s=

1nx1xx2x.....xnx

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。

第三章 二次根式

I.二次根式的定义和概念：

1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√ā表示a的算数平方根,√0=0 当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。 II.二次根式√ā的简单性质和几何意义 1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]

2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] III.二次根式的性质和最简二次根式 1）二次根式√ā的化简 a(a≥0） √ā=|a|={ -a(a＜0)

2）积的平方根与商的平方根 √ab=√a·√b（a≥0，b≥0） √a/b=√a /√b（a≥0，b>0） 3）最简二次根式 条件：

（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；

（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；

IV.二次根式的乘法和除法 1 运算法则

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0） √a/√b=√a /√b（a≥0，b>0）

二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2 共轭因式

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法 1 同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 VII.分母有理化

分母有理化有两种方法 I.分母是单项式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b 如图

II.分母是多项式 要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图

根式中不能含有分母, 分母中不能含有根式.

第四章 一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高项的次数和是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0）ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数a≠0) 一般解法 1.配方法

（可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 解：把常数项移项得：x^2+2x=3

等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1）^2=4 解得：x1=-3,x2=1

用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 2.公式法

（可解全部一元二次方程）

其公式为x＝（-b±√（b^2－4ac））/2a 3.因式分解法

（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。 如：解方程：x^2+2x+1=0

解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1）^2=0 解得：x1=x2=-1 4.开方法

（可解全部一元二次方程） 5.代数法

（可解全部一元二次方程） ax^2+bx+c=0

同时除以a，可变为x^2+bx+c=0 设：x＝y-b/2

方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 再变成：y^2+(b^2*3)/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c]

如何选择最简单的解法：

1、看是否可以直接开方解；

2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）； 3、使用公式法求解；

4、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。一元二次方程的判断式：

b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根． b^2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根．

b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根（初中可理解为无实数根）．

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 列一元二次方程解题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答案是否符合题意，并做答． 韦达定理X1+X2= -b/a

X1*X2=c/a

第五章 中心对称图形(二)

圆

定义

圆的定义有2

其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。

其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 概括

把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。圆心定圆的位置，半径和直径定圆的大小。在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是半径的2倍，半径是直径的1/2。 用字母表示是：d=2r或r=d/2 圆的相关量

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小数通常用π表示，π=3.1415926535...，在实际应用中我们只取它的近似值，即π≈3.14（在奥数中一般π只取3、3.1416或3.14159）

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦，弦不能过圆心（过圆心的为直径）。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。 【圆和圆的相关量字母表示方法】

圆—⊙ 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母） 弧—⌒ 直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 【圆和其他图形的位置关系】

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。 【圆的平面几何性质和定理】 一有关圆的基本性质与定理

⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。

圆与直线相切

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。 ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：面积，L：周长） ④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。 （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o或⊙表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数，用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

九年级下册 第六章 二次函数

1.定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

2a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 当a0时 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) yax2 yaxk 2x0（y轴） x0（y轴） yaxh 2开口向上 当a0时 开口向下 xh (h,0) (h,k) yaxhk 2xh xb 2ayax2bxc b4acb2，() 2a4a4.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb22（，） （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，2a4a2a4a对称轴是直线x2b. 2a2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶

点为(h,k)，对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的

交点是顶点。

(x2,y)（及y值相同） 若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：

x1x2 229.抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用

x （1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线

22bb

，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴2aa

b在y轴左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

a2 （3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.

x 当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半

轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22b0. a2 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.

12.直线与抛物线的交点

2 （1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c).

（2）抛物线与x轴的交点

二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次

方程

2ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根

的判别式判定：

①有两个交点(0)抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切； ③没有交点(0)抛物线与x轴相离. （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐

标为k，则横坐标是axbxck的两个实数根.

（4）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的

22交点，由方程组

ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

l与G有两个交点; ②方

程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为

2Ax1，0，Bx2，0，则ABx1x2

第七章 锐角三角函数

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边， 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边； 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数， 2、互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 3、同角三角函数间的关系 平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 4、三角函数值

（1）特殊角三角函数值

（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0.