2022年福建福州中考数学试题及答案

2022年福建福州中考数学试题及答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. －11的相反数是（ ） A. －11 【答案】D

2. 如图所示的圆柱，其俯视图是（）

B. 1 11C.

1 11D. 11

A. B.

C. D.

【答案】A

3. 5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（） A. 13976103

B. 1397.6104

C. 1.3976107

D.

0.13976108

【答案】C

4. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）

A. B.

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C. D.

【答案】A

5. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）

A. 2 【答案】B 6. 不等式组A. x1 【答案】C 7. 化简3a2A. 9a2 【答案】C

8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．

B. 2

C. 5 D. π

x10的解集是（ ）

x30B. 1x3

C. 1x3

D. x3

2的结果是（ ）

B. 6a2

C. 9a4

D. 3a4

综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ） A. F1 【答案】D

9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，ABC27，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin270.45，cos270.，tan270.51）

B. F6

C. F7

D. F10

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A. 9.90cm 22.44cm 【答案】B

10. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中ABC90，CAB60，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到ABC，点A对应直尺的刻度为0，则四边形ACCA的面积是（ ）

B. 11.22cm

C. 19.58cm

D.

A. 96

B. 963 C. 192 D.

1603 【答案】B

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 四边形的外角和等于_______. 【答案】360°．

12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．

【答案】6

13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．

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【答案】

3 514. 已知反比例函数y

k

的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是x

______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一 负数即可）

15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令xm， 等式两边都乘以x，得x2mx．①

等式两边都减m2，得x2m2mxm2．②

等式两边分别分解因式，得xmxmmxm．③ 等式两边都除以xm，得xmm．④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 【答案】④

16. 已知抛物线yx2xn与x轴交于A，B两点，抛物线yx2xn与x轴交于

22C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．

【答案】8

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：4【答案】3 【详解】解：原式23113120220．

3．

18. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

【答案】见解析

【详解】证明：∵BF＝EC，

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∴BFCFECCF，即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中，

ABDE

BE， BCEF

∴△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D．

21a119. 先化简，再求值：1，其中a21．

aa【答案】

12，． a12a1a1

【详解】解：原式a1aaa1a aa1a11． a1当a21时，原式12． 211220. 学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为0t1，B组为1t2，C组为2t3，D组为3t4，E组为4t5，F组为t5．

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（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．

【答案】（1）活动前调查数据的中位数落在C组；活动后调查数据的中位数落在D组 （2）1400人 【小问1详解】

活动前，一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数， ∴活动前调查数据的中位数落在C组；

活动后，A、B、C三组的人数为50(6%8%16%)15（名），

D组人数为：5030%15（名），15+15=30（名）

活动后一共调查了50名同学，中位数是第25和26个数据的平均数， ∴活动后调查数据的中位数落在D组； 【小问2详解】

一周的课外劳动时间不小于3h的比例为30%24%16%70%，200070%1400（人）；

答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．

21. 如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

（1）求证：AC＝AF；

（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AC的长（结果保留π）． 【答案】（1）见解析（2）【小问1详解】

∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠B＝∠D．

又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，

5 2好好学习 天天向上 6

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∴AFCACF， ∴AC＝AF． 【小问2详解】 连接AO，CO．

由（1）得∠AFC＝∠ACF， 又∵∠CAF＝30°，

1803075，

∴AFC2∴AOC2AFC150．

15035．

∴AC的长l180222. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】（1）购买绿萝38盆，吊兰8盆 （2）369元 【小问1详解】

设购买绿萝x盆，购买吊兰y盆 ∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆 ∴xy46

∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元 ∴9x6y390

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xy46得方程组

9x6y390x38解方程组得

y8∵38>2×8，符合题意 ∴购买绿萝38盆，吊兰8盆； 【小问2详解】

设购买绿萝x盆，购买吊兰吊y盆，总费用为z ∴xy46，z9x6y ∴z4143y

∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍 ∴4143y390

x2y4143y390

46y2y将x46y代入不等式组得∴8y46 3∴y的最大值为15

∵z3y414为一次函数，随y值增大而减小 ∴y15时，z最小 ∴x46y31 ∴z9x6y369元

故购买两种绿植最少花费为369元． 23. 如图，BD是矩形ABCD的对角线．

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tanADB的值．

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【答案】（1）作图见解析 （2）512 【小问1详解】

解：如图所示，⊙A即为所求作：

【小问2详解】

解：根据题意，作出图形如下：

设ADB，⊙A的半径为r，

∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又AEAGr， ∴四边形AEFG是正方形， ∴EFAEr，

在Rt△AEB和Rt△DAB中，BAEABD90，ADBABD90， ∴BAEADB， 在Rt△ABE中，tanBAEBEAE， 好好学习 天天向上 9

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∴BErtan， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，

∴ABECDF，又AEBCFD90， ∴△ABE≌△CDF， ∴BEDFrtan，

∴DEDFEFrtanr， 在Rt△ADE中，tanADEAE，即DEtanAE， DE∴rtanrtanr，即tan2tan10， ∵tan0， ∴tan51，即tan∠ADB的值为51． 2224. 已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若BADBCD，求∠ADB的度数．

【答案】（1）见解析（2）ACEEFC180，见解析 （3）30° 【小问1详解】 ∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC， ∵CB平分∠ACD，

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∴ACBDCB， ∴ABCDCB， ∴AB∥CD，

∴四边形ABDC是平行四边形， 又∵AB＝AC，

∴四边形ABDC是菱形； 【小问2详解】

结论：ACEEFC180． 证明：∵△ABC≌△DEC， ∴ABCDEC， ∵AB＝AC，

∴∠ABCACB， ∴ACBDEC，

∵ACBACFDECCEF180， ∴ACFCEF，

∵CEFECFEFC180， ∴ACFECFEFC180， ∴ACEEFC180； 【小问3详解】

在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，

∵AB＝CD，BADBCD， ∴△ABM≌△CDB， ∴BM＝BD，MBABDC， ∴ADBBMD，

∵BMDBADMBA， ∴ADBBCDBDC，

设BCDBAD，BDC，则ADB， ∵CA＝CD，

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∴CADCDA2， ∴BACCADBAD2， ∴ACB1180BAC90， 2∴ACD90，

∵ACDCADCDA180， ∴9022180， ∴30，即∠ADB＝30°．

25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；

（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断理由．

S1S2是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明S2S3416x

【答案】（1）yx233（2）存在，2,（3）存在，

16或（3，4） 39 8【小问1详解】

解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入yax2bx，

16a4b0得，

ab4好好学习 天天向上 12

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解得a43．

16b3所以抛物线的解析式为y4163x23x． 【小问2详解】

设直线AB的解析式为ykxtk0， 将A（4，0），B（1，4）代入ykxt， 得4kt0，

kt44解得k3．t16

3所以直线AB的解析式为y43x163． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以S△PABS△PNBS△PNA

1PNBE122PNAM

12PNBEAM 32PN． 因为A（4，0），B（1，4），所以S△OAB12448． 好好学习 天天向上 13

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因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以23PN8，PN8． 232416m1m4，则Nm,4m16．

设Pm,m3333416m4m168， 所以PNm233333即4m220m168， 3333解得m12，m23．

16所以点P的坐标为2,或（3，4）．

3【小问3详解】

PD∥BO OBC∽PDC CDPDPC BCOBOCS1S2CDPC2PD S2S3BCOCOB记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．则

如图，过点B,P分别作x轴的垂线，垂足分别F,E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G

B1,4，

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F1,0

OF1

PD∥OB,DG∥OF

DPG∽OBF PDOBPGDGBFOF， 设Pm,4m23163m1m4

直线AB的解析式为y43x163． 设Dn,4163n3，则Gm,43n163 PG41163m23m3n3

43m24mn4 DGmn

4(m24mn4)3mn4

1整理得4nm2m4 S1SS2CDPCOC2PDOB 2S3BC2DGOF 2mn

2m2m4m4

12m25m4 15292m28

m5S12时，

S29S取得最大值，最大值为 2S38好好学习 天天向上 15

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