高考数学一轮复习复习专题讲座2三角函数解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略

求解策略

1．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选B.(a＋2b)·(a－3b)＝－18，

22

所以a－6b－a·b＝－18， 因为|a|＝3，|b|＝2， 所以9－24－a·b＝－18， 所以a·b＝3，

a·b31

所以cos〈a，b〉＝＝＝，

|a||b|62

所以〈a，b〉＝60°. 2．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图像如图所示，点B，

→→→→

C是该图像与x轴的交点，过点C的直线与该图像交于D，E两点，则(BD＋BE)·(BE－CE)的值为( )

A．－1 1C. 2

1B．－

2D．2

→→→

解析：选D.注意到函数f(x)的图像关于点C对称，因此C是线段DE的中点，BD＋BE＝2BC.→→→→→→112π→→→→→2

又BE－CE＝BE＋EC＝BC，且|BC|＝T＝×＝1，因此(BD＋BE)·(BE－CE)＝2BC＝2.

22π3．(2015·高考重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________． 解析：

如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，

sin Bsin∠ADB所以sin∠ADB＝2

.所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°. 2

ADAB 所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以BC＝AB＝2.在△ABC中，由正弦定理，得，所以AC＝6.

sin ∠BACACsin B＝

BC答案：6 4．(2015·高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内递增，且函数y＝f(x)的图像关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx

π＝2sinωx＋， 4

因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图像关于直线x＝ω对称，

πππ2

所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω＝＋

424

2kπ，k∈Z.

2πωπ2

又ω－(－ω)≤，即ω≤，

22

π2

所以ω＝，

4所以ω＝答案：5.

π. 2

π 2

已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)

A>0，ω>0，|φ|<π，x∈R的图像的一部分如图所示． 2(1)求函数f(x)的解析式；

2(2)当x∈－6，－时， 求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． 3

解：(1)由题图知A＝2，T＝8，

2π

因为T＝＝8，

ωπ

所以ω＝. 4

又图像经过点(－1，0)，

π所以2sin－＋φ＝0. 4ππ

因为|φ|<，所以φ＝.

24

ππ

所以f(x)＝2sinx＋.

44

(2)y＝f(x)＋f(x＋2)

πππππ

＝2sinx＋＋2sinx＋＋

42444πππ

＝22sinx＋＝22cosx.

244

2因为x∈－6，－， 3

3πππ所以－≤x≤－. 246

ππ2

所以当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；

463π

当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22. 4

6．(2015·高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A；

(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．

解：(1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A＝3.

π

由于0＜A＜π，所以A＝.

3222

(2)法一：由余弦定理，得a＝b＋c－2bccos A，

π

而a＝7，b＝2，A＝，

3

22

得7＝4＋c－2c，即c－2c－3＝0. 因为c＞0，所以c＝3.

133

故△ABC的面积为bcsin A＝.

2272

法二：由正弦定理，得＝，

πsin Bsin 3从而sin B＝

21. 7

27

又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝. 7

π故sin C＝sin(A＋B)＝sinB＋

3ππ321

＝sin Bcos＋cos Bsin＝.

3314133

所以△ABC的面积为absin C＝.

22

1．已知函数f(x)＝2cosx＋23sin xcos x(x∈R)．

π(1)当x∈0，时，求函数f(x)的递增区间；

2

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．

ππ2

解：(1)f(x)＝2cosx＋3sin 2x＝cos 2x＋3sin 2x＋1＝2sin2x＋＋1，令－＋2k62

ππ

π≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

62ππππ解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，因为x∈0，，所以f(x)的递增区间为0，.

2636

ππ1(2)由f(C)＝2sin2C＋＋1＝2，得sin2C＋＝， 662

2

ππ13ππ5π

而C∈(0，π)，所以2C＋∈，，所以2C＋＝π，解得C＝.因为向量m＝666663

sin A1

(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，所以＝. sin B2

a1

由正弦定理得＝，①

b2

π222

由余弦定理得c＝a＋b－2abcos，

3

22

即a＋b－ab＝9.②

联立①②，解得a＝3，b＝23.

2．(2015·高考福建卷)已知函数f(x)＝103sin cos ＋10cos. 222

(1)求函数f(x)的最小正周期；

π

(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数

6

g(x)的图像，且函数g(x)的最大值为2. ①求函数g(x)的解析式；

②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0. 解：(1)因为f(x)＝103sin cos ＋10cos

222

＝53sin x＋5cos x＋5

π

＝10sin(x＋)＋5，

6

所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.

π

(2)①将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图像，再向下平移a(a6

＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图像． 又已知函数g (x)的最大值为2， 所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sin x－8.

②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8＞0，

4

即sin x0＞. 543π4由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝. 5235由正弦函数的性质可知，

4

当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞.

5

因为y＝sin x的周期为2π，

所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，

4

均有sin x＞.

5

π

因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，

3

4

所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞.

5

即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.

xx2

xxx2

x