1989高考数学全国卷及答案理

考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选

错一律得0分）

1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集，那么

MN等于 （ A ）

（A） （B）{d} （C）{a,c} （D）{b,e}

2．与函数y=x有相同图象的一个函数是 （ D ）

x2（A）yx （B）y

x2（C）yalogax.其中a0,a1. （D）ylogaax.其中a0,a1.

3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A）43 （B）22 （C）23 （D）42

4．cos[arcsin()arccos()]的值等于 （ A ） （A）-1 （B）7710 （C） （D） 2525545355．已知{an}是等比数列，如果a1a2a318,a2a3a49, 且Sna1a2an,那么limSn的值等于 （ B ）

n（A）8 （B）16 （C）32 （D）48

6．如果|cos|,3,那么sin的值等于 （ C ） （A）10101515 （B） （C） （D） 5555155227．设复数z满足关系式z|z|2i，那么z等于 （ D ） （A）i （B）i （C）i （D）i

8．已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）5 9．已知椭圆的极坐标方程是（A）

5,那么它的短轴长是（C ）

32cos3434343410 （B）5 （C）25 （D）23 3x2y210．如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么

6436点P到它的右准线的距离是 （ D ） （A）10 （B）

32327 （C）27 （D）

5711．已知f(x)82xx2,如果g(x)f(2x2),那么g(x) （ A ） （A）在区间（-1，0）上是减函数 （B）在区间（0，1）上是减函数 （C）在区间（-2，0）上是增函数 （D）在区间（0，2）上是增函数

12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A）60个 （B）48个 （C）36个 （D）24个

二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）

13．方程sinx3cosx2的解集是_________________

答案：{x|x2k7,或x(2k1),kZ} 1212或{x|xk(1)k,kZ}

4314．不等式|x23x|4的解集是____________________ 答案：{x|x1,或x4}

ex115．函数yx的反函数的定义域是_____________

e1答案：（-1，1）

16．已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7,那么a1a2a7____答案：-2

17．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_______条件;A是B的______条件 答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）

18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO之间的距离等于________________ 答案：

33 2 A O O B

三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）

19．（本小题满分8分）

3xx2sinxtg 22cosxcos2x3xx3xx3xxsinsinsincoscossin3xxsinx222222证：tgtg

3xx3xx3xx22coscoscoscoscoscos222222证明：tg2sinx

cosxcos2x20．（本小题满分10分）

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB

D1 C1

（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD A1 B1

D C

的射影O在∠BAD的平分线上; N O

A M B

⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=.

3（Ⅱ）求这个平行六面体的体积 （Ⅰ）证：连结A1O，则A1O⊥底面ABCD作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥

AD交AD于N，连结A1M，A1N

由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M= A1N∴OM=ON ∴点O在∠BAD的平分线上

1333,∴AO=AMcsc2. 3224299又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12-AO2=9,

2233∴A1O=2.∴平行六面体的体积V=542302.

22（Ⅱ）∵AM=AA1cos21．（本小题满分10分）

自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆

x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程 解：已知圆的标准方程是 （x-2)2+(y-2)2=1,

A Y

C O X C

它关于x轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1, 设光线L所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k待定）

由题设知对称圆的圆心C（2，-2）到这条直线的距离等于1，即

d|5k5|1k2.整理得:12k225k120,34解得:k,或k.4334

故所求的直线方程是y3(x3),或y3(x3), 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）

已知a0,a1,试求使方程loga(xak)loga2(x2a2)有解的k的取值范围 43解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足

(xak)2x2a2,(1)(2) xak0,x2a20.(3)当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解

(xak)2x2a2,(1) (2)xak0,由（1）得2kxa(1k2)(4)

当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k≠0时，（4）的解是

1(1k2)x.2k1k2(5)把（5）代入（2）k. ，得

2k解得：k1或0k1.

综合得，当k在集合(,1)(0,1)内取值时，原方程有解 23．（本小题满分10分）

是否存在常数a,b,c使得等式

122232n(n1)2n(n1)(an2bnc)对一切自然数n都成立？并12证明你的结论 解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得

abc24,4a3bc44,解得:a3,b11,c10. 9a3bc10.于是，对n=1,2,3下面等式成立：

122232n(n1)2n(n1)(3n211n10). 12记Sn122232n(n1)2.

k(k1)(3k211k10), 12k(k1)(3k211k10)(k1)(k2)2 那么Sk1Sk(k1)(k2)212k(k1)(k2)(3k5)(k1)(k2)2

12设n=k时上式成立，即Sk(k1)(k2)(3k25k12k24)12

(k1)(k2)[3(k1)211(k1)10]12也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立 24．（本小题满分10分）

设f(x)是定义在区间(,)上以2为周期的函数，对kZ,用Ik表示区间(2k1,2k1],已知当xI0时，f(x)=x2.

（1）求f(x)在Ik上的解析表达式;

（2）对自然数k,求集合Mk{a|使方程f(x)ax在Ik上有两个不等的实根}

解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当kZ时，2k也是f(x)的周期 又∵当xIk时，(x2k)I0， ∴f(x)f(x2k)(x2k)2.

即对kZ，当xIk时，f(x)(x2k)2.

（2）当kZ且xIk时，利用（1）的结论可得方程

(x2k)2ax,整理得:x2(4ka)4k20.它的判别式是(4ka)16ka(a8k).22

上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足

a(a8k)0,a(a8k)0,1化简得2k1[4kaa(a8k)],a(a8k)2a,2a(a8k)2a,12k1[4kaa(a8k)].2(1)(2)

(3).由（1）知a>0，或a<-8k.

当a>0时：因2+a>2-a，故从（2），（3） 可得a(a8k)2a,即

a(a8k)(2a)2,(2k1)1,1即即0a a2.2k12a0.当a＜-8k时：2a28k0, 易知a(a8k)2a无解， 综上所述，a应满足0a11} 故所求集合Mk{a|0a2k12k1