2015年全国2卷数学试题

2015年 普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名，

准考证号填写在答题卡。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=

（A）｛-1，0｝ （B）｛0，1｝ （C）｛-1，0，1｝ （D）｛0，1，2｝

(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2

(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是. 2 7002 6002 5002 4002 3002 2002 1002 0001 9002004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年

（A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著. （B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效. （C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.

（4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7 =

（A）21 （B）42 （C）63 （D）84 （5）设函数｛an｝=，则（－2）+=

（A）3 （B）6 （C）9 （D）12

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如

右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （A）

1111 （B） （C） （D） 8765（7）过三点（1,3），（4,2），（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=

（A）26 （B）8 （C）46 （D）10

（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行

该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

（A）0 （B）2 （C）4 （D）14

开始输入a,b否是ab输出a是a>b否a=a-bb=b-a结束

（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

A．36π B.64π C.144π D.256π

DPCX

(10).如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为

yyyyAOB22224234x4234x4234x4234x

（11）已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，∆为等腰三角形，且顶角为120°，则的离心率为

（A） （B）2 （C） （D） （12）设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，<0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是 （A） （B） （C） （D）

(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，第13题到第21题为必考题 ，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。

（13）设向量a，b不平行，向量与平行，则实数= ； （14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________ ；

（15）(ax)(1x) 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则α=__________；

（16）设Sn是数列{an}的前项和，且a11,an1snsn1,则=____________________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）.（本小题满分12分）

∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。

4(Ⅰ) 求

sinB ； sinC(Ⅱ) 若AD=1,DC=2 ，求BD和AC的长. 2

(18) (本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

A地区456789B地区

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。

（19）．(本小题满分12分）

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1

上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

D1A1EFB1C1DABC

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值

（20）. (本小题满分12分）

已知椭圆C：，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

(Ⅰ) 证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点（）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.

（21）. (本小题满分12分） 设函数f(x)=emx+x2-mx.

(Ⅰ)证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； (Ⅱ)若对于任意x 1, x2∈[-1,1],都有｜f(x1)- f(x2)｜≤e-1,求m的取值范围

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

（22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，为等腰三角形内一点，圆O与的底边交于、两点与底边上的高交于点，且与、分别相切于、两点.

AGEBMONFC

(Ⅰ).证明：平行于

(Ⅱ). 若等于圆的半径，且==

D

,求四边形的面积。

（23）.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线2.

(Ⅰ).求与交点的直角坐标

(Ⅱ).若与相交于点A，与相交于点B，求|AB|的最大值 （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设、、、均为正数，且+=+,证明： (Ⅰ) 若>,则abcd； (Ⅱ)

abcd是|ab||cd| 的充要条件.