教学目标、重点、难点
【学习目标】
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力． 2、能运用综合法证明矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理． 3、体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法． 【重点难点】
掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定以及证明方法．
知识概览图
教材精华
知识点1 菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形的性质．
菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有自己特有的性质，菱形的性质定理如下． （1）菱形的四条边都相等．
用数学符号语言表示：如图3-45所示，若四边形ABCD是菱形，则AB＝BC＝CD＝DA．
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．
用数学符号语言表示：如图3-46所示，若四边形ABCD是菱形，AC，BD是对角线，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
拓展（1）菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．用数学符号语言表示：如图3-47所示，在菱形ABCD
中，AC，BD是对角线，则S菱形＝
1 AC·BD． 2（2）如果菱形有一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．另外，两条对角线把菱形分成了四个全等的含30°角的直角三角形．
探索交流 我们知道，若菱形的两条对角线长分别为a，b，则菱形的面积S＝
1ab.那么在对角线互2相垂直的四边形中，面积也为它的对角线长的乘积的一半吗? 为什么?
点拔 菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线互相垂直的四边形中．如图3-48所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，则S四边形ABCD＝
设AC，BD交于点O， ∵AC⊥BD，
1AC·BD．理由如下： 211AO·BD，S△BCD＝OC·BD， 22111∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AO·BD+ OC·BD＝BD（AO+OC）
222∴S△ABD＝
＝
1BD·AC 2即菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线互相垂直的四边形中． 知识点2 菱形的判定
用定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定定理l：四条边都相等的四边形是菱形．
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
拓展（1）菱形的判定定理1，2的起点不同，一个是四边形，一个是平行四边形．判定的条件也不同，一个是四条边都相等，一个是对角线互相垂直．
（2）注意这里的起点和条件不能张冠李戴，否则会得出错误的结论。
知识点3 矩形的性质
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 矩形的性质．
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．除此之外，它还有自己特有的性质，矩形的相关性质定理如下．
（1）矩形的四个角都是直角．
用数学符号语言表示：如图3—40所示，如果四边形ABCD是矩形，那么∠A＝∠B＝ ∠C＝∠D＝90°．
（2）矩形的对角线相等．
用数学符号语言表示：如图3—4l所示，如果四边形ABCD是矩形，那么AC＝BD. 性质定理的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
用数学符号语言表示：如图3-42所示，在Rt△ABC中，AD是斜边BC的中线，则AD＝证明线段相等、线段倍分关系、角相等的重要依据．
1BC．这是2拓展 矩形的两条对角线把矩形分成四个腰长相等的等腰三角形，当两条对角线夹角为60°时，必有一边长等于对角线长的一半，即这四个三角形中有两个是等边三角形．
知识点4 矩形的判定 矩形的判定．
（1）用定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的判定定理l：有三个角是直角的四边形是矩形． （3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 拓展 （1）矩形的每种判定方法都有两个条件． 定义：①是平行四边形；②有一个角是直角． 判定定理1：①是四边形；②有三个角是直角． 判定定理2：①是平行四边形；②对角线相等．
（2）注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理． 知识点5 正方形的性质
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
拓展（1）正方形既是有一组邻边相等的矩形．又是有一个角是直角的菱形． （2）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形的性质．
正方形是平行四边形中性质最丰富的图形，它既是矩形又是菱形．正方形的具体性质如下．
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 用数学符号语言表示：如图3-49所示，若四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O，则∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC．
拓展
（1）正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，根据它的轴对称性可知，在正方形一条对角线上任取一点，它到另外两个顶点的距离相等．
（2）正方形的两条对角线分正方形成四个大等腰直角三角形和四个小等腰直角三角形，每条对角线长是边长的2倍，且对角线分正方形的内角成45°角，这是在证明或计算中常用到的． 知识点6 正方形的判定
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种． （1）先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等． （2）先证明它是菱形，再证明有一个角为直角． 还可以根据正方形的特殊性进行判定： （1）对角线相等的菱形是正方形． （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 判定正方形的一般顺序． （1）先证明是平行四边形．
（2）再证明有一组邻边相等（或有一个角是直角）． （3）最后证明有一个角是直角（或有一组邻边相等）．
拓展 （1）证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．
（2）四边形之间的关系如图3-50所示，对各种四边形的性质和判定可以从边、角、对角线三个方面分类识别．
（3）正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的包含关系如图3-5l所示．
知识点7 中点四边形
定义：顺次连接四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形，如图3-52所示，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，四边形EFGH就是中点四边形．那么，任意四边形的中点四边形是什么形状呢?
连接AC，易证HG 11AC，EF AC，所以HG EF，可得四边形EFGH为平行四边形． 22任意四边形的中点四边形都是平行四边形．
特殊四边形的中点四边形的形状．
从探索中我们发现中点四边形与原四边形的对角线有密切关系． 先将原四边形分为：（1）一般四边形；（2）一般平行四边形；（3）矩形；（4）菱形；（5）正方形；（6）一般梯形；（7）等腰梯形；（8）直角梯形．为了便于观察、探索，我们列表如下：
序号 1
一般四边形
2
一般平行四边形
3
矩形
不垂直但相等 不垂直、不相等
平行四边形 菱形
名称
图形
两条对角线的关
系 不垂直、不相等
中点四边形 平行四边形
4 菱形
垂直但不相等 矩形
5 正方形
垂直且相等 正方形
6 7
一般梯形
等腰梯形
不垂直、不相等 平行四边形
不垂直但相等 菱形
8
直角梯形
原四边形的对角线与中点四边形形状的关系． 由上表我们可以发现如下规律：
原四边形对角线间的
关系 相等 互相垂直 互相垂直且相等 不垂直也不相等
中点四边形 菱形 矩形 正方形 平行四边形
规律·方法小结1．类比思想：可以类比平行四边形的性质与判定来学习矩形、菱形、正方形的性质和判定．
2．数形结合思想：是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式，利用解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化为代数问题来解决的方法．
3．转化思想：在本节学习的过程中还要用到转化思想，即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题．
矩形、等腰梯形，对角线相等的四边形
菱形，对角线垂直的四边形 正方形，对角线相等且垂直的四边形 一般四边形、平行四边形、直角梯形
举例
不垂直、不相等
平行四边形
课堂检测
基础知识应用题
1、如图3-53所示，在菱形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，求证AE＝AF．
2、如图3-54所示，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC和EF互相平分于O，∠B＝ 90°，求证四边形ABCD是矩形．
3、如图3-55所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于F，交AC于E，EG⊥BC于G，连接FG，求证四边形AFGE是菱形．
4、如图3-56所示，在正方形ABCD中．E为BC上一点，EF⊥AC，垂足是F，EG⊥BD，垂足是G，AC＝5㎝，求EF＋EG．
5、如图3-57所示，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证AP＝EF．
6、如图3-58所示，△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE （1）求证DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等．并证明你的结论．
综合应用题
7、如图3-59所示，菱形ABCD的一个内角∠ABC为120°，平分这个内角的对角线BD长为12 ㎝，求菱形的周长．
8、如图3-60所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一动点P（不与点A和点C重合）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．
（1）写出y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；
（2）关于动点P，△PBC的面积与△PAD的面积之和为常数． 这种说法是否正确?说明理由．
9、如图3-61所示，矩形ABCD中，四个内角平分线交于E，F，G，H．求证 四边形EFGH为正方形．
10、如图3-62所示．四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连接E，F，G，H，把四边形EFGH称为中点四边形，连接AC，BD，容易证明中点四边形EFGH一定是平行四边形．
（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现： 当四边形ABCD的对角线满足AC＝BD时，四边形EFGH为菱形； 当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为矩形； 当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为正方形．
（2）探索△AEH，△CFG和四边形ABCD的面积之间的等量关系，并加以证明． （3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少?
探索与创新题
11、在一片正方形土地上修筑两条笔直的道路，把这片土地分成形状相同且面 积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修路方案．
体验中考
1、如图3- 65所示，在梯形ABCD中∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为 （ ）
A．9 B．10．5 C．1 2 D ．15
2、如图3-66所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交点O．AB＝5，AC＝6．过D点作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）求△BDE的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q． 求证BP＝DQ
3、数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图3-67(1)所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们做了进一步的探究．
(1)小颖提：如图3-67(2)所示，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立．你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
(2)小华提出：如图3-67(3)所示，点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立，你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
1、分析 要证明AE＝AF，我们可以根据条件，先证△ACE≌△ACF． 证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD．∴∠l＝∠2．
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．
AECAFC90?,在△ACE和△ACF中，1=2，
ACAC,∴△ACE≌△ACF．∴AE＝AF．
2、分析 因为EF和AC互相平分于O，易证△AOE≌△COF，所以FC＝EA，∠3＝∠4，所以CD∥AB．又因为DF＝BE，所以AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．因为∠B＝90°，所以四边形ABCD为矩形．
证明：∵EF和AC互相平分，∴OC＝OA，OF＝OE 又∵∠1＝∠2，∴△FOC≌△EOA． ∴∠3＝∠4，FC＝EA．∴AB∥CD．
又∵DF＝BE，∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
3、分析 要证四边形AFGE是菱形，要先证明它是平行四边形，然后寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件．
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. 又∵AD⊥BC，
∴∠1＋∠C＝90°．∴∠2＝∠C
又∵∠AFE＝∠2＋∠3，∠AEB＝∠C＋∠4，∠3＝∠4，
∴∠AFE＝∠AEF．∴AF＝AE．
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，EG⊥BC， ∴EA＝EG．∴AF＝EG．
∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG．
又∵AF＝EG，∴四边形AFGF是平行四边形． 又∵AF＝AE，∴四边形AFGE是菱形．
【解题策略】 判定一个四边形是特殊的平行四边形，要逐步证明，先证明它是平行四边形，然后证明它是特殊的平行四边形．
4、分析 设AC，BD交于点O，易证△BGE为等腰直角三角形，四边形EFOG为矩形，∴GE＝BG，
EF＝OG，∴EF＋EG＝OB=解：设O为AC，BD的交点， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OD＝
15AC =㎝． 2215AC＝㎝，∠BOC＝90°，∠OBC＝45°． 22 又∵EG⊥OB，EF⊥OC，
∴△BGE为等腰直角三角形，四边形GEFO为矩形． ∴EG＝BG，EF＝OG． ∴EF＋EG＝OG＋BG＝OB＝
5㎝． 2
5、分析 由题意可得四边形FECF是矩形，连接PC，则EF＝PC，而P为正方形对角线BD上一点，可证PC＝PA．
证明：连接PC，∵PE⊥DC，PF⊥BC， ∴四边形PFCE是矩形，∴PC＝EF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＝∠2，AD＝DC
ADCD,在△ADP和△CDP中，∵12,
DPDP,∴△ADP≌CDP．∴PC＝PA．∴PA＝EF．
【解题策略】 正方形一条对角线上任意一点到另一条对角线两端点的距离相等．
6、分析 本题综合考查角平分线的定义，三线合一定理以及矩形的有关性质．根据题目已知条件判定四边形DAEB是矩形是解决本题的关键．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，
∴∠BAD＝
11∠BAC，∠BAE＝∠BAF． 2211（∠BAC＋∠BAF）＝×180°＝90°， 22 又∵∠BAC＋∠BAF＝180°， ∴∠BAD＋∠BAE＝
即∠DAE＝90°，
∴DA⊥AE． 解：（2）AB＝DE．现由如下：
在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在四边形AEBD中，∠ADB＝90°，∠DAE＝90°． ∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形， ∴AB＝DE．
7、分析 若菱形有一个内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．
解：因为AB＝AD＝BC＝CD，∠ABD＝
11∠ABC＝×120°＝60°， 22 所以△ABD为等边三角形，
所以AB＝BD＝12㎝， 所以菱形的周长为48 ㎝．
8、解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E，在Rt△ABC中，由AB＝8，BC＝6，得AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．
因为PE⊥BC，AB⊥BC，所以△PEC∽△ABC．
PEPCPE10x4,即,所以PE＝8－x ABAC8105121 所以S△PBC＝PE·BC＝24－x．
522412 又S△PCD＝S△PBC＝24－x，所以y＝48－x（0＜x＜10）．
55 所以：
（2）这种说法是正确的． 由（1）可得S△PAD＝
12x ，所以S△PBC＋S△PAD＝24． 5【解题策略】 本题是几何与函数的综合题．求三角形的面积与自变量x的函数关系式，关键是确定三角形的底边长后，用含x的代数式表示出三角形的高．
9、分析 先证明是矩形，再证一组邻边相等． 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°．
又∵AE，BE，CG，DG分别为四个内角的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8＝45°． ∴∠9＝∠10＝∠11＝90°．
∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． ∵∠7＝∠8＝45°，
∴FA＝FD（等角对等边）． 在△ABE和△DCG中，
∵∠l＝∠6＝45°，AB＝CD，∠2＝∠5＝45°， ∴△ABE≌△DCG（ASA）．∴AE＝DG． ∴FA－AE＝FD－DG，即FE＝FG．
∴四边形EFGH是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）． 【解题策略】（1）本题图中所有的直角三角形均可证得是等腰直角三角形，并且 还是对应全等的．这一点从图形中可以看出来，所以我们要认真观察图形，从图形中
寻找证题线索．
（2）不管是平行四边形、矩形、菱形、正方形中的哪一类问题，都要熟记它们的性质和判定，再看题中的条件或结论能符合哪一条．另外，还要能从图形中找出符合它们的基本图形．
10、解：（1）AC⊥BD AC＝BD且AC⊥BD
（2）S△AEH + S△CFG＝
1S四边形ABCD．证明过程如下： 41BD． 2 因为E，H分别为AB，AD的中点， 所以EH∥BD且EH＝
1． 211 所以S△AEH＝S△ABD．同理S△CFG＝S△CBD．
441 所以S△AEH+S△CFG＝（S△ABD+S△CBD），
41 即S△AEH+S△CFG＝S四边形ABCD
411 （3）由（2）可得S△BEF+S△DGH＝（S△ABC+S△ADC）＝S四边形ABCD，
44111 ∴S△AEH +S△CFG +S△BEF 十S△DGH ＝S四边形ABCD+S四边形ABCD＝S四边形ABCD
4421∴S四边形EFGH ＝S四边形ABCD．
2 所以△AEH∽△ABD，且相似比为
11、解：三种方案如下：
（1）如图3—63（1）所示，连接AC，BD，交于点O．
（2）如图3--63（2）所示，连接正方形两组对边中点EF，GH，交于点O．
（3）如图3—63（3）所示，取AE：BG＝CF＝DH，连接．EF，GH，交于点O．
规律·方法 目前，中考中关于开放和探索性试题的设计主要有三种形式： （1） 条件的开放与探索；（2）结论的开放与探索；（3）解题方法的开放与探索．本题是结论开放
式问题．实际上，两条对角线绕着它们的交点旋转任何一个角度，都是符合要求的．
体验中考
1、分析 本题综合考查角平分线的性质、等腰三角形的判定定理和梯形中位线的性质．∵BP平分∠ABC．∴∠EBP＝∠PBC．∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥BC，∴∠EPB＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EPB，∴EB＝EP＝AE，同理可知FP＝FC＝FD．梯形的周长＝（AD+BC）+（AB+CD）＝2EF+2EP+2PF＝2EF+2（EP+PF）＝4EF＝4×3＝12．故选C．
2、分析 (1)本题主要考查菱形的性质定理．由菱形的对角线互相垂直，得AC⊥BD．在Rt△AOB中，AB=5．又AC，BD互相垂直平分，而AC=6，∴OA=3，∴OB=4,∴BD=8．又∵AD∥CE，AC∥DE，∴四
边形ACED为平行四边形，故DE，BE可求长．(2)本题的关键是由四边形ABCD是菱形得到BO=OD，即可证△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BE∥AD． 又∵AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形． 则有BE=BC＋CE=BC＋AD=10．
又∵AC⊥BD，AC∥DE，∴BD⊥DE，且DE=AC=6．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2+DE2=BE2，解得BD=8． ∴△BDE的周长为BD+DE+BE=8+6+10=24． 证明：(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD BC∥AD，∴∠DBC=∠BDA，∠BPO=∠DQO， ∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ．
3、分析 (1)作辅助线是解题的关键，在AB上取点M，使AM=EC，连接ME，则由题意可证△AME≌△ECF．AE=EF．(2)在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，则由题意可证△ANE≌△ECF，∴AE=EF．
解：(1)正确．证明如下如图3-68所示，在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME， ∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°．
∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°， ∴∠ECF＝135°，∴∠AME=∠ECF．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF(ASA)， ∴AE=EF．
(2)正确．证明如下： 如图3 -69所示，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE， 连接NE，∴BN=BE， ∴∠N=∠FCE=45°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF．
【解题策略】 熟练掌握有关证明三角形全等的系统知识是解决此类问题的关键．把特殊四边形和三角形综合在一起考查空间想象力和逻辑判断能力是中考的常见题型．
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