2015-2016学年广东省东莞市高一(下)期末数学试卷(b卷)(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．已知=（x，3），=（3，1），且⊥，则x等于（ ） A．﹣1 B．﹣9 C．9 D．1

2．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）

A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，6 3．如果某种彩票的中奖概率为

，那么下列选项正确的是（ ）

A．买1000张彩票一定能中奖 B．买999张这种彩票不可能中奖

C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖 D．买1张这种彩票一定不能中奖

4．当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（ ）

A．5，2 B．1，2 C．5，﹣1 D．1，﹣1

5．已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，则角θ的终边落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．为了得到函数y=cos（2x+） ，x∈R的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（ ）A．向左平行移动

个单位

B．向右平行移动

个单位

C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位

7．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x﹣1.4，则b=（ ） x 2 3 4 5 6 y 2 3 5 7 8 A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.6

8．如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

第1页（共17页）

A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，4

9．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则A． B． C． D．

10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

+=（ ）

A．0 B． C． D．

11．函数f（x）=（+cosx）x在[﹣4，4]的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

12．若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（则实数b的值为（ ）

第2页（共17页）

﹣x），f（）=﹣1，

A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）

13．已知=（1，2），=（﹣3，2），则|﹣3|的值为 ．

14．要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧的长为30πcm，则圆心角∠AOB= （填弧度）

15．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为 ．

16．已知tan（α﹣π）=，化简计算：sin2α+2cos2α= （填数值）．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．） 17．已知向量=（4，3），=（1，﹣1）． （1）求与的夹角的余弦值；

（2）若向量3+4与λ﹣平行，求λ的值．

18．为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：

1 2 3 4 5 时间x 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 上涨率y （1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？

x+

；

（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=， =﹣ ）

19．从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分

数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．

第3页（共17页）

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为（1）求tan（2α﹣β）的值； （2）求β﹣α的值．

，

．

21．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若f（x0）=

，x0∈[

，

]，求sin（2x0﹣

）的值．

22．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，﹣2），又点P（﹣2，1），点Q是边AB上一点，且•=﹣10． （1）求点Q的坐标；

（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（+）•（+）的取值范围．

第4页（共17页）

2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（B

卷）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．已知=（x，3），=（3，1），且⊥，则x等于（ ） A．﹣1 B．﹣9 C．9 D．1

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】由已知中， =（x，3），=（3，1），且⊥，根据向量垂直的坐标表示，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵=（x，3），=（3，1）， 又∵⊥， ∴•=3x+3=0 解得x=﹣1 故选A

2．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）

A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，6 【考点】分层抽样方法．

【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．

【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为则在高一年级抽取的人数是900×高三年级抽取的人数是600×

=

，

=12人，

=9人，高二年级抽取的人数是1200×=6人，

那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为9，12，6． 故选：D．

3．如果某种彩票的中奖概率为

，那么下列选项正确的是（ ）

A．买1000张彩票一定能中奖 B．买999张这种彩票不可能中奖

C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖 D．买1张这种彩票一定不能中奖 【考点】概率的意义．

第5页（共17页）

【分析】根据事件的运算及概率的性质对四个说法进行验证即可得出正确的说法的个数，选出正确答案．

【解答】解：如果某种彩票的中奖概率为

，

则买1000张这种彩票可能没有一张中奖， 故选：C．

4．当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（ ）

A．5，2 B．1，2 C．5，﹣1 【考点】选择结构．

D．1，﹣1

【分析】模拟执行程序代码，根据条件计算可得x，y的值． 【解答】解：模拟执行程序代码，可得 x=1，y=2

满足条件x＜y，则得x=5，y=2 故选：A．

5．已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，则角θ的终边落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】三角函数的化简求值．

【分析】利用已知结合三角函数的基本关系式，判定角θ的正弦和余弦的符号．

2

sinθ+cosθ=，=1+2sinθcosθ=【解答】解：因为0＜θ＜π，所以（sinθ+cosθ）

，所以sinθcosθ

＜0，又sinθ＞0，所以cosθ＜0，

所以角θ的终边落在第二象限； 故选：B．

6．为了得到函数y=cos（2x+） ，x∈R的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（ ）A．向左平行移动

个单位

B．向右平行移动

个单位

C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

第6页（共17页）

【分析】把y=cos2x曲线上所有的点向左平行移动个单位，可得函数y=cos（2x+）的图象，可得答案．

【解答】解：由于y=cos（2x+）=cos2（x+），

=cos故把y=cos2x曲线上所有的点向左平行移动个单位，可得函数y=cos2（x+）（2x+）的图象． 故选：C．

7．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x﹣1.4，则b=（ ）

x 2 3 4 5 6 y 2 3 5 7 8 A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.6 【考点】线性回归方程．

【分析】求出样本中心，利用回归直线方程求解即可． 【解答】解：由题意， =4， =5， ∴样本中心坐标（4，5），

回归直线经过样本中心，可得5=4b﹣1.4，解得b=1.6． 故选：A．

8．如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，4 【考点】茎叶图．

【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分94和一个最低分78后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．

【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分94和一个最低分78后， 所剩数据85，85，87，85，88的平均数为86；

方差为 [（85﹣86）2+[（85﹣86）2+[（87﹣86）2+[（85﹣86）2+[（88﹣86）2]=1.6． 故选：C．

9．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则A． B． C． D． 【考点】向量的三角形法则．

+=（ ）

第7页（共17页）

【分析】D，F分别为△ABC的三边BC，AB的中点，可得

，

=

．代入即可得出．

， =

【解答】解：∵D，F分别为△ABC的三边BC，AB的中点， ∴∴

+

=﹣

，﹣

=﹣

，=

=

=

． ．

故选：C．

10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

A．0 B． C． D．

【考点】程序框图．

【分析】本题循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论． 【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构， 第一次循环：S=第二次循环：S=第三次循环：S=

，n=2； ，n=3； ，n=4；

第8页（共17页）

第四次循环：S=，n=5；

第五次循环：S=0，n=6； …

n=2015÷5=403，S=0 n+1=2016，退出循环， ∴输出S=0． 故选：A．

11．函数f（x）=（+cosx）x在[﹣4，4]的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故排除C；根据函数在（0，故排除D；根据当x=论．

【解答】解：∵函数f（x）=（+cosx）x为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除C；∵f（x）=+xcosx 在（0，∵当x=故选：A．

12．若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（则实数b的值为（ ） A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±2 【考点】余弦函数的图象．

﹣x），f（

）=﹣1，

或x=

）上的值大于零，故排除D； 或x=

）上的值大于零，

时，当cosx=﹣，f（x）=0，故排除B，从而得出结

时，当cosx=﹣，f（x）=0，故排除B，

第9页（共17页）

【分析】由题意可得 f（x）的图象关于直线x=（

对称，求得φ=kπ﹣，k∈Z．再根据f

）=﹣1求得b的解析式，利用余弦函数的最值，求得b的值．

﹣x），∴f（x）

【解答】解：若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（的图象关于直线x=∴∵f（

对称，

，k∈Z．

+kπ﹣

+φ=kπ，即φ=kπ﹣

）=cos（

+φ）+b=cos（ ）+b=cos（k+1）π+b=﹣1，b=﹣1﹣

cos（k+1）π，

当k为偶数时，b=2；当k为奇数时，b=0， 故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）

13．已知=（1，2），=（﹣3，2），则|﹣3|的值为 2 ． 【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】根据平面向量的坐标运算与模长公式，进行计算即可． 【解答】解：因为=（1，2），=（﹣3，2）， 所以﹣3=（1﹣3×（﹣3），2﹣3×2）=（10，﹣4）， 所以|﹣3|=

=2

．

故答案为：．

14．要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧AOB= （填弧度）

的长为30πcm，则圆心角∠

【考点】弧度制的应用；弧长公式．

【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得． 【解答】解：由题意可知扇形的弧长l=30π， 扇形的半径r=OA=90，

∴则圆心角∠AOB的弧度数α==故答案为：

．

，

15．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为

．

第10页（共17页）

【考点】几何概型．

【分析】由题意，所求属于几何概型；要计算投中阴影部分的概率，根据每次都投镖都能投入圆盘内，圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为75°，代入几何概型概率公式，即可得到答案．

【解答】解：圆盘对应的圆心角的度数为360°， 阴影部分的圆心角为75° 故投中阴影部分的概率P=故答案为：

16．已知tan（α﹣π）=，化简计算：sin2α+2cos2α= （填数值）．

．

=

．

【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．

【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． =tanα=，【解答】解：∵tan（α﹣π）∴sin2α+2cos2α=

=

=，

．

故答案为：

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．） 17．已知向量=（4，3），=（1，﹣1）． （1）求与的夹角的余弦值；

（2）若向量3+4与λ﹣平行，求λ的值．

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算． 【分析】（1）利用向量夹角公式即可得出．

（2）利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出． 【解答】解：（1）设与的夹角为θ，则

，∴与的

夹角的余弦值为．

（2）∵=（4，3），=（1，﹣1）． ∴

，

，

第11页（共17页）

∵向量与平行，

∴16（3λ+1）=5（4λ﹣1）． 解得

．

18．为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：

1 2 3 4 5 时间x 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 上涨率y （1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？

x+

；

（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=， =﹣ ）

【考点】线性回归方程．

【分析】（1）利用已知条件求出回归直线方程的有关数据，即可求出回归直线方程． （2）代入回归直线方程，即可预测该地6月份上涨的百分率． 【解答】解：（1）由题意， =3， =0.2… 12+22+32+42+52=55，…

1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.3+5×0.1=3.1…

所以…

…

∴回归直线方程为y=0.01x+0.17…

（2）当x=6时，y=0.01×6+0.17=0.23… 预测该地6月份上涨的百分率是0.23…

19．从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．

第12页（共17页）

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[55，65]内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率． 【解答】解：（Ⅰ）设区间[75，85）内的频率为x， 则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x．… 依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，… 解得x=0.05．所以区间[55，65]内的频率为0.2．… （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[45，55），[55，65），[65，75）内的频率依次为0.3，0.2，0.1． 用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本， 则在区间[45，55）内应抽取在区间[55，65）内应抽取在区间[65，75）内应抽取

件，记为A1，A2，A3． 件，记为B1，B2． 件，记为C．…

设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[55，75]内”为事件M，

则所有的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C}，{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共15种．…

事件M包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共3种．… 所以这2件产品都在区间[55，75]内的概率为

．…

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为（1）求tan（2α﹣β）的值； （2）求β﹣α的值．

，

．

第13页（共17页）

【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义． 【分析】（1）根据题意，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ，tanα，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，根据两角差的正切函数公式即可计算tan（2α﹣β）的值．

（2）由（1）利用两角差的余弦函数公式可求cos（β﹣α）的值，结合范围β﹣α∈（0，π），即可得解β﹣α的值． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）根据题意得sinα=∴∴

，，…

∴tan（2α﹣β）=

=3．…

，

，… ，sinβ=

，…

，…

（2）cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα… =

，…

∵由题意β﹣α∈（0，π）， ∴β﹣α=

．…

21．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若f（x0）=

，x0∈[

，

]，求sin（2x0﹣

）的值．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得f（x）=周期性、单调性即可得出． （II）由（I）可知]，可得可得出．

第14页（共17页）

+1，再利用三角函数的

，可得

∈

．可得

=，由x0∈[

，

．再利用弧长公式即

【解答】解：（I）由，得

，

∴函数f（x）的最小正周期为π． 由

（Ⅱ）由（1）可知得∵x0∈[∴

∴sin（2x0﹣==

．

）=

﹣

，

=， ]，∴

．

∈

．

得单调增区间是：

，k∈z．

22．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，﹣2），又点P（﹣2，1），点Q是边AB上一点，且•=﹣10． （1）求点Q的坐标；

（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（+）•（+）的取值范围．

【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算． 【分析】（1）先设=λ，根据向量数量积关系•=﹣10解方程求出λ即可． （2）由R为线段OQ上的一个动点可设R（2t，2t），且0≤t≤1，分别求出，，，的向量坐标，由向量的数量积+）•（+整理可得关于t的一元二次函数，利用二次函数的知识可求取值范围． 【解答】解：（1）=（﹣3，﹣2），=（5，﹣5）， ∵点Q是边AB上一点， ∴设=λ=（5λ，﹣5λ），

=+=（1，3）+（5λ，﹣5λ）=（1+5λ，3﹣5λ）， ∵•=﹣10．

∴﹣3（1+5λ）﹣2（3﹣5λ）=﹣10， 即λ=，则

=（1+5×，3﹣5×）=（2，2）．

即Q（2，2）．

（2）∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（2t，2t），且0≤t≤1， 则=（﹣2t，﹣2t），=（﹣2﹣2t，1﹣2t），=（1﹣2t，3﹣2t），2t），

则（+）•（+）=（﹣2﹣4t，1﹣4t）•（7﹣4t，1﹣4t）

第15页（共17页）

=（6﹣2t，﹣2﹣

=（﹣2﹣4t）（7﹣4t）+（1﹣4t）（1﹣4t）=32t2﹣28t﹣13 =32（t﹣

）2﹣

，

∵0≤t≤1， ∴当t=

时，函数取得最小值﹣

，

当t=1时，函数取得最大值﹣9， 即（

+

）•（

+

）的范围是[﹣

，﹣9]．

第16页（共17页）

2016年8月21日

第17页（共17页）