考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷74 (题后含答案及解析)
题型有:1.
1.
正确答案: 涉及知识点:高等数学部分
2. 设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx),其中g’(a)存在,求f’(0).
正确答案: 涉及知识点:高等数学部分
3. 求
正确答案:ln(1+χ)ln(1-χ)-ln(1-χ2)=ln(1+χ)ln(1-χ)-ln(1+χ)(1-χ) =ln(1+χ)[ln(1-χ)-1]-ln(1-χ), 由ln(1+χ)=χ-+o(χ4), ln(1-χ)=-χ-+o(χ4)得 ln(1+χ)[ln(1-χ)-1] ln(1+χ)[ln(1-χ)-1]-ln(1-χ)~ 故 涉及知识点:函数、极限、连续
4. 求.
正确答案: 涉及知识点:一元函数积分学
5. 证明:∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx.
正确答案:本题看似是二重积分问题,事实上,用代换t=xy可将累次积分化为定积分.在∫01(xy)xydy中,视x为常数,令t=xy,dt=xdy,当y从1变到1时,从0变到x,则于是也就是要证明 一∫01ttlntdt=∫01ttdt,移项后就是要证明 ∫01tt(1+ln t)dt=0. 事实上, tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tln t)=d(etlnt),故 ∫01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0. 涉及知识点:二重积分
6. 设f(x)=x2sinxcos x,求f(2007)(0).
正确答案:f(x)=根据莱布尼茨公式,有f(2007)(x)=[x2(sin 2x)(2007)+2C20071x(sin 2x)(2006)+2C20072(sin 2x)(2005)],由于故f(2007)(0)=2007×2006×22004. 涉及知识点:一元函数微分学
7. 已知A是n阶矩阵,α1,α2,…,αs是n维线性无关向量组,若Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关,证明:A不可逆.
正确答案:因Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关,故存在不全为零的数k1,k2,…,ks,使得 k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0,即 A(k1α1+k2α2+…
+ksαs)=Aξ=0.其中ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs成立,因已知α1,α2,…,αs线性无关,对任意不全为零的k1,k2,…,ks有 ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs≠0,而 Aξ=0。说明线性方程组AX=0有非零解,从而|A|=0,A是不可逆矩阵. 涉及知识点:线性代数
8. 设A和B都是m×n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明ATA+BTB正定.
正确答案:显然ATA,BTB都是n阶的实对称矩阵,从而ATA+BTB也是n阶实对称矩阵. 由于r(A+B)=n,n元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解.于是,当α是一个非零n维实的列向量时,(A+B)α≠0,因此Aα与Bα不会全是零向量,从而αT(ATA+BTB)α=αTATAα+αTBTBα=‖Aα‖2+‖Bα‖2>0.根据定义,ATA+BTB正定. 涉及知识点:二次型
9. 设A为n阶正定矩阵,证明:存在唯一正定矩阵H,使得A=H2.
正确答案:由于A为n阶正定矩阵,故存在正交矩阵U,使得这里,0<λ1≤λ2≤…≤λn为A的全部特征值. 取并且H仍为正定矩阵.如果存在另一个正定矩阵H1,使得A=H12,对于H1,存在正交矩阵U1,使得这里0<μ12≤μ22≤…≤μn2为A的全部特征值.故μi2=λi(i=1,2,…,n),于是(i=1,2,…,n),从而由于A=H2=H12,故则λipij=λjpij(i,j=1,2,…,n),当λi≠λj时,pij=0,这时(i,j=1,2,…,n);当λi=λj时,当然有(i,j=1,2,…,n).故即H=H1. 涉及知识点:线性代数
10. 飞机以匀速v沿y轴正向飞行,当飞机行至O时被发现,随即从χ轴上(χ0,0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0>0),若导弹方向始终指向飞机,且速度大小为2v. (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件; (2)导弹运行方程.
正确答案:(1)设t时刻导弹的位置为M(χ,y),根据题意得, 两边对χ求导数得 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 (2)令,则 故轨迹方程为y=. 涉及知识点:常微分方程
设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为
D.若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:
11. 曲线y=f(x);
正确答案:由xf’(x)-2f(x)=-xf(x)=x+cx2.设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则 涉及知识点:常微分方程
12. 曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积.
正确答案:f’(x)=在原点处的切线方程为y=x,则 涉及知识点:常微分方程
13. 物体由曲面.坐标面y=0及z=0围成,其密度为μ(x,y,z)=ycos(x+z),求物体的质量m.
正确答案: 涉及知识点:多元函数微积分学 14. 求下列微分方程满足初始条件的特解:(1)(y+x3)dx一2xdy=0,且(2)x2y’+xy=y2,且y|x=1=1;(3)xy’+(1一x)y=e2x(x>0),且y|x=1=0;(4)
正确答案:(1)方程变形为此为一阶线性方程. 涉及知识点:常微分方程与差分方程
15. 欲做一个容积为300m3的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围单位造价的两倍,问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?
正确答案:设蓄水池的底面圆形的半径为x米,高为y米,则
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