考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷74(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷74 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1．

正确答案： 涉及知识点：高等数学部分

2． 设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．

正确答案： 涉及知识点：高等数学部分

3． 求

正确答案：ln(1＋χ)ln(1－χ)－ln(1－χ2)＝ln(1＋χ)ln(1－χ)－ln(1＋χ)(1－χ) ＝ln(1＋χ)[ln(1－χ)－1]－ln(1－χ)， 由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ4)， ln(1－χ)＝－χ－＋o(χ4)得 ln(1＋χ)[ln(1－χ)－1] ln(1＋χ)[ln(1－χ)－1]－ln(1－χ)～ 故 涉及知识点：函数、极限、连续

4． 求．

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

5． 证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．

正确答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在∫01(xy)xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy,当y从1变到1时，从0变到x，则于是也就是要证明 一∫01ttlntdt=∫01ttdt，移项后就是要证明 ∫01tt(1+ln t)dt=0． 事实上， tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tln t)=d(etlnt)，故 ∫01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0． 涉及知识点：二重积分

6． 设f(x)=x2sinxcos x，求f(2007)(0)．

正确答案：f(x)=根据莱布尼茨公式，有f(2007)(x)=[x2(sin 2x)(2007)+2C20071x(sin 2x)(2006)+2C20072(sin 2x)(2005)]，由于故f(2007)(0)=2007×2006×22004． 涉及知识点：一元函数微分学

7． 已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．

正确答案：因Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使得 k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0，即 A(k1α1+k2α2+…

+ksαs)=Aξ=0．其中ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs成立，因已知α1，α2，…，αs线性无关，对任意不全为零的k1，k2，…，ks有 ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，而 Aξ=0。说明线性方程组AX=0有非零解，从而｜A｜=0，A是不可逆矩阵． 涉及知识点：线性代数

8． 设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A＋B)＝n，证明ATA＋BTB正定．

正确答案：显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA＋BTB也是n阶实对称矩阵． 由于r(A＋B)＝n，n元齐次线性方程组(A＋B)X＝0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A＋B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA＋BTB)α＝αTATAα＋αTBTBα＝‖Aα‖2＋‖Bα‖2＞0．根据定义，ATA＋BTB正定． 涉及知识点：二次型

9． 设A为n阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H2．

正确答案：由于A为n阶正定矩阵，故存在正交矩阵U，使得这里，0＜λ1≤λ2≤…≤λn为A的全部特征值． 取并且H仍为正定矩阵．如果存在另一个正定矩阵H1，使得A=H12，对于H1，存在正交矩阵U1，使得这里0＜μ12≤μ22≤…≤μn2为A的全部特征值．故μi2=λi(i=1，2，…，n)，于是(i=1，2，…，n)，从而由于A=H2=H12，故则λipij=λjpij(i，j=1，2，…，n)，当λi≠λj时，pij=0，这时(i，j=1，2，…，n)；当λi=λj时，当然有(i，j=1，2，…，n)．故即H=H1． 涉及知识点：线性代数

10． 飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v． (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程．

正确答案：(1)设t时刻导弹的位置为M(χ，y)，根据题意得， 两边对χ求导数得 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 (2)令，则 故轨迹方程为y＝． 涉及知识点：常微分方程

设函数f(x)满足xf’(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为

D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：

11． 曲线y=f(x)；

正确答案：由xf’(x)-2f(x)=-xf(x)=x+cx2．设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则 涉及知识点：常微分方程

12． 曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．

正确答案：f’(x)=在原点处的切线方程为y=x，则 涉及知识点：常微分方程

13． 物体由曲面．坐标面y=0及z=0围成，其密度为μ(x，y，z)=ycos(x+z)，求物体的质量m．

正确答案： 涉及知识点：多元函数微积分学 14． 求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)(y+x3)dx一2xdy=0，且(2)x2y’+xy=y2，且y|x=1=1；(3)xy’+(1一x)y=e2x(x＞0)，且y|x=1=0；(4)

正确答案：(1)方程变形为此为一阶线性方程． 涉及知识点：常微分方程与差分方程

15． 欲做一个容积为300m3的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?

正确答案：设蓄水池的底面圆形的半径为x米，高为y米，则