中国人口增长预测

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 湛江师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吴旭明 2. 何伟坚 3. 彭晓霞

日期： 2013 年 9 月 13 日

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘雄

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

1

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

2

车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

我们首先多次阅读题目，明确每个题目需要求出最终的模型公式是什么量与什么量之间的关系，从而明确我们需要从视频中得出什么参数。然后再对数据统计分析与归类整理。最后用MATLAB软件对数据进行线性最小二拟合、回归分析、代入函数求值，从而得出车道被占用对城市道路通行能力的影响。

从题目得出我们最终的模型公式是交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系函数，因此，我们需要从视频中采集到参数有：1.流畅时，事故所处横断面单位时间内流出的车辆数；2. 交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面单位时间内流出的车辆数（包括视频1和视频2发生事故所占车道不同的情况）；3.上游过来的车辆数 3，小区出口的车辆数 4，拥堵长度的时间函数 5，小区出口车辆变道数

然后根据“车辆数守恒”或者叫“交通流量守恒”建立关系！

思路如下：问题1.（1）通畅时，小区路口的通行能力通过转换系数转换成主干道的通行能力+主干道的通行能力=通畅时横截面的通行能力；（2）事故时事故点的横截面通行能力；（3）比较通畅时与事故时通行能力的变化；

问题2：事故时，（1、2道事故）横截面的通行能力和（2、3道事故）横截面的通行能力

问题3：排队长度与故障横截面通过的标准车车数、事故持续时间、上游车流量（离事故点120米处即不包括小区路口的车辆数）之前的函数：Y=f(p3,t,p2),p3表示事故点横截面的车流量，t表示事故持续时间，p2表示绿灯过来的车流量

问题4：直接把Y=140m,p2=1500pcu/h,p3保持不变，代入求t

针对不同年龄段，不同地区和不同性别的人口的出生率，死亡率，总人口数及增长率，我们引入灰色动态GM (1，1)预测模型，分别分四维，五维，六维对各种不同的变化率，按照地区（城市，镇，乡村），性别和年龄段来进行预测，通过比较检验和误差分析，得到用五维的灰色动态GM (1，1)来预测对中长期效果最好。

为了得到更加精确的自适应数据结果，对灰色动态GM (1，1)预测模型进行了改进，利用迭代思想，提出了新陈代谢模型，得到了一个动态化的预测人口变化规律的模型，利用五维的灰色动态GM (1，1)预测模型来启动新陈代谢模型，得到城市生育率的变化规律，2006～2011年城市人口出生率分别为：32.968148‟， 30.2742457‟，26.0447‟，28.0792‟，34.156366‟，22.856509‟。

最后对我们的模型进行检验和误差分析的结果显示，利用五维的新陈代谢模型得到了较精确的结果，中国人口总数大概在2050年趋于稳定，自然增长率逐渐减少，大概在2010年后进入老龄化阶段。

在文章的最后，我们还对模型进行了评价，对结果进行了分析，并把模型进行了推广应用。我们针对中国人口的现状，提出了具有相当参考价值的建议。

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关键词

人口演化模型，差分方程，灰色动态GM (1，1) 模型，新陈代谢模型

一、问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)及《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据（附录2），做进一步的分析。同时也可以搜索相关文献和补充新的数据，来建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处。

二、问题分析

针对题中给出的数据，只是2001-2005五年的信息，要我们根据这些人口信息去预测我国未来的人口变化趋势，建立一个简单的模型肯定是不能够满足长期效应的。因为题中也已说明有很多因素影响着中国人口的增长，所以我们在建立模型时，需尽量考虑周全。

题目要我们预测的是中国未来人口中短期和长期的变化情况。所以我们可以

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依照题目的要求建立几个模型：第一，总体分析及预测模型；第二，基于差分方程的人口演化模型；第三：灰色预测模型。鉴于模型可靠性和科学性的追求，我们可在模型的改进里面用新陈代谢模型对前面的GM (1，1) 灰色模型进行更加精确的改进，以此来预测中国人口的长期变化。

总体分析及预测是对短期内城、镇、乡的人口死亡率、出生率而言的；此模型拟合简单，但对中长期没有太大作用，因此需要进一步改进。人口演化模型是预测中期内我国总的人口数及人口增长率的，此模型得到的总体结果较好，但是也不能很好地满足长期变化，因此也需要改进。GM (1，1) 灰色预测模型对于中长期内城、镇、乡的人口死亡率、出生率、我国总的人口数及人口增长率都能解出较好的结果，但我们不应该满足于此，因为新陈代谢模型中的迭代思想预测出的结果将更加精确，所以，我们可在模型的改进里面挑选一两组数据利用新陈代谢来进行比较和检验。

三、条件假设

⑴影响人口数量与增长率的各种因素之间无相互作用；

⑵题中数据为统计值，能客观反映人口数量与增长率的实际变化情况； ⑶附录2所给出的数据具有可预测性； ⑷中国每年的人口增长可以认为是近似均匀的； ⑸在预测模型中，假设未来十年没有发生重大突变； ⑹不考虑迁入和迁出等因素对人口变化的影响； ⑺假定生育率同出生率的定义相同；

⑻假定14岁以前及50岁以后的女性均不对人口的生育率造成影响，即使有特殊情况，也可将其纳入到15至49岁的女性范围内进行考虑；

⑼假定50岁以前的人的死亡率相对于中国人口总的死亡率可以忽略不计，即使有特殊情况，也可将其纳入到中老年人的范围内进行考虑； ⑽假定人口的死亡率对女性的生育率没有影响；

⑾假定随着年龄的增长，由14岁踏入15岁和由49岁踏入50岁的女性的生育率对总体的影响可以忽略，即使有特殊情况，也可假定二者的影响相互抵消； ⑿长期预测时，不考虑男女比例的变化对模型的影响。

四、符号说明

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符号 W W(0) i j p q y(n) y(0)

说明 中国总人口数 原始（第一年）的人口数 年龄(i=0,1,2,„„,90+),其中90+表示90岁以后 年份(j=1,2,„„) 其中j=1表示2001年,j=2表示2002年，其余类推 人口出生率（生育率） 人口死亡率 第n年的人口增长率 人口净增长率的平均值 单位 口 口 岁 年 ‟ ‟ ‟ ‟ 五、模型的建立与求解

5.0人口信息的总体分析及预测 对于附件2给出的数据，我们按年龄的不同分为三个阶段：少年儿童型（0～14）、青壮年型（15～49）、中老年型（50～90＋）。我们利用Excel强大的统计及分析功能，得出了2001-2005年人口信息的简化表，如下所示：

表1 人口信息按年龄别分三个阶段进行的统计计算结果

2001年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 死亡率‟ 男性 0～14 15～49 50～90＋ 2.11 1.55 女性 1.55 0.63 生育率‟ 28.71 镇 死亡率‟ 男性 2.35 1.96 82.88 女性 3.08 1.78 .32 生育率‟ 33.96 乡村 死亡率‟ 男性 6.46 4.10 女性 8.84 4.50 生育率‟ 45.83 .68 95.59 108.24 73.98 2002年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 死亡率‟ 男性 0～14 15～49 50～90＋ 3.00 1.25 女性 3.35 0.75 生育率‟ 27.44 镇 死亡率‟ 男性 1.74 1.52 99.05 女性 3.23 0.66 63.60 生育率‟ 34.39 乡村 死亡率‟ 男性 6.39 2.56 女性 6.99 1.63 生育率‟ 47.22 38.97 63.01 101.81 .97 2003年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 年龄别 城市 死亡率‟ 生育镇 死亡率‟ 生育乡村 死亡率‟ 生育 6

男性 0～14 15～49 50～90＋ 0.95 1.36 女性 2.00 6.42 率‟ 2.72 男性 2. 1.58 女性 4.56 0.96 率‟ 3.76 男性 5.70 2.32 女性 5.72 1.48 率‟ 4.79 .43 80.75 103.59 82.86 116.96 98.53 2004年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 死亡率‟ 男性 0～14 15～49 50～90＋ 1.14 1.19 女性 0.55 0.67 生育率‟ 29.95 镇 死亡率‟ 男性 0.94 1.25 91.33 女性 1.35 0.98 62.22 生育率‟ 38.50 乡村 死亡率‟ 男性 4.84 2.29 女性 5.74 1.35 生育率‟ 48.20 79.10 66.92 116.56 76.00 2005年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 死亡率‟ 男性 0～14 15～49 50～90＋ 1.88 1.33 女性 1.71 0.56 生育率‟ 26.47 镇 死亡率‟ 男性 2. 1.81 90.63 女性 2.91 1.67 52.85 生育率‟ 40.80 乡村 死亡率‟ 男性 4.04 2.70 女性 5.09 1.32 生育率‟ 47.25 93.58 79.01 106.92 73.31 鉴于上表整理出的结果，考虑到2005年的总人口数与实际相差悬殊，因此我们根据前面四年的数据，利用Matlab优异的编程及绘图功能（源程序见附录），对几年内各种类型的人的人口数、死亡率、出生率及增长率进行了较为精确的拟合，其拟合出来的图形如下：

7

由上面的图形可以看出：无论男性、女性，也不管是城市、镇，还是乡村，其死亡率、生育率大体上在这五年内都是呈波动性变化的。由此，我们同样可以用Matlab（源程序见附录）粗略预测出未来短期内人口的数量、死亡率及出生率的变化情况。其最终结果显示：

表2 不同地区男女性死亡率及出生率随年份变化的预测结果

年份 类别 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 2006 67.524680 71.235684 31.450226 91.3260 65.120535 30.685045 61.563055 73.562840 44.250350 2007 68.215205 72.035204 31.240512 95.6280 66.582945 29.356250 37.2120 73.5622 43.512945 2008 68.215234 72.456985 30.256245 97.452025 66.6582 27.258250 24.356255 74.562840 42.563525 2009 68.365205 72.456970 29.856250 98.5620 66.356824 25.639520 17.652415 75.758460 42.260596 2010 68.402650 72.457075 28.562985 97.865240 67.325099 24.536250 13.2558 75.6210 41.2631 城市 8

年份 类别 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 2011 68.1782 72.475692 28.5620 98.562341 67.852432 24.569825 11.8620 75.6235 41.256324 2012 68.253420 72.3621 27.410978 98.6231 67.245612 23.5242 10.986524 75.2650 41.1522 2013 68.3788 72.365865 27.105242 98.865242 67.356240 23.915246 10.6232 76.012533 41.005684 2014 68.5692 72.3621 26.8620 98.965241 67.4562 23.2684 10.462584 76.32 40.865242 2015 68.6522 72.365624 26.586842 99.2012 67.856240 22.52 10.015244 77.0125 40.562948 城市 我们把上面的总体分析及预测的结果同今年初发布的《国家人口发展战略研究报告》中的内容进行对比，可以发现二者之间有一定的误差，为了缩小误差，提高模型的可靠性与科学性，我们尝试着提出了下面的人口演化模型。 5.1人口演化模型

5.1.1人口演化模型的建立

人口演化模型是在人口数据的基础上,通过对人口净增长率数据拟合,得到人口净增长率拟合曲线,并将其简化为

y(n)= y(0)/(a+λn) (1)

其中,常数y(0)是近几年中国人口净增长率的平均值。由附录一及查阅到的数据(见附录二)，我们通过计算得到1990-2005年中国人口净增长率的平均值为

y(0)=(14.59+12.98+„„+6.45)/13*1000=0.01009

预先给出a=0.7 和λ=0.34,然后建立简单的一阶变系数齐次差分方程 W(n)=W(n-1)+ y(n)*W(n-1) (2)

即第n 年的人口数必是上一年人口数加上人口净增长率y(n)乘上一年人口数的和,这是人口演化最基本最简单的规律。通过给出多组不同的常数a和λ来解差分方程(2)式,可以找出合适的常数λ和a,得出中国人口发展变化曲线函数关系，并可用该模型对应的函数关系预测中国人口增长的中短期和长期趋势。 5.1.2模型求解与模型的检验

对于一阶变系数齐次差分方程(2)可用Matlab软件先拟合近几年来人口的净增长率曲线,并确定一个相对简单的y(n)的近似表达式,然后再代入(2)式中解差分方程。

根据附录一及查阅到的资料（见附录二），基于1990年到2005这16年中国人口数据的变化情况，我们设1990年为离散时间变量的0点, 即n=0对应于1990年, 则W(0)为1990年的人口数。用Matlab软件中的数据拟合函数Polyfit及Plot先对人口的净增长率(原始数据见附录二)进行数据拟合，得到下图：

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已求得y(0)=0.01009。接下来我们调整a与λ的值,代入方程(2)调用Matlab软件中的差分方程求解函数Rslove,得W(n)随n变化的函数关系,记为G(n)。考虑到模型计算人口数据与实际人口数相差越小越好,因此我们可以多次调整a与λ的值，并解差分方程,发现a=0.57,λ=0.021时误差相对最小,且平均误差为0.213亿,最终得到G(n)随n 变化的函数关系为

G(n)=

2.2215Gamma[35.7n] (3)

Gamma[35.1005n]其中Gamma(x)为伽马函数。

为确保所建立的人口模型有一定的科学性,我们对其进行检验。求出“实际人口数”与模型预测人口数的差e(n)及平均误差ave.若设W(n)表示人口的原始数据,见附录二,G(n)表示模型预测人口数据,N 表示考察了总共N(=16)年的人口数,则有

e(n)=|G(n)-W(n)| ave=

eN(n) (4)

通常情况下,e(n)值越小,模型的精度越高。在此模型中,平均误差为0.134亿。考虑到实际情况,16年人口的发展是自然的变化,而在这么长的时间里的人口变化情况不可能用一个比较规律的数学函数把它完全的描述出来,再加上某一时段自然环境和人为因素的影响,人口变化的规律更加不可预测, 故产生一定量级的平均误差是不可避免的。所以这个模型在客观上具有一定的科学性。

5.1.3模型的结果与分析

根据查阅到的资料,2005年的总人口为13.055亿。我们用所建立的模型预

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测未来20年中国人口的发展变化情况，用（3）式可计算出2006-2025年的人口数据，由增长率的定义又可得每年的增长率。其最后结果如下表所示：

表3 人口演化模型预测出的2006-2025年中国的总人口（单位：亿）及增长率

年份 人口数 增长率‟ 年份 人口数 增长率‟ 2006 13.115 4.60 2016 13.513 2.01 2007 13.170 4.19 2017 13.538 1.83 2008 13.221 3.87 2018 13.561 1.72 2009 13.268 3.55 2019 13.583 1.60 2010 13.312 3.32 2020 13.605 1.52 2011 13.353 3.06 2021 13.624 1.41 2012 13.391 2.80 2022 13.2 1.32 2013 13.425 2. 2023 13.659 1.24 2014 13.457 2.38 2024 13.674 1.13 2015 13.486 2.21 2025 13.688 1.01 显而易见，由此模型得出的结果较模型1精确，通过预测出的人口数及增长 率与题中的附件进行比较，发现误差减小了很多。但是，此模型得到的只是总的 人口数及总的增长率，并没有分性别、城、镇、乡等进行模拟，而且预测出的是 中国人口未来中期的变化趋势，并不能很好地对长期情况进行预测，为此我们又 引进了灰色预测模型。 5.2灰色预测模型

灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类方法, 在形式上是单数列预测， 只运用研究对象自身的时间序列建立模型, 与其相关联的因素没有参与建模，这 正是灰色系统“灰”的体现。因为任何一个系统究竟包含多少因素，难以说清。 比如人口系统的再生产是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多 因素影响、制约的共同结构。如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚， 它们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映出人口系统具有 明显的灰色性，发掘和认识原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。 5.2.1灰色系统建模方法

设X(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，„，x(0)(n)]为系统输出的非负原始数据序列，为提 示系统的客观规律，在建模前灰色系统理论采用了独特的数据预处理方式，对序 列X(0) 进行一阶累加生成，即1-AGO(Accumulating Generation Operator)，得 生成序列X(1) ，即

x(k)x(0)(i) (k=1,2, „,n) (1)

(1)i1kGM(1,1)预测模型是一阶单变量的灰色微分方程动态模型，即

x(0)(k)az(1)(k)b (k=1,2, „,n) (2)

(1)

其中z(1)(k) 为x(1)(k)的紧邻均值生成，即z(1) (k)=0.5[x (k)-x(1) (k-1)] ,

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dx(1)式（2）的白化方程为：ax(1)b (3)

dt其中a , b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作用量，a的有效区间 是（-2，2）。应用最小二乘法可经下式求得：

a(a,b)(BB)BYnTT1T

1/2(x(1)(1)x(1)(2)),1(1)(1)1/2(x(2)x(3)),1 ； Y n=[x(0)(2),x(0)(3),„,x(0)(n)] 其中B,(1)(1)1/2(x(n1)x(n)),1(1)bakb(0)x(k1)(x(1))eaa 方程的解，即时间响应函数为：(1)(1)(0)x(k1)x(k1)x(k)5.2.2灰色模型检验

为确保所建灰色模型具有较高的精度应用于预测实践，一般需要按下述 步骤进行检验： ①求x

(0)

(k) 与x(k)之残差e (k)，相对误差k和平均相对误差，

(0)

(0)e(k)1n即： e(k)=x(k)- x(k) , k= (0) 100%, k

x(k)nk1(0)②求出原始数据平均值x，残差平均值e，即：

1n(0)1n(0) xx(k), ee(k)

nk1n1k2③求出原始数据方差s12与残差方差s22的均方差比值c和小误差概率p，即：

1n(0)1n(0)22[e(k)e]2, c=s2/s1 ; s1=[x(k)x], s2nk1n1k22

pp{e(k)e0.6745s1}

(0)通常e (k)、k、c值越小p值越大，则模型精度越好。若<0.01，且

 12

k<0.01，c<0.35, p>0.95 ，则模型精度为一级。根据灰色系统理论，当发展

系数a(-2,2)且a-0.3时，则所建GM（1，1）模型可用于中长期预测。 5.2.3中国人口预测与实证分析

实际灰色建模中, 系统的原始序列数据不一定全部用来建模，不同维数(或 长度) 序列建模, 所得参数a, b 的值是不一样的，它们构成一个预测灰区间。 为提高预测精度，必须筛选适当维数的灰色模型，同时也可构造等维的新陈代 谢模型。所谓新陈代谢模型，即由原始序列

X(0) = [x (0)( 1)，x(0)( 2) ，„， x (0) ( n) ]

建模后求得预测值x (0) ( n + 1) ，将此最新信息加入序列，并去掉最 老信息x (0) (1) 以保持序列长度不变，如此反复类推则可建立GM(1 ，1) 模型群。新陈代谢模型充分利用数据所携带的最新信息，揭示系统的发展趋势， 通常可获得较高的预测精度。

从预测实效出发，我们不直接由附件中人口序列建模，而是先对原始数据 进行一阶差分处理，求出各年净增人口序列，然后应用净增人口序列建模，计 算净增人口预测值，再加上上年总人口值，得出所预测年份总人口值。为此可 建立灰色动态GM (1，1) 模型，对我国人口的中长期变化趋势进行检验性预测。

摘自表1中的数据，我们先选取2001-2005五年内城市男性的死亡率来建 立和检验上述的灰色模型。设连续两年城市男性的死亡率的平均值为B，则由 公式

A＝（BTB)1(BTC)

51.825,1.2,151.825,.2,84.625,86.34 且BT＝ ，B84.625,11,1,1,186.34,1C25.71,50.46,10.33,14.481

T0.0012,0.0870T（BB) , BC 0.0870,6.4856T134.69528.9 得A＝-1.6941,-114.4127

不妨设m= 1.91，n= 114.4127。可得以下的关系式：

13

Tnx(t)＝x(0)emt69.37887= 4.69887e1.91t69.37887 （1）

m上式中x(t)在此即表示经过t年时城市男性的死亡率。例如当t=1时，即 2006年的城市男性死亡率为x(1)=4.69887e1.9169.37887= 68.48‟

同理，我们可以得到不同地区、不同性别、不同年份的人口死亡率、出生 率、增长率以及人口总量的关系函数。它们分别表示如下（用Matlab求解矩 阵的逆阵、转置、矩阵的乘法运算的源程序见附录）：

81.33690.8140t81.3369经过t年时镇男性的死亡率x(t)＝82.88 e0.81400.8140 ＝17.04248e0.8140t99.92248 （2）

6.74570.635t6.7457经过t年时乡村男性的死亡率x(t)＝108.24 e0.6350.635 ＝97.6169e0.63t10.6231 （3）

474.79996.4620t474.7999经过t年时城市女性的死亡率x(t)＝95.59 e6.46206.4620＝22.11431e6.4620t73.47569 （4）

40.76150.5968t40.7615e经过t年时镇女性的死亡率x(t)＝.32 0.59680.5968＝3.9801e0.5968t68.30010 （5）

2.25530.0239t2.2553e经过t年时乡村女性的死亡率x(t)＝73.98 0.02390.0239＝20.38402e0.0239t94.302 （6）

1.23230.0795t1.2323e经过t年时城市人口的出生率x(t)＝128.71 0.07950.0795＝13.20937e0.0795t15.50063 （7）

4.05570.1933t4.0557e经过t年时镇人口的出生率x(t)＝33.96 0.19330.1933 14

＝12.97862e0.1933t20.98138 （8）

0.81870.0327t0.8187经过t年时乡村人口的出生率x(t)＝45.83 e0.03270.0327＝20.79330e0.0327t25.036697 （9）

我们假定t=1表示2006年，t=2表示2007年，后面如此类推。由上面得 出的九个关系式，我们代入相应的t值，即可得到不同年份、不同地区、不同 性别的人口死亡率、出生率以及总的人口数、人口增长率的相关信息，最后经 计算摘录的结果显示如下表：

表4 五维灰色动态GM (1，1) 模型预测结果

年份 类别 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 2006 68.4750 73.510225 32.968148 92.371260 66.108773 31.678808 62.613068 74.461402 45.161051 13.115 4.565 2011 69.378633 73.476900 29.0363 99.5974 68.1241 25.050810 12.850980 76.703159 42.125625 13.351 3.055 2020 2007 69.205249 73.475692 32.052095 96.5762 67.093620 29.7970 38.312427 74.931435 44.513629 13.170 4.195 2012 69.348824 73.476900 28.420878 99.488836 68.240277 24.3350 11.809651 77.120244 41.575855 13.388 2.75 2025 2008 69.205249 73.475690 31.206049 98.440010 67.635847 28.248814 25.373263 75.390368 43.887034 13.221 3.86 2013 69.378868 73.476900 27.8523369 99.7160 68.2695 23.746000 11.255047 77.527486 41.043772 13.422 2.50 2030 2009 69.377504 73.475690 30.424660 99.266045 67.934382 26.971451 18.477300 75.838460 43.280596 13.268 3. 2014 69.378869 73.476900 27.327244 99.911262 68.281598 23.260072 10.959620 77.925106 40.528796 13.453 2.36 2035 2010 69.377636 73.476900 29.702985 99.631438 68.300099 25.91859 14.806191 76.225973 42.693670 13.311 3.25 2015 69.378869 73.476900 26.842281 99.917509 68.2984 22.859561 10.802320 78.313335 40.030407 13.482 2.12 2040 城市 总人口数（亿） 人口增长率‟ 年份 类别 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 城市 总人口数（亿） 人口增长率‟ 年份 类别 15

城市 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 69.378869 73.475690 24.9193 99.922395 68.299584 21.700043 10.630782 80.121223 37.768853 13.575 1.375 2045 69.378869 73.475690 21.521104 99.922479 68.300099 20.987000 10.623100 86.527851 30.696131 13.722 0.145 69.378869 73.475690 23.628053 99.922478 68.300073 21.253177 10.623400 81.7272 35.848418 13.634 0.87 2050 69.378869 73.475690 21.344073 99.922479 68.300099 20.9835 10.623100 87.410494 29.810440 13.780 0.085 69.378869 73.475690 22.759938 99.922479 68.300098 21.249867 10.623120 83.149030 34.2178 13.673 0.565 2055 69.378870 73.475690 21.225109 99.922479 68.300099 20.982200 10.623100 88.193713 29.090400 13.781 0.0872 69.378869 73.475690 22.176567 99.922479 68.300099 21.023132 10.623100 84.412241 32.832853 13.697 0.355 2060 69.378870 73.475690 21.145024 99.922479 68.300099 20.981624 10.623100 88.888629 28.4747 13.783 0.1706 69.378869 73.475690 21.7842 99.922479 68.300099 20.996343 10.623100 85.533173 31.656914 13.712 0.22 2065 69.378870 73.475690 21.091443 99.922479 68.300099 20.981502 10.623100 .5015 27.959756 13.7 0.32 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 总人口数（亿） 人口增长率‟ 年份 类别 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 城市 总人口数（亿） 人口增长率‟ (注：表中2055、2060、2065三年的数据是我们利用2010-2050年间的数据经过Matlab多次拟合得到的（源程序见附录）)

由上表显示的结果可以看出：灰色动态GM (1，1) 模型对于长序列的预测效果较好，即对我国人口中长期的变化趋势能够很好地反映。但是，从上表不难看出，2050年以后我国的总人口数相对稳定，其增长率不大。

从灰色预测模型公式中可以看出，它是一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一年的预测结果应该是很精确的，但对后续几年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模型的广泛适用性，我们可做如下改进：

GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是x (n)以后的前几个数据，随着时间的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所以，要在原数据的基础上每次增加一个新信息时，就去掉一个老信息。这种新数据补充、老数据除掉的数据列，由于其维数不变，因而叫等维信息数据列，相应的模型叫等维灰数递补模型，或叫新陈代谢模型。利用已知数列建立的GM(1,1)模型预测一个值, 然后补充一个新信息数据到已知数列中, 同时去掉最老的一个数据, 使序列等维, 接着再建立新陈代谢模型，这样逐个滚动预测，依次递补，直到完成预测目标为止，这样我们再对具体问题进行预测，就可以得到更为精确的结果。

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5.3新陈代谢模型

通过对上面所建模型的结果进行的分析，我们可选用附录一、二及表1、表 4中的数据，以灰色动态预测模型为基础建立新陈代谢模型。为筛选合适的模型， 这里我们分别选取4～6维男女性死亡率、出生率短序列，建立新陈代谢式

GM (1，1) 模型群，对我国人口的长期变化趋势和实际总人口数进行预测、检验 性预测。

利用Matlab对数据进行处理（原理同上），我们得到城市男性死亡率的四维

4.63010.1755t4.6301灰色动态GM (1，1) 模型x(t)＝.68 e0.17550.1755 ＝38.2977e0.1755t26.3823

取t=1，即得2005年城市男性的死亡率为

x(1)=38.2977e0.175526.3823=72.0271‟

同理我们可得其它地区、不同性别的人口死亡率、生育率的四维灰色动态 GM (1，1) 模型的关系式（详略），代入相应的t值即可得到四维灰色动态GM (1，1)模型的预测结果，最后整理如下：

表5 四维灰色动态GM (1，1) 模型预测结果 年份 城男性死亡率‟ 2006 72.0271068 73.53423 30.190303 96.388500 62.258459 40.486165 109.52 78.7559405 48.056225 2011 136.152845 73.52000 40.728753 100.628187 36.8393 1.428509 123.6553120 87.72501 .023099 2007 80.783692 73.52 31.848527 99.617328 59.1933 50.169626 11.283817 82.0515 50.555767 2012 157.2111302 73.52000 43.653625 100.630706 26.046822 234.043314 128.948405 88.2412922 68.482915 2008 91.783692 73.52000 33.706056 100.30 55.959926 .537856 113.411861 84.325746 53.362180 2013 182.3178758 73.52000 46.930013 100.631308 11.825537 337.41 135.595591 88.596501 73.4902685 2009 103.658759 73.52000 35.786845 100.573557 51.2416 85.860440 116.084300 85.5008 56.513142 2014 212.222995 73.52000 50.600227 100.6314527 9.6521 490.74773 143.943495 88.842021 79.1123806 2010 118.483671 73.52000 38.117812 100.61788 45.029787 117.4908 119.440508 86.977868 60.050950 2015 247.8748511 73.52000 .7115 100.6314871 9.456235 718.260 1.426998 .0114339 85.4247268 市 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 年份 城市 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 同理我们还可以得到六维灰色动态GM (1，1)模型的预测结果，如下表： 表6 六维灰色动态GM (1，1) 模型预测结果

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年份 城男性死亡率‟ 2006 63.8010622 74.488137 28.236584 .351056 63.2941 33.3092256 61.613068 73.822429 46.003139 2011 .443633 74.436000 26.1486953 95.10761874 57.30215 30.674607 13.850980 73.018300 46.28701 2007 62.691573 74.436128 27.7939124 92.437871 62.1849367 32.703720 37.312427 73.663783 46.17786188 2012 50.872372 74.436000 25.7731937 95.1838596 56.2999279 30.251976 11.2061 72.816791 47.0757259 2008 61.28730 74.436000 27.36000681 93.910910 61.072221 32.1401094 24.373265 73.5040 46.3184 2013 46.348378 74.436000 25.4110059 95.2202279 55.02919 29.8595077 10.987652 72.681534 47.26025336 2009 59.514330 74.436000 26.9416158 94.612735 59.958253 31.6161408 17.573320 73.343236 46.5321101 2014 40.638729 74.436000 25.061659 95.2375763 50.514799 29.493532 9.9520 72.597322 47.4467 2010 57.274146 74.436000 26.538000 94.9478 58.7521 31.128084 14.806129 73.181165 46.00313956 2015 33.4244862 74.436000 24.724700 95.245857 52.352262 29.1538 9.763825 72.3550198 47.634384 市 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 年份 城市 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 男性死亡率‟ 镇 女性死亡率‟ 出生率‟ 乡村 男性死亡率‟ 女性死亡率‟ 出生率‟ 对于四维、五维、六维灰色动态GM (1，1) 模型的预测结果，我们通过比较分析知：五维灰色动态GM (1，1) 模型预测的结果最好。因此我们采用五维模型中的城市人口出生率来进行迭代，构造出五维新陈代谢模型。

选用五维灰色动态GM (1，1) 模型预测结果中的城市人口出生率来进行迭代，其迭代出的2006～2011年六年间的城市人口出生率分别为：32.968148‟， 30.2742457‟，26.0447‟，28.0792‟，34.156366‟，22.856509‟。此结果与前面预测出的值非常符合。从而再次说明五维灰色动态GM (1，1) 模型较好。说明我国人口的又一个生育高峰期大约在2010年左右，在2008年开始进入老龄化阶段。

5.4模型的检验及误差分析

为确保所建灰色动态GM (1，1)模型及新陈代谢模型具有较高的精度，可较 精确地应用于预测实践，我们可对模型进行如下检验：

根据前面的公式，残差e(k)=x(k)—x(k)； 相对误差k=

e(k) 100% (0)x(k)(0)

(0)我们用四维灰色动态GM (1，1) 模型预测出的结果（见表5）同实际给出 的数据（见表1）进行比较，得到2005年城、镇、乡人口的死亡率、出生率的

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相对误差k如下：

表 2005年人口信息的相对误差k 类 城市 男性 死亡率 23.03 女性 死亡率 1.25 出生率 男性 死亡率 6.35 镇 女性 死亡率 17.08 出生率 男性 死亡率 2.50 乡村 女性 死亡率 7.43 出生率 别 误 差 相对误 差（%） 10.23 0.77 1.71 由上表可以看出：四维灰色动态GM (1，1) 模型预测的结果总体上还不够精确，有些误差还比较大。为此，我们采用了精确度较高的五维新陈代谢模型。此模型的检验结果较好。

六、模型的结果与分析

从本文提出的几种模型预测的数据情况看, 我国人口由于基数比较大,人口总数仍然缓慢的增长,到2065年我国人口总数将达到13.7亿。灰色模型和新陈代谢模型从人口的发展趋势上说明：在未来60 年内我国的人口自然增长率将呈下降趋势，而且人口基数仍然不断增长。这两个模型对未来中国人口的发展趋势的判断是一致的。

通过对人口信息的总体分析及预测，可知人口总量越过峰值后,65 岁以上老年组人口比例开始超过15 岁以下的儿童组,这代表我国老龄化程度的不断提高。人口演化模型的结果表明：中国的总人口数在未来20年是不断增加的，且不会超过13.7亿；但增加的幅度，即增长率却不断减小，这与前面总体分析及预测的情况是相符合的。

灰色模型得出的结果显示：2050年以后中国人口将趋于稳定，大约保持在13.8亿左右；其增长率也很小，均没超过0.4‟。这说明在总和生育率维持在1.6 的条件下, 各年度出生人口的数量是逐年减少的。如果生育率维持在比较附合人口可持续发展的更替水平左右, 中国总人口的峰值不会突破14 亿, 即在未来20 至60 年的期间内, 仅在当前13 亿人口的基础上增加10%而已。

七、模型的评价及推广应用

人口预测方案是国家中长期经济社会发展规划和统筹解决人口问题的基础性数据,应给予高度的重视。不应仅满足于规划期5年的人口预测数据,因为人口变化过程相对缓慢,往往不足以在一个五年规划期间充分展现,任何涉及人口领域,包括人口在总量、结构、分布和素质等领域发展的,都必须基于人口预测

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数据考虑一代人或更长时期的后果和影响。

基于1990年到2005年人口数据的中国人口演化差分方程模型数据取得较少,因此就有一定的偶然性因素,此模型及其解也将有一定的偶然性误差；但该模型对短期的人口变化趋势却能较好地预测。

考虑到影响人口系统增长的因素众多，并不是用几个指标所能表达清楚的。而且, 这些因素之间的结构关系难以准确描述, 它们对人口增长的作用更是无法精确计算。多数因素都在动态变化之中, 其运行机制和变化规律难以完全明白。因此灰色动态GM (1，1)模型的引进较好地解决了这个问题。此模型在客观上有一定的科学性，但由于众多因素影响,人口变化的规律更是不可预测,故不可避免地会产生一定量级的平均误差。

为了进一步提高模型的科学性与可靠性，我们向灰色动态GM (1，1)模型中注入了迭代思想，得到了新陈代谢模型。此模型能把看起来杂乱无章的数字有规律地组织起来对其进行精确的预测，而且具有长期效应。

模型验证可以表明：灰色预测法特别适用于那些因素众多、结构复杂、涉及面广而层次高、综合性较强、互相性较好的社会系统指标趋势预测，诸如总人口、生产总值、总产量、总收入、消费总额等。

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附录一:2001～2005年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率统计表

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2001年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 0 1～4 5～9 10～14 15～19 20～24 25～29 30～34 35～39 40～44 45～49 50～59 60～69 70～79 90～ 死亡率‟ 男性 5.92 1.19 0.87 0.47 0.75 1.11 0.35 1.35 1.55 2.90 2.87 5.62 女性 5.20 0.26 0.42 0.30 0.37 0.23 0.51 0.76 0.60 1.45 4.03 生育率‟ 0.74 53.60 31.16 6.81 0.76 0.22 男性 6.95 1.29 0.80 0.35 0.57 0.77 2.23 0.97 1. 4.07 7.18 镇 死亡率‟ 女性 10.45 0.67 0.83 0.39 0.36 0.36 0.72 1.06 0.27 2.04 3.70 生育率‟ 1.52 83.83 28.07 8.49 1.72 0.20 男性 2.09 0.63 0. 0.77 1. 2.17 2.41 3.24 4.94 9.17 乡村 死亡率‟ 女性 1.34 0.30 0.35 0.57 22.59 33.35 生育率‟ 4.02 0.82 133.72 1.41 123.47 1.09 1.37 1.69 2.92 5.16 46.06 9.98 2.73 0.82 0.53 107.71 1.58 1.11 113.90 1.66 16.49 11.79 48.29 31.14 131.70 337.85 21.59 13.08 59.14 32.40 121.00 84.84 205.50 187.60 26.93 17. 66.27 47.63 173.60 109.90 265.30 1.30 80～ 121.30 93.12 2002年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 0 1～4 5～9 10～14 15～19 20～24 25～29 30～34 35～39 40～44 45～49 50～59 60～69 70～79 90～ 死亡率‟ 男性 0.21 0.60 0.42 0.60 0.50 0.58 1.02 1.27 2.28 2.51 6.08 16.18 女性 0.30 0.39 0.16 0.12 0.03 0.55 0.40 0.82 1.03 2.29 2.85 9.87 10.76 12.53 生育率‟ 0.59 55.79 97.65 30.23 6.63 0.96 0.25 男性 4.77 1.33 0.36 0.51 0.58 1.55 1.03 0.82 1.20 2.09 3.40 9.14 镇 死亡率‟ 女性 12.92 0.00 0.00 0.00 0.20 生育率‟ 1.31 男性 1.70 0.65 0. 0.92 乡村 死亡率‟ 女性 0.80 0.35 0.41 0.46 22.68 26.42 生育率‟ 4.53 0.20 100.30 2.10 0.35 101.20 1.37 0.55 0.72 0.81 1.82 4.36 30.67 5.66 1.38 0.23 2.08 3.31 3.48 4.68 9.59 0.73 142.60 0.97 115.95 1. 2.28 2.91 2.42 5.51 52.29 12.22 2.50 0.45 21.80 13.63 57.02 39.21 133.50 112.80 273.80 148.00 27.43 20.04 72.61 47.71 1.60 129.90 234.80 246.70 49.47 30.30 108.80 186.71 80～ 111.30 85.37 21

2003年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 0 1～4 5～9 10～14 15～19 20～24 25～29 30～34 35～39 40～44 45～49 50～59 60～69 70～79 90～ 90～ 死亡率‟ 男性 3.25 0.10 0.25 0.22 0.18 0.21 0.43 1.31 1.71 2.28 3.38 5.79 15.82 女性 7.31 0.29 0.19 0.20 0.06 0.21 0.46 40.49 0.78 1.31 1.60 3.31 9.99 生育率‟ 0.20 6.42 9.03 2.68 0.55 0.14 0.03 男性 8.60 0.67 0.42 0.48 1.87 1.59 0.38 0.85 1.65 2.30 2.41 5.73 镇 死亡率‟ 女性 16.59 0.92 0.10 0. 0.25 1.22 0.46 0.74 0.57 1.56 1.90 4.20 生育率‟ 0.53 11.61 10.29 2.90 0.71 0.18 0.12 男性 1.49 0.75 0.37 1.10 1.49 1.70 1.58 2.51 3.61 4.26 9.87 乡村 死亡率‟ 女性 1.63 0.68 0.55 0.07 1.20 1.12 1.11 1.56 1.95 3.36 5.35 20.19 20.01 生育率‟ 0.86 15.16 11.38 4.84 1.07 0.17 0.05 17.95 10.20 57.29 31.22 153.60 102.70 283.40 266.00 187.20 169.60 22.32 16.18 69.72 47.31 171.00 112.90 311.90 310.90 316.90 191.00 41.85 30.90 251.20 252.60 208.30 226.57 80～ 132.50 106.94 2004年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 0 1～4 5～9 10～14 15～19 20～24 25～29 30～34 35～39 40～44 45～49 50～59 60～69 70～79 死亡率‟ 男性 4.27 0.20 0.00 0.11 0.24 0.67 0.83 0.93 1.01 1.76 2.88 6.73 14.78 女性 0.60 0.70 0.32 0.59 0.16 0.52 0.40 0.66 0.79 1.91 3.80 9.51 生育率‟ 1.94 67.55 30.35 6.93 1.09 0.09 男性 2.58 0.33 0.12 0.71 0.40 0.13 0.78 0.78 3.47 2.67 7.43 镇 死亡率‟ 女性 4.20 0.45 0.22 0.53 0.02 生育率‟ 4.66 男性 1.18 0.58 0.51 1.04 乡村 死亡率‟ 女性 0.73 0.29 0.58 0.74 17.12 21.35 生育率‟ 9.33 0.42 108.60 1.14 0.33 108.00 1.76 0.36 1.14 2.40 2.21 3.68 37.29 9.52 1.07 0.35 2.16 2.32 3.17 4.42 10.09 0.49 148.30 1.24 113.63 1.33 1.29 1.65 2.73 5.77 51.77 11.53 2.24 0.59 0.28 101.71 0.52 17.34 10.50 39.06 43.02 205.60 84.32 23.13 15.51 .97 43.80 167.70 123.90 42.10 26.09 80～ 123.60 68.

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2005年分性别、年龄别人口的死亡率、生育率 城市 年龄别 0 1～4 5～9 死亡率‟ 男性 6.38 0.5 0.3 女性 6.08 0.38 0.168 0.196 0.19 0.198 生育率‟ 2.848 .55 男性 9.1 0.605 0.448 0.424 0.662 1.046 1.66 1.18 1.842 2.638 3.638 7.233 镇 死亡率‟ 女性 10.79 0.43 0.212 0.196 0.3 生育率‟ 6.582 男性 13.97 乡村 死亡率‟ 女性 18.55 生育率‟ 0.9975 1.135 0.622 0.59 1.228 0.356 0.322 10～14 0.236 15～19 0.462 20～24 0.5 25～29 0.616 30～34 0.884 35～39 1.2 40～44 2.086 45～49 3.466 50～59 5.629 0.626 11.104 0.788 146.97 0.944 104.82 1.146 51.46 0.366 118.35 1.846 6.694 84.524 2.018 0.5 34.186 2.478 0.716 39.514 1.104 1.918 4.007 1.744 0.696 2.81 3.576 4.95 8.308 0.2 79.304 0.34 0.624 0.886 1.446 3.307 29.328 7.136 1.446 0.684 1.412 13.294 1.6 2.6 4.856 2.238 0.848 60～69 15.119 9.222 70～79 40.46 27.812 80～ 117.5 84.845 90～ 2.21 269.87 17.926 10.717 50.165 31.688 124.07 90.27 253.78 127.56 21.11 13.868 58.206 41.816 91.739 69.012 355.23 237.02 附录二:参考附录一及查阅到的资料统计整理后的人口信息表

年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 总人口数（W） 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2399 12.3626 出生率 (p‟) 21.06 19.68 18.24 18.09 17.70 17.12 16.98 16.57 死亡率 (q‟) 6.67 6.70 6. 6. 6.49 6.57 6.56 6.51 增长率 (y‟) 14.39 12.98 11.60 11.45 11.21 10.55 10.42 10.06 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口数 （W） 12.7610 12.5706 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 12.9988 13.0756 出生率 (p‟) 15. 14. 14.03 13.38 12.86 12.41 12.29 12.40 死亡率 (q‟) 6.50 6.46 6.45 6.43 6.41 6.40 6.42 6.51 增长率 (y‟) 9.14 8.18 7.58 6.95 6.45 6.01 5.87 5. （注：其中2001-2005年的数据并非题中附件所给出的数据，而是我们经过统计、拟合与分析后得到的数据）

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附录三: 用Matlab描绘2001-2005年及预测2006-2015年人口信息的源程序

>> clear

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[.68 38.97 .43 79.10 93.58]; %2001-2005年城市男性死亡率的变化 >> subplot(3,3,1); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年城市男性死亡率的变化

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[82.88 99.05 103.59 91.33 90.63]; %2001-2005年镇男性死亡率的变化 >> subplot(3,3,2); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年镇男性死亡率的变化

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[108.24 101.81 116.96 116.56 106.92]; %2001-2005年乡村男性死亡率的变化 >> subplot(3,3,3); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年乡村男性死亡率的变化

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[95.59 63.01 80.75 66.92 79.01]; %2001-2005年城市女性死亡率的变化 >> subplot(3,3,4); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年城市女性死亡率的变化

24

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[.32 63.60 82.86 62.22 52.85]; %2001-2005年镇女性死亡率的变化 >> subplot(3,3,5); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年镇女性死亡率的变化

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[73.98 .97 98.53 76.00 73.31]; %2001-2005年乡村女性死亡率的变化 >> subplot(3,3,6); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年乡村女性死亡率的变化

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[28.71 27.44 2.72 29.95 26.47]; %2001-2005年城市人口生育率的变化 >> subplot(3,3,7); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年城市人口生育率的变化

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[33.96 34.39 3.76 38.50 40.80]; %2001-2005年镇人口生育率的变化 >> subplot(3,3,8); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年镇人口生育率的变化

25

>> x=[2001 2002 2003 2004 2005];

>> y=[45.83 47.22 4.79 48.20 47.25]; %2001-2005年乡村人口生育率的变化 >> subplot(3,3,9); >> a=polyfit(x,y,4); >> x1=2001:.1:2005;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r'); >> hold on

>> plot(x1,y1,'r')

>> x1=[2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015];

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) %预测2006-2015年乡村人口生育率的变化

附录四:用Matlab对人口的净增长率随年份的变化进行拟合的源程序

>> clear

>> x=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002]; >> y=[14.59 12.98 11.60 11.45 11.21 10.55 10.42 10.06 9.14 8.18 7.58 6.95 6.45]; >> subplot;

>> a=polyfit(x,y,4); >> x1=1990:.1:2002;

>> y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >> plot(x1,y1,'r');

附录五:用Matlab对人口信息的各种数据进行矩阵运算的源程序

>> a=[-51.825 -.2 -84.265 -86.34;1 1 1 1]; %城市男性死亡率中的矩阵运算程序 >> b=[-51.825 1;-.2 1;-84.265 1;-86.34 1]; >> f=a*b

f =1.0e+004 *2.1363 -0.0287 -0.0287 0.0004 >> inv(f)

ans =0.0012 0.0870 0.0870 6.4856 >> a=[-5.825 -.2 -84.265 -86.34;1 1 1 1]; >> c=[-25.71;50.46;-10.33;14.48]; >> f=a*c

f =1.0e+003 *-3.4695 0.02 >> a=[0.0012 0.0870;0.0870 6.4856]; >> c=[-3469.5;28.9]; >> f=a*c

f =-1.91 -114.4127

>> a=[-90.965 -101.32 -97.46 -90.98;1 1 1 1]; %镇男性死亡率中的矩阵运算程序 >> b=[-90.965 1;-101.32 1;-97.46 1;-90.98 1]; >> f=a*b

f =1.0e+004 *3.6316 -0.0381 -0.0381 0.0004 >> inv(f)

ans =0.0128 1.2155 1.2155 115.9458 >> clear

>> a=[-90.965 -101.32 -97.46 -90.98;1 1 1 1]; >> c=[16.17 ;4.;-12.26;-0.7] ; >> f=a*c

f =-672.3513 7.7500

26

>> a=[0.0128 1.2155;1.2155 115.9458]; >> b=[-672.3513;7.7500]; >> f=a*b

f =0.8140

>> a=[-105.025 -109.385 -116.76 -111.74;1 1 1 1]; %乡男性死亡率中的矩阵运算程序 >> b=[-105.025 1;-109.385 1;-116.76 1;-111.74 1]; >> f=a*b

f =1.0e+004 *4.9114 -0.0443 -0.0443 0.0004 >> inv(f)

ans =0.0139 1.35 1.35 171.1601 >> a=[-105.025 -109.385 -116.76 -111.74;1 1 1 1]; >> c=[-6.43;15.15;-0.40;-9.] ; >> f=a*c

f =142.0056 -1.3200

>> a=[0.0139 1.35;1.35 171.1601]; >> b=[142.0056;-1.3200]; >> f=a*b

f =-0.0635 -6.7457

>> a=[-79.3 -71.88 -73.835 -72.965;1 1 1 1]; %城女性死亡率中的矩阵运算程序 >> b=[-79.3 1;-71.88 1;-73.835 1;-72.965 1]; >> f=a*b

f =1.0e+004 *2.2231 -0.0298 -0.0298 0.0004 >> inv(f)

ans =0.0306 2.2779 2.2779 169.94 >> a=[-79.3 -71.88 -73.835 -72.965;1 1 1 1]; >> c=[-32.58;17.74;-13.83;12.097]; >> f=a*c

f =1.0e+003 * 1.4469 -0.0166 >> a=[0.0306 2.2779;2.2779 169.94]; >> b=[1446.9;-16.6]; >> f=a*b

f =6.4620 474.7999

>> a=[-63.96 -73.23 -72. -57.535;1 1 1 1]; %镇女性死亡率中的矩阵运算程序 >> b=[-63.96 1;-73.23 1;-72. 1;-57.535 1]; >> f=a*b

f =1.0e+004 *1.8026 -0.0267 -0.0267 0.0004 >> inv(f)

ans =0.0059 0.3972 0.3972 26.7927 >> a=[-63.96 -73.23 -72. -57.535;1 1 1 1]; >> c=[-0.72;19.26;-20.46;-9.37]; >> f=a*c

f =658.9128 -11.2900 >> a=[0.0059 0.3972;0.3972 26.792]; >> b=[658.9128;-11.2900]; >> f=a*b

f =-0.5968 -40.7615

27

>> a=[-81.885 -94.16 -87.265 -74.655;1 1 1 1]; %乡女死亡率中的矩阵运算程序 >> b=[-81.885 1;-94.16 1;-87.265 1;-74.655 1]; >> f=a*b

f =1.0e+004 *2.8760 -0.0338 -0.0338 0.0004 >> inv(f)

ans =0.0049 0.4127 0.4127 35.1204 >> a=[-81.885 -94.16 -87.265 -74.655;1 1 1 1]; >> c=[15.99;8.56;-22.53;-2.69]; >> f=a*c

f = 51.5517 -0.6700

>> a=[0.0049 0.4127;0.4127 35.1204]

a =0.0049 0.4127 0.4127 35.1204 >> b=[51.5517;-0.6700]

b =51.5517 -0.6700 >> f=a*b

f =-0.0239 -2.2553

> a=[-28.075 -15.08 -16.335 -28.21;1 1 1 1]; %城市人口生育率中的矩阵运算程序 >> b=[-28.075 1;-15.08 1;-16.335 1;-28.21 1]; >> f=a*b

f =1.0e+003 *2.0782 -0.0877 -0.0877 0.0040 >> inv(f)

ans =0.00 0.1411 0.1411 3.3428 >> a=[-28.075 -15.08 -16.335 -28.21;1 1 1 1]; >> c=[-1.27;-24.72;27.23;-3.48]; >> f=a*c

f =61.8016 -2.2400

>> a=[0.00 0.1411;0.1411 3.3428]; >> b=[61.8016;-2.2400]; >> f=a*b

f =0.0795 1.2323

>> a=[-34.175 -19.075 -21.13 -39.65;1 1 1 1]; %镇人口生育率中的矩阵运算程序 >> b=[-34.175 1;-19.075 1;-21.13 1;-39.65 1]; >> f=a*b

f =1.0e+003 *3.5504 -0.1140 -0.1140 0.0040 >> inv(f)

ans =0.0033 0.0951 0.0951 2.9619 >> a=[-34.175 -19.075 -21.13 -39.65;1 1 1 1]; >> c=[0.43;-30.63;34.74;2.30]; >> f=a*c

f =-255.6792 6.8400

>> a=[0.0033 0.0951;0.0951 2.9619]; >> b=[-255.6792;6.8400]; >> f=a*b

f =-0.1933 -4.0557

>> a=[-46.525 -26.005 -26.495 -47.725;1 1 1 1]; %乡村人口生育率中的矩阵运算程序

28

>> b=[-46.525 1;-26.005 1;-26.495 1;-47.725 1]; >> f=a*b

f =1.0e+003 *5.8205 -0.1467 -0.1467 0.0040 >> inv(f)

ans =0.0023 0.0840 0.0840 3.3328 >> a=[-46.525 -26.005 -26.495 -47.725;1 1 1 1]; >> c=[1.39;-42.43;43.41;-0.95]; >> f=a*c

f =-66.0868 1.4200 >> a=[0.0023 0.0840;0.0840 3.3328]; >> b=[-66.0868;1.4200]; >> f=a*b

f =-0.0327 -0.8187

附录六:用Matlab对2055-2070年间每隔五年的人口增长率进行拟合的源程序

>>x=[2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050]; >>y=[3.25 2.12 1.375 0.87 0.565 0.355 0.22 0.145 0.085]; >>a=polyfit(x,y,4); >>x1=2010:.1:2050;

>>y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5); >>plot(x1,y1,'r'); >>hold on >>plot(x1,y1,'r')

>>x1=[2055 2060 2065 2070];

>>y1=a(1)*x1.^4+a(2)*x1.^3+a(3)*x1.^2+a(4)*x1+a(5) >>y1 =

0.0872 0.1706 0.32 0.8145

29