(完整版)浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题

浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题

一．选择题（共7小题） 1．A．1

B．

=（ ）

C．2 D．

2．已知xm=a，xn=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（ ） A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D．

3．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）

A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2 C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2

4．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（ ） A．p=0，q=0

B．p=﹣3，q=﹣1 C．p=3，q=1

D．p=﹣3，q=1

5．已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（ ） A．6

B．4

C．2

D．0

的值等于（ ）

6．设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则A．3

B．

C．

D．2

7．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ） A．52013﹣1 B．52013+1 C．

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D．

二．填空题（共5小题）

2+a8．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 ．

9．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．

如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．

（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 ．

（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 张，3号卡片 张． 10．4个数a，b，c，d排列成则为：

=ad﹣bc．若

，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法=12，则x= ．

11．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为 ．

12．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为 ．

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三．解答题（共3小题）

13．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立． （1）若p+q=4，求p﹣q的值； （2）当q2=22n+并说明理由．

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﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，

14．归纳与猜想： （1）计算：

①（x﹣1）（x+1）= ； ②（x﹣1）（x2+x+1）= ； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；

（2）根据以上结果，写出下列各式的结果． ①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；

②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；

（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）； （4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ； （5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．

第4页（共15页）

15．杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每

n一横行都表示（a+b）（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨

辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． （a+b）0=1 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …

上面的构成规律聪明的你一定看懂了！

（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是 ； （2）利用上述规律直接写出27= ； 杨辉三角还有另一个特征：

（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与 的积．

（4）由此你可以写出115= ． （5）由第 行可写出118= ．

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浙教版七年级数学下册第三单元《整式乘除》

参与试题解析

一．选择题（共7小题） 1．（2012秋•南陵县期末）A．1

B．

C．2 D．

=（ ）

【分析】根据xa•ya=（xy）a，进行运算即可． 【解答】解：原式=（=

．

×

）2004×

故选B．

【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，注意式子：xa•ya=（xy）

a的运用．

2．（2001•乌鲁木齐）已知xm=a，xn=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（ ） A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D．

【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆运算计算即可． 【解答】解：∵xm=a，xn=b（x≠0）， ∴x3m﹣2n=x3m÷x2n=故选D．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，逆用性质是解题的关键．

3．（2016春•苏州期中）根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）

．

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A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2 C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2

【分析】大长方形的长为3a+2b，宽为a+b，表示出面积；也可以由三个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，以及5个长为b，宽为a的长方形面积之和表示，即可得到正确的选项．

【解答】解：根据图形得：（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2． 故选：D．

【点评】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键．

4．（2016秋•简阳市期中）使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（ ） A．p=0，q=0

B．p=﹣3，q=﹣1 C．p=3，q=1

D．p=﹣3，q=1

【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含x2项和x3项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出． 【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x+q），

=x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p+q）x2+（pq﹣24）x+8q， ∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项， ∴解得：故选：C．

【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键．

5．（2015春•房山区期末）已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（ ） A．6

B．4

C．2

D．0

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．

【分析】根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案． 【解答】解：4a2﹣b2﹣4b=4a2﹣（b2+4b+4）+4=（2a）2﹣（b+2）2+4 =[2a+（b+2）][2a﹣（b+2）]+4 =（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4 当2a﹣b=2时，原式=0+4=4， 故选：B．

【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．

6．（2012•宁波模拟）设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则A．3

B．

C．

D．2

的值等于（ ）

【分析】已知等式变形后利用完全平方公式化简得到关系式，代入所求式子计算即可得到结果．

【解答】解：m2+n2=4mn变形得：（m﹣n）2=2mn，（m+n）2=6mn， ∵0＜n＜m，

∴m﹣n＞0，m+n＞0， ∴m﹣n=∴原式=故选D．

【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

7．（2014•金水区校级模拟）为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）

A．52013﹣1 B．52013+1 C．

D．

，m+n=

=

，

=2

．

【分析】根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，

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求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值． 【解答】解：令S=1+5+52+53+…+52012， 则5S=5+52+53+…+52012+52013， 5S﹣S=﹣1+52013， 4S=52013﹣1， 则S=故选D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．

二．填空题（共5小题）

8．（2012•泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 11 ．

【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵x2+3x+2 =（x﹣1）2+a（x﹣1）+b =x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）， ∴a﹣2=3， ∴a=5， ∵b﹣a+1=2， ∴b﹣5+1=2， ∴b=6， ∴a+b=5+6=11， 故答案为：11．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．

9．（2012•杭州模拟）有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．

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．

如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．

（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b） ． （2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张． 【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可； （2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可． 【解答】解：（1）如图所示：

故答案为：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；

（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+ab+6ab+3b2=2a2+7ab+3b2， 需用2号卡片3张，3号卡片7张．

故答案为：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；3；7．

【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．

10．（2015•崇左）4个数a，b，c，d排列成定它的运算法则为：

=ad﹣bc．若

，我们称之为二阶行列式．规=12，则x= 1 ．

【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值． 【解答】解：利用题中新定义得：（x+3）2﹣（x﹣3）2=12，

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整理得：12x=12， 解得：x=1． 故答案为：1．

【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

11．（2014春•苏州期末）若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为 y=4（x+1）2+1 ．

【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可 【解答】解：∵4m+1=22m×4=（2m）2×4，x=2m﹣1， ∴2m=x+1， ∵y=1+4m+1， ∴y=4（x+1）2+1，

故答案为：y=4（x+1）2+1．

【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉．

12．（2015•雅安）若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为 510 ．

【分析】通过m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（m1﹣1）

2+（m

22=1510（m2015﹣1）2﹣1）+…+

从而得到1的个数，由m1+m2+…+m2015=1525

得到2的个数．

【解答】解：∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510， ∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数， ∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510=505， ∵m1+m2+…+m2015=1525，

∴2的个数为（1525﹣505）÷2=510个． 故答案为：510．

【点评】此题考查完全平方的性质，找出运算的规律．利用规律解决问题．

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三．解答题（共3小题）

13．（2015秋•厦门期末）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．

（1）若p+q=4，求p﹣q的值； （2）当q2=22n+并说明理由．

【分析】（1）根据已知条件可得a3=2，代入可求p﹣q的值；

（2）根据作差法得到p﹣（a3+）=2﹣n﹣，分三种情况：当n=1时；当n=2时；当n≥3时进行讨论即可求解．

【解答】解：（1）∵a3+a﹣3=p①，a3﹣a﹣3=q②， ∴①+②得，2a3=p+q=4， ∴a3=2；

①﹣②得，p﹣q=2a﹣3=

﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，

=1．

（2）∵q2=22n+

﹣2（n≥1，且n是整数），

∴q2=（2n﹣2﹣n）2， ∴q2=22n+2﹣2n，

又由（1）中①+②得2a3=p+q，a3=（p+q）， ①﹣②得2a﹣3=p﹣q，a﹣3=（p﹣q）， ∴p2﹣q2=4，

p2=q2+4=（2n+2﹣n）2， ∴p=2n+2n， ∴a3+a﹣3=2n+2﹣n③， a3﹣a﹣3=2n﹣2﹣n④， ∴③+④得2a3=2×2n， ∴a3=2n，

∴p﹣（a3+）=2n+2﹣n﹣2n﹣=2﹣n﹣，

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﹣

当n=1时，p＞a3+； 当n=2时，p=a3+； 当n≥3时，p＜a3+．

【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p=法和作差法的熟练掌握．

14．归纳与猜想： （1）计算：

①（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ； ②（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ； （2）根据以上结果，写出下列各式的结果． ①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x7﹣1 ；

②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x10﹣1 ；

（3）（x﹣1）（xn1+xn2+xn3+…+x2+x+1）= xn﹣1 （n为整数）； （4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= x14+x13+x12+…+x2+x+1 ； （5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．

【分析】（1）运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可； （2）根据（1）中的计算结果的变换规律进行判断即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果总结变换规律即可； （4）根据（3）中的规律，直接求得m的表达式即可；

（5）根据（3）中的规律列出等式进行变形，求得226+225+…+2+1的值． 【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；

③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣1=x4﹣1； （2）①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1； ②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x10﹣1；

（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=xn﹣1（n为整数）；

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﹣

﹣

﹣

（a≠0，p为正整数），关键是加减消元

（4）∵（x﹣1）•m=x15﹣1， ∴m=x14+x13+x12+…+x2+x+1；

（5）∵（2﹣1）（226+225+224+…+22+2+1）=227﹣1， ∴226+225+…+2+1=227﹣1．

【点评】本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．计算时按一定的顺序进行，必须做到不重不漏．

15．（2014春•泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． （a+b）0=1 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …

上面的构成规律聪明的你一定看懂了！

（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是 15 ； （2）利用上述规律直接写出27= 128 ； 杨辉三角还有另一个特征：

（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与 11 的积．

（4）由此你可以写出115= 161051 ． （5）由第 9 行可写出118= 214358881 ．

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【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 【解答】解：（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15； （2）利用上述规律直接写出27=128； 杨辉三角还有另一个特征：

（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与11的积．

（4）由此你可以写出115=161051． （5）由第9行可写出118=214358881．

故答案为：15，128，11，161051，9，214358881．

【点评】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．

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