材料力学学习指导与练习

第二章

2.1预备知识

一、基本概念

1、 轴向拉伸与压缩

承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。 2、 轴力和轴力图

轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号FN表示。当FN的方向与截面外向法线方向一致时，规定为正，反之为负。求轴力时仍然采用截面法。

求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。设正法在以后求其他内力时还要到。

为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”。作法是：以杆的左端为坐标原点，取χ轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。 3、 横截面上的应力

根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有

N A正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。 4、 斜截面上的应力

与横截面成角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力的关系为：

1cos22 sin22角的符号规则：杆轴线x轴逆时针转到截面的外法线时，为正值；反之为负。

切应力的符号规则：截面外法线顺时针转发900后，其方向和切应力相同时，该切应力

为正值；反之为负值。

当=00时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。当=±450时，切应力达到极值。

5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律

（1） 等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，变形后杆长由l变为l+l，则杆的轴向伸长为

l用内力表示为

Fl EAlFNl EA上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。

用应力与应变表示的虎克定律为 E

·

（2） 在弹性范围内，杆件的横向应变ε和轴向应变ε有如下的关系；

·－

式中的μ称为泊松（Poisson）比（横向变形系数）。

6、材料在拉伸和压缩时的力学性质 6.1 低碳钢在拉伸时的力学性质： （1）低碳钢应力-应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段。 （2）低碳钢在拉伸时的三个现象：屈服（或流动）现象，颈缩现象和冷作硬化现象。 （3）低碳钢在拉伸时的特点（图2—1）：

a.比例极限σp：应力应变成比例的最大应力。

b.弹性极限σe：材料只产生弹性变形的最大应力。 c.屈服极限σs：屈服阶段相应的应力。

d.强度极限σb：材料能承受的最大应力。 （4）低碳钢在拉伸时的两个塑性指标：延伸率δ

δ=

l1l100% l 工程上通常将δ5%的材料称为塑性材料，将δ5％的材料称为脆性材料。 断面收缩率

=

AA1100% A6.2 工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以0。2表示，称为名义屈服极限。

6.3 灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。 6.4 材料在压缩时的力学性质：

（1）低碳钢压缩时弹性模量E和屈服极限σS与拉伸时相同，不存在抗压强度极限。 （2）灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料。

6.5 破坏应力：塑性材料以屈服极限 σS（或σ0.2）为其破坏应力；脆性材料以强度极限σb为其破坏应力。7、强度条件和安全系数

材料丧失工作能力时的应力，称为危险应力，设以σ0表示。对于塑性材料，0s

对于脆性材料，0b

为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力（称为工作应力）的最大值应低于危险应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如

（1）荷载值的确定是近似的；

（2）计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；

（3）实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；

（4）公式和理论都是在一定的假设上建立起来的，所以有一定的近似性；

（5）结构在使用过程中偶而会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标准荷载。

所以，为了安全起见，应把危险应力打一折扣，即除以一个大于1的系数，以n表示，称为安全因数，所得结果称为许应力，即0n (2—14）

对于塑性材料，应为

SnS （2—15）

对于脆性材料，应为

bsnbc （2—16）

式中ns和nbc分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。

8、简单拉压超静定问题

超静定结构的特点是结构存在多余约束，未知力的数目比能列的平衡方程数目要多，仅仅根据平衡条件不能求出全部未知力，必须根据变形和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称之超静定问题。多余约束数目，称之为超静定次数。多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求又是必须的，从这层意义上讲，不是多余的。 求解超静定问题的步骤：

(1) 根据约束性质，正确分析约束力，确定超静定次数 (2) 列出全部的平衡方程

(3) 解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关系，列出变形协调方程

(4) 将物理关系式代入变形协调方程，得到充方程，将其与平衡方程联立，求出全部未 知力。

拉压超静定问题大致有三类： a. 桁架系统 b. 装配应力 c. 温度应力

二、重点与难点

1、拉压杆的强度条件和三种强度向题。

2、低碳拉伸实验和材料力学参数的意义及作用。 3、超静定问题的求解

(1) 解超静定问题的关键是列出正确的变形几何条件

(2) 在列出变形几何条件时，注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形。同时，假设的内力符号应和变形一致。

2.2典型题解

一、计算题

1、 变截面杆受力如图，P=20kN。A1=400mm2，A2=300mm2，A3=200mm2。材料的E=200GPa。

试求：(1)绘出杆的轴力图；(2) 计算杆内各段横截面上的正应力；(3)计算A端的位移。

50kN 30kN 10kN

300mm 400mm 400mm

解：(1)杆的轴力图如图所示，各段的轴力

N110kN，N240kN，N310kN

FN

10kN 10kN 40kN (2) 各段横截面上的正应力为

N11010312.5107Pa25MPa 6A140010N2401037213.310Pa133MPa 6A230010N31010335107Pa50MPa 6A320010

（3）A端的位移为

N1l1N2l2N3l3101030.3SAl1l2l3EA1EA2EA3200109400106

40100.410100.42.04104m0.204mm96962001030010200102001033

二、计算题

图示三角托架，AC为刚性梁，BD为斜撑杆，问斜撑杆与梁之间夹角应为多少时斜撑杆重量为最轻？

L A θ B C F D

解：BD斜杆受压力为FBD，由平衡方程

MA0FBDsinhctgFL0得：FBD

FL

hcos为了满足强度条件，BD杆的横截面面积A应为

AFBDFL []h[]cosBD杆的体积应为

VALBD显然，当FLh2FL

h[]cossin[]sin2时，V最小，亦即重量最轻。

4三、计算题

图所示拉杆由两段胶合而成，胶合面为斜截面m-m。其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力[]62MPa，许用切应力[]38MPa，拉杆的横截面面积A500mm。

2试求最大拉力的数值。

解：拉杆的横截面的应力

NF AA斜截面正应力强度条件：

2(1cos2)F(1cos2)[] 2A拉力F应满足

FA[]5001066210641.33kN cos2cos2300斜截面切应力强度条件：

2sin2Fsin2[] 2A拉力F也应满足

F2A[]25001063810643.88kN sin2sin600所以最大拉力 Fmax41.33kN

四、计算题

图示为埋入土中深度为l的一根等截面桩，在顶部承受载荷F。选荷载完全由沿着桩周摩擦力fs所平衡，fs按线性分布，如图所示。试确定桩的总压缩量，以F，L，E，A表示。

F y f2=ky dy fs y L dy y f2 dy O 解：(1) 求常数k。桩周微段dy上的摩擦力 dFsfsdykydy 整条桩的摩擦力为

FsdFs由平衡条件可知

L0kL2kydy

2kL2 FFs

2即 k2F L2y (2) 确定桩的总压缩量。由图可知，桩任意截面上的轴力为 FN(y)其中，微段dy的压缩量为 d(L)所以桩的总压缩量为 L0ky2ykydy()2F

2LFN(y)dy EAL0d(L)L0LFN(y)dyFFL2ydy 20EA3EAEAL 讨论 应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时，在L长度内的轴力FN和截面积A都

应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。在解本题中，就应用了这种方法。另外，由于杆上的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出。 五、图示一结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的内力。

h C A C`a FAy A FN1 a FN2 B F

解：结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析。

D D` B F

a FAx (1)静力方面 取隔离体如图，设两杆的轴力分别为FN1和FN2。欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即

MA0,FN1aFN22aF3a0 (1)

(2) 几何方面 刚性杆AB在力F作用下，将绕A点顺时针转动，由此，杆EC和FD产生伸长。由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到C`和D`点。设杆EC的伸长为CC`=Δ1，FD的伸长为DD`=Δ2，由图可知，它们有几何关系：

11 (2) 22这就是变形谐调方程或变形条件。 (3)物理方程 根据胡克定律，有 1这是物理方程。

将式(3)代入式(2)，得

2FN1hFh,2N2 (3)

E1A1E2A2FN1FN2 (4) EA1EA23E1A1FE1A14E2A26E1A1FE1A14E2A2将方程(4)和方程(1)联立求解，即得

FN1

FN2结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例。

2.3 练习题

一、概念题

1、选择题

(1)现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是( )

A 1杆为钢，2杆为铸铁 B 1杆为铸铁，2杆为钢 C 2杆均为钢 D 2杆均为铸铁

1 A 2 B

C

(2)桁架受力和选材分别如图A、B、C、D，从材料力学观点看，图( )较为合理。

P

钢 P

铸铁 铸铁 （A） 钢 （B） 钢 铸铁 铸铁 (C)

P 钢 P (D)

(3)轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是( )

A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布

B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布 C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布 D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布

1 2 P P 1 2

(4)图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( ) A 平动 B 转动 C 不动

D 平动加转动

F

(5)有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图所示，曲线( )材料的弹性模量E大，曲线( )材料的强度高，曲线( )材料的塑性好。

σ A B C ε

(6) 材料经过冷作硬化后，其( )。 A 弹性模量提高，塑性降低 B 弹性模量降低，塑性提高 C 比例极限提高，塑性提高 D 比例极限提高，塑性降低

O 二、计算题

1、图为变截面圆钢杆ABCD，己知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，求杆的最大最小应力。

D 3 C P3 2 P2 l2 l1 B 1 A P1

l3

2、己知变截面杆，1段为d1=20mm的圆形截面，2段为a2=25mm的正方形截面，3段为d3=12mm的圆形截面，各段长度如图示。若此杆在轴向力P作用下在第2段上产生

230MPa的应力，E=210GPa，求此杆的总缩短量。

P

1 2 3 P

0.2m 0.4m 0.2m

答：l24A24A2lll3) 2212Ed1d3(3、 一横面面积为102mm2黄铜杆，受如图2—51所示的轴向载荷。黄铜的弹性模量

E=90GPa。试求杆的总伸长量。 答：待计算

60kN

45kN

0.5m 1m 1.5m

4、杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A= 20mm2，材料弹性模量E=200GPa，泊松系数μ=0.3。 1．作内力图；

2．求最大伸长线应变； 3．求最大剪应力。 2kN 9kN

6kN 4kN 5kN 1kN 400 400 500

答：待计算

5、当用长索提取重物时，应考虑绳索本身重量。如绳索的弹性模量为E，重力密度为γ 及许用拉应力为[σ]，试计算其空悬时的最大许用长度；并计算此时的总伸长变形。

[]2答： [l]，l

2E[]

6、 图示一三角架，在节点B受铅垂荷载F作用，其中钢拉杆AB长l1=2m，截面面积A1=600mm2，许0Pa，木压杆BC的截面面积用应力[]116MA 1 2 C 300 B

A2=1000mm2，许用应力[]27MPa。试确定许用荷载[F]。

答：许用荷载[F]=40.4kN

7、一板形试件，在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应变片，用以测量试件的应变。试验时，荷载F增加3kN时，测得1120106,236106，求该试件的E， μ和G三个常数，试件的尺寸及受力方向如图所示。

1 F ε1 4mm

F ε1 2 30mm 1-1

GPa,G80GPa 答：0.3,E208

8、图示一三角架，在节点A受F作用。设杆

AB为钢制空心圆管，其外径DAB=60mm，内径dAB=48mm，杆AC也是空心圆管，其内、外径比值也是0.8，材料的许用应力[]160MPa。试根据

B 300 F A

强度条件选择杆AC的截面尺寸，并求出F力的最大许用值。 C 答：待计算

9、三角架ABC由AC和BC二杆组成。杆AC

由两根No.12b的槽钢组成，许用应力为[σ]=160MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为[σ]=100MPa。求荷载F的许可值[F]。 答：420kN

F A  6 6B 2m C F F 4m F 4m

10、图示一正方形截面的阶形混凝土柱。设混凝土的密度为2.04103kg/m3，F=100kN，

b 许用应力[]2MPa。试根据强度条件选择截面

a

宽度a和b。 答： b=398m

11、图示一钢筋混凝土组合屋架，受均布荷载q作用，屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为圆截面钢拉杆，其长l=8.4m，直径d=22m，屋架高h=1.4m，钢的许用应力[]170MPa，试校核拉杆的强度。

q=10kN/m

C h A l/2 l/2 B

答：165.7MPa[] 安全

12、设有一起重架如图所示，A、B、C为铰接，杆AB为方形截面木材制成的，P=5kN，许用应力[]3MPa，求杆AB截面边长。

A 答：待计算

2m C 2m B 2m D P 13、图中AB是刚性杆，CD杆的截面积A=500mm2，E=200GPa，[]160MPa。试求此结构中B点所能承受的最大集中力P以及B点的位移δB。 答：[P]80kN,B1.6mm

D 1m A C B P

1.5m 1.5m

14、长度为l的圆锥形杆，两端直径各为d1和d2，弹性模量为E，两端受拉力作用，求杆的总伸长。 答：l

15、一杆系结构如图2—13所示，试作图表示节点C的水平位移，设EA为常数。

d1 P

d2 P

4Pl

Ed1d2l A 300 300 C 150kN 600 F B

答：w水平=0

16、有一两端固定的钢杆，其截面面程为A=1000mm2， 载荷如图所示。试求各段杆内的应力。

400

答：待计算

17、 横截面面积为A=10000mm2的钢杆，其两端固定，荷载如图所示。试求钢杆各段内的应力。

答：σ上＝108MPa, σ中＝8.3MPa, σ下 ＝－141.7MPa

500 100kN 150kN 300 400

18、如图所示钢杆1、2、3的截面积均为A=2cm2，长度h=1m，E=200GPa。杆3在制造时比其他两杆短δ=0.8mm。试求将杆3安装在刚性梁上后，三根杆中的内力。 答：待计算

h 1 2 3 δ

a a

19、横截面尺寸为75mm×mm的木杆承受轴向压缩，欲使木杆任意截面正应力不超过2.4MPa，切应力不超过0.77MPa，试求最大荷载F。 答：F=8.66kN

F

20、图示拉杆沿斜截面m---n由两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力

[σt]=100MPa，许用切应力[τ]=50MPa，并设胶合面的强度控制杆件拉力。试问：为使杆件承受最大拉力P，α角的值应为多少？若杆件横截面面积为4cm2，并规定α≤600，试确定

许可载荷P。 答：待计算

m

P

α n P

21、图示杆件在A端固定，另端离刚性支承B有一空隙δ＝1mm。试求当杆件受F=50kN 的作用后，杆的轴力。设E=100GPa，A=200mm2，a=1.5m, b=1m.。 答：FNBC=22kN

A a C F bδ

B

22、 图示一结构，AB为刚性杆，DE和BC为弹性杆，该两杆的材料和截面积为均相同。试求当该结构的温度降低300C时，两杆的内力。己知：F=100kN，E=200GPa，a=1m, l=0.5m, A=400mm2， a=12×10-6 C-1，Δt=－300C。 答：FN1=78.25kN，FN2=50.23kN

C E ② ① a A D B F l l

2.26杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A= 20mm，材料弹性模量E=200GPa，泊松系数μ=0.3。 1．作内力图；

2．求最大伸长线应变； 3．求最大剪应力。

2

2kN 4kN 5kN 1kN 400

400 500

2.4 练习题答案

一、概念题

1、选择题 (1) A (2) B (3) B (4) D

(5) B，A，C (6) D

2、是非判断题 二、计算题 1、（1）内力图

（2）max0.13kN/mm（第一段） （3）min0.059kN/mm （第二段）

22

FN

20kN 15kN 50kN