广东省广州市2017届高三12月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

文科数学 2016.12

本试卷共4页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

（1）设全集U{0,1,2,3,4}，集合A{0,1,3}，集合B{2,3}，则ðUAB (Ａ) 4 (Ｂ) 0,1,2,3 (Ｃ) 3 (Ｄ) 0,1,2,4 （2）设(1i)(xyi)2，其中x,y是实数，则

2xyi

（A）1 （B）2 （C）3 （D）5 x2y2（3）已知双曲线C：221（a0,b0）的渐近线方程为y2x, 则双曲线C的离

ab心率为 (A)

56 (B) 5 (C) (D) 6 22（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个

球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是

(A)

1 3(B)

3 8(C)

1 2(D)

5 8（5）已知角的顶点与原点重合, 始边与x轴正半轴重合, 终边过点P1,2, 则tan2

（A）

4444 （B） （C） （D） 3553（6）已知菱形ABCD的边长为2，ABC60, 则BDCD

(A) 6 (B) 3 (C) 3 (D) 6

x2,x0,（7）已知函数f(x)1 g(x)f(x)，则函数g(x)的图象是

,x0,x

xy30（8）曲线y2x上存在点(x,y)满足约束条件x2y30，则实数m的最大值为

xm(A) 2 (B)

3 (C) 1 (D) 1 2（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为

(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 （10）若将函数f(x)sin2xcos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是( )． (Ａ)

 8(Ｂ)  4(Ｃ) 3 8(Ｄ) 3 4（11）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 25 429 (C) 29 (D) 4(A) 25 (B)

(12) 若函数fxesinxacosx在x, 上单调递增，则实数a的取值范围是 42(A) ,1 (B) ,1 (C) 1, (D) 1, 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～

23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）等比数列an的前n项和为Sn，若a2S30，则公比q________． （14）已知函数fxlog221x，若fa2，则fa ． x12x2y21上的点，则P,Q两点间的最大 （15）设P,Q分别是圆xy13和椭圆42 距离是 .

（16）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若a1， 2cosCc2b，则△ABC的周长的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

等差数列{an}中，a3a412，S749. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）记[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]0，[2.6]2. 令bn[lgan]，

求数列{bn}的前2000项和.

（18）（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲, 乙两座城市2016年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．

（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，

从PM2.5日均值在60,80范围内随机取2天 数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率； （Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年

的空气质量情况，则甲, 乙两城市一年（按365天计算）

8571434538736325234567946232307579096857甲城市乙城市中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．

(19) （本小题满分12分）

在三棱锥PABC中, △PAB是等边三角形, ∠APC∠BPC60. （Ⅰ）求证: AB⊥PC;

（Ⅱ）若PB4，BEPC，求三棱锥BPAE的体积.

(20) （本小题满分12分）

BACPE已知点Ax1,y1,Bx2,y2是抛物线y28x上相异两点，且满足x1x24． （Ⅰ）若直线AB经过点F2,0，求AB的值；

（Ⅱ）是否存在直线AB，使得线段AB的中垂线交x轴于点M, 且|MA|42? 若存

在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由.

(21) （本小题满分12分）

（e,f(e))处的切线方程为 设函数f(x)(mxn)lnx. 若曲线yf(x)在点Py2xe（e为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若a,bR，试比较

请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为f(a)f(b)ab)的大小，并予以证明. 与f(22xtsin,(t为参数,0), 曲线C的极坐标方程为y1tcoscos24sin. (Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; （II）设直线l与曲线C相交于A,B两点, 当变化时, 求AB的最小值.

(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知fxax1，不等式fx3的解集是x|1x2.

（Ⅰ）求a的值； （II）若

fxfx|k|存在实数解，求实数k的取值范围.

32017届广州市普通高中毕业班模拟考试

文科数学试题答案及评分参考

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题

（1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D

（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A 二、填空题

（13）1 （14）0 （15）三、解答题 (17) 解：

（Ⅰ）由a3a412，S749，得73 （16）331,3

2a15d12, ……………………2分

7a121d49. 解得a11，d2， …………………………………………4分 所以an2n1.………………………………………………………………5分

（Ⅱ）bn[lgan][lg(2n1)]，

…………………………………………6分

…………………………………………7分

…………………………………………8分

当1n5时, bn[lg(2n1)]0;

当6n50时, bn[lg(2n1)]1;

当51n500时, bn[lg(2n1)]2;…………………………………………9分

当501n2000时, bn[lg(2n1)]3. ………………………………………10分

所以数列{bn}的前2000项和为0514524503150045.……12分

(18) 解:

（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在60,80内的共有6天，而

PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天．记PM2.5日均值超标的3天为

D1,D2,D3，不超标的3天为d1,d2,d3，则从这6天中随机取2天，共有如下15种结

果（不记顺序）:

D1,D2,D1,D3,D2,D3,d1,d2,d1,d3,d2,d3，D1,d1,D1,d2,D1,d3，

D2,d1,D2,d2,D2,d3,D3,d1,D3,d2,D3,d3. ……………………2分

其中，抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：D1,D2,D1,D3,D2,D3．…4分 由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超标的概率P31． ……………………6分 155（Ⅱ）各抽取的20天样本数据中，甲城市有15天达到一级或二级；……………………7分 乙城市有16天达到一级或二级． …………………………………………8分 由样本估计总体知，甲, 乙两城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级或二级

的天数分别约为:

n甲365 (19) 解:

1516273.75274， n乙365292．……………………12分 2020（Ⅰ）因为PAB是等边三角形, ∠APC∠BPC60,

所以PBC≌PAC, 可得ACBC. …………1分 如图, 取AB中点D, 连结PD,CD,

则PDAB,CDAB, ……………………3分 因为PDCDD,

PEADBC所以AB平面PDC, ………………………………………………………………4分 因为PC平面PDC,

所以ABPC. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为 PBC≌PAC,

所以AEPC, AEBE. ………………………………………………………6分

由已知PB4，在RtPEB中, BE4sin6023,PE4cos602.

………………………………………………8分 因为BEPC, AEPC, BEAEE,

所以PE平面ABE. ……………………………………………………………9分 因为AB4, AEBE23，

112 所以AEB的面积SABBEAB42. ……………………10分

22 因为三棱锥BPAE的体积等于三棱锥PABE的体积, 所以三棱锥BPAE的体积V (20) 解：

（I）法1：①若直线AB的斜率不存在，则直线AB方程为x=2．

21182. ………………12分 SPE422333ììx=2,x=2,y28x,ïïïï 联立方程组 解得í 或í

ïïy=-4.y=4,x2,ïïîî 即A(2,4)，B(2,-4)． ………………………………………………………………1分 所以AB=8． ………………………………………………………………2分 ②若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-2)，

y28x,2222联立方程组 消去y得kx-(4k+8)x+4k=0，

yk(x2),4k2+8故x1+x2==4，方程无解． …………………………………………3分 2k所以AB=8．

法2：因为直线AB过抛物线y28x的焦点F2,0，根据抛物线的定义得，

AFx12，BFx22， …………………………………………………………2分 所以ABAFBFx1x248. …………………………………………3分 （II）假设存在直线AB符合题意，设直线AB的方程为y=kx+b，

y28x,222联立方程组 消去y得kx+(2kb-8)x+b=0，(*)

ykxb,故x1+x2=-所以b=2kb-8=4，……………………………………………………………4分 2k4-2k． k2b2骣4所以x1x2=2=ç． …………………………………………………………5分 -2÷÷ç2÷ç桫kk所以AB=1+k2(x1+x2)-4x1x2=22248k4-1． (1k)4422=2kk2 …………………………………………………………6分 因为y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k+2b=8． k4÷2,所以AB的中点为Cçç÷÷．

所以AB的中垂线方程为y令y0, 得x6.

所以点M的坐标为6,0. ……………………………………………………………8分

骣ç桫k41=x2，即xky60． …………………7分 kk 所以点M到直线AB的距离d=CM=21k2+1. (6-2)+2=k|k|2AB2 因为|MA|2|CM|，………………………………………………………9分

24k414k212 所以 (42).

k2k解得k=?1． ………………………………………………………………10分 当k=1时，b=2；当k=-1时，b=-2． 把22k1,k1,和分别代入(*)式检验, 得0,不符合题意. …………………11分 b2,b2,所以直线AB不存在. ……………………………………………………………12分 (21) 解:

（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,).

f(x)mlnxmxn. ………………………………………………………………1分 xmene,依题意得f(e)e,f(e)2，即 ……………………3分 menm2,e所以m1,n0. ………………………………………………………………4分 所以f(x)xlnx，f(x)lnx1.

1e11所以函数f(x)的单调递减区间是(0,), 单调递增区间是(,).………………6分

eef(a)f(b)abf(). （Ⅱ）当a,bR时，

22f(a)f(b)abalnablnbababf()等价于ln，

22222a2aaa(1)ln(1)ln20. ………………………………………7分 也等价于lnbbbb当x(0,)时, f(x)0; 当x(,)时, f(x)0. 不妨设ab，

设g(x)xln2x(1x)ln(1x)ln2（x[1,)）,

则g(x)ln(2x)ln(1x). …………………………………………………………8分 当x[1,)时，g(x)0，所以函数g(x)在[1,)上为增函数，

即g(x)xln2x(1x)ln(1x)ln2g(1)0， ……………………9分 故当x[1,)时，g(x)xln2x(1x)ln(1x)ln20（当且仅当x1时取等 号）.

1eaa1，则g()0， …………………………………………10分 bba2aaa(1)ln(1)ln20（当且仅当ab时取等号），……………11分 即lnbbbbf(a)f(b)abf()（当且仅当ab时取等号）. 综上所述，当a,bR时，

22令x ………………………………………………………………12分 (22) 解:

(Ⅰ) 由xtsin,消去t得xcosysinsin0, ……………………1分

y1tcos, 所以直线l的普通方程为xcosysinsin0. ……………………2分

由cos24sin, 得cos4sin, ……………………3分 把xcos,ysin代入上式, 得x4y,

所以曲线C的直角坐标方程为x4y. …………………………………………5分 (II) 将直线l的参数方程代入x4y, 得t2sin24tcos40, ………………6分

设A、B两点对应的参数分别为t1,t2, 则t1t222224cos4tt, , …………………………………………7分 1222sinsin216cos21 所以ABt1t2(t1t2)4t1t2. ……9分 422sinsinsin 当2时, AB的最小值为4. …………………………………………10分

(23) 解： （Ⅰ）由ax13|, 得3ax13，即2ax4. ……………………1分 当a0时，24x. …………………………………………………………2分 aa因为不等式fx3的解集是x|1x2 21,a 所以解得a2.…………………………………………………………3分 42,a 当a0时，42x. …………………………………………………………4分aa 因为不等式fx3的解集是x|1x2 22,a 所以无解. …………………………………………………………5分41,a 所以a2. （II）因为

fxfx2x12x12x12x12.………………7分

3333f(x)+f(-x)2. ………………8分

33 所以要使 解得k22或k. ………………………………………………………9分 33 所以实数k的取值范围是,2323,. …………………………10分