三角函数卡根法1

表一：正弦函数ysinx与yAsinx的图像性质关系

ysinx yAsinx 2周期 2  2k最大值 1，x2k取得 2A，当x取得 2

3 32k最小值 -1，当x2k取得 2 -A，当x取得 2

2k2k 22 单调增区间 2k,2k , 22  32k2k3 22单调减区间 ,2k,2k 22



k 对称轴 xk 2 x2  k对称中心 ,0  k,0 

表二：余弦函数ycosx与yAcosx的图像性质关系

ycosx yAcosx

2 周期 2 

2kA，当x取得 最大值 1，当x2k取得 

2k -A，当x取得 最小值 -1，当x2k取得 

2k2k , 2k,2k 单调增区间 

2k2k 2k,2k 单调减区间 ,

k

x 对称轴 xk   kk,0对称中心 2 (,0) 2

根据上一讲的内容，这一讲主要针对一些动态的三角函数涉及的取值范围题型，进行卡跟法来破解.

为定值卡根

此类型题就是根据题意，给定的区间宽度ba与函数周期nTnZ的关系建立即可. 定理：任意对称轴（对称中心）之间的间距为 任意对称轴与对称中心之间的间距为例1．（2019•新课标II）若x1A．2

B．

nT(2n1)T；最大值与最小值的水平间距为； 22(2n1)T；以上情况当n1时取得最小值； 44，x23是函数f(x)sinx(0)两个相邻的极值点，则( ) 43 2C．1 D．

1 2解：Qx14，x23是函数f(x)sinx(0)两个相邻的极值点，故4ba3442，

T2，故选：A． 22511)2，f()0，88例2．（2017•天津）设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，||．若f(且f(x)的最小正周期大于2，则( ) A．2， 312B．112，

123

111C．，

32417D．，

324T511T1153，T3，，又f()2，f()0，得42884884解：f(x)的最小正周期大于2，得

则

23，即2k2．对比ysinx图像可知当3x2k2时取得最大值，故f(x)2sin(x)时，

2当

x52k812，Q||．故选：A．

12注意：表一中要求对ysinx卡住根x0，再转换为yAsin(x)的根为x，两者之间通过x换.

x0来转

例3．（2015•天津）已知函数f(x)sinxcosx(0)，xR，若函数f(x)在区间(,)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为 ．

Q函数f(x)在区间(,)内单调递增，解：0x[Qf(x)sinxcosx2sin(x)，

42k34，

2k32k2k4]，kZ，可得：…4①，„4②，kZ，解得：02„32k且402„2k13，kZ，即：k，kZ，k0，又Q由xk，可解得函数f(x)48842k24=k4，kZ，由函数yf(x)的图象关于直线x对称，可得：

的对称轴为：x24，可解得：2．故答案为：2．

例4．（2014•北京）设函数f(x)Asin(x)(A，，是常数，A0，0)若f(x)在区间[，]上

622具有单调性，且f()f()f()，则f(x)的最小正周期为 ．

236272解：由f()f()，可知函数f(x)的一条对称轴为x23．又f()f()，则f(x)有对称

2122326中心(127T，由于f(x)在区间[，]上具有单调性，则剠TT，从而 0)，T．36226231234故答案为：．

秒杀秘籍：限定周期的卡根

通常在固定的一两个周期内，给予单调性的限定或者值域的限定，对或者会有一个区间限定，此

类型题就是要卡住两个临界点，通常可以找出ysinx的范围，再推导至yAsin(x)当中. 常见的卡根数学语言转化如下：

kkT22①f(x)Asin(x)在区间(a,b)内单调ba且（图1）； a，b2kkT22同理，f(x)Asin(x)在区间[a,b]内单调ba且 a，b2

图1 图2

②f(x)Asin(x)在区间(a,b)内没有零点

k(k1)T（图2）； a，bba且

2k(k1)Ta，bba且2

关于在给定范围内单调或者没有零点的问题，卡根的范围都在半个周期，区间内单调的开区间和闭区间没有区别，没有零点问题的开区间和闭区间的区别在于是否加上等号，很多考题就喜欢在这个细节上体现学生的基本功。所以，我们给出了模型分解，那么请大家思考，如果区间是(a,b]或者是[a,b)呢？如果题目所同理，f(x)Asin(x)在区间[a,b]内没有零点说在区间内是单调递增或者单调递减呢？请读者自己分析模型，或者通过刷此类型的题目不断累积经验。

另外，区间内单调或者无零点叫做内卡根，即(a,b)卡在区间[③f(x)Asin(x)在区间(a,b)内有n个零点k(k1)a且（图3图4）；

(kn)(kn+1)bx1x2,]内部。

(n1)T(n1)Tba22

图3 图4

同理f(x)Asin(x)在区间[a,b]内有n个零点k(k1)a且（图5图6）；

(kn)(kn+1)b

(n1)T(n1)Tba22

图5 图6

关于在给定范围内出现零点个数的问题，卡根的范围都在一个周期，即左端点卡半个，右端点卡半个的情形，而开区间和闭区间的区别也仅仅是加上等号而已。开区间是外取等，闭区间则是内取等。请大家思考关于f(x)Asin(x)m在区间的零点问题是如何解决的呢？我们会在后面的例题进行阐述。 例5．（2019•新课标Ⅲ）设函数f(x)sin(x)(0)，已知f(x)在[0，2]有且仅有5个零点．下述四

5个结论：①f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点；③f(x)在(0,2912单调递增；④的取值范围是[，)；

10510)其中所有正确结论的编号是( ) A．①④

B．②③

C．①②③

D．①③④

解：根据ysinx图像可知，除了原点以外，正半轴出现5个零点时，一定有5x06，故当x[0，2]0505且

5526时，f(x)在[0，2]有且仅有5个零点，一定有

12295，，510故④正确，根据图像即可判断②不正确，因为可以出现三个极小值点，因此由选项可知只需判断③是否正

25(0,]10，2递增，确即可得到答案，根据ysinx在区间故可知若f(x)在(0,)单调递增，则一定有10即3，Q1229，故③正确．故选：D． 510注意：在一些题目中，由于端点a0且0的时候只需考虑端点b，原因就是

00恒成立 例6．（2019•葫芦岛月考）已知函数f(x)5sin(x)(0)，若f(x)在区间(，2]内没有零点，则3的取值范围是( ) 1A．(0,)

6112C．(0,)U[,]

633112B．(0,)U[,)

6332D．(0,)

3

TT22解：一般给了区间，先卡住区间来限定的范围，此题由于区间(，2]内没有零点，故，由此可得在区间(0，]内可能有一个零点或者没有零点，此举判断可以大大减少计算，我们只需要知道ysinx的根的分布即可对

f(x)5sin(x)(0)进行卡根布控；

3

法一：由于f(x)5sin(x)(0)，f(x)由y5sinx(0)向右平移个单位得来，故根据如左

3303，且0图所示，将ysinx中的x0和x代入卡根得：

32，12．如图右，将333，且

ysinx中的x和x0代入卡根得：112(0,)U[,)．故选：B． 63332，01；的取值范围为：

6T12k3k13(k1)3k2223显然，k0法二：由于f(x)在区间(，故根据卡根定理得：2]内没有零点，

112和k1时符合条件，的取值范围为：(0,)U[,)．故选：B．

6331例7．（2019•九江三模）函数f(x)cos(x)(0)在[0，]上的值域为[,1]，则的取值范围是(

32)

12

A．[,]

33

2B．[0，]

32C．[,1]

31D．[,1]

3

11解：如图，根据余弦函数ycosx的值域为[,1]时，x[,]，Qx[0，]，又f(0)，故右边区

33220++[0,]333，12，故选：A． 间卡根位于3范围内，即33注意：定义域从零开始的函数往往都是k0开始的周期，故直接用五点法进行相应位置卡根，我们可以参考下一题也是如此。

例8．（2019•深圳二模）已知函数f(x)3sinxcosx(0)在区间[,]上恰有一个最大值点和最小

43值点，则实数的取值范围为( )

8A．[,7)

38B．[,4)

3C．[4,20) 3D．(20,7) 3解：函数f(x)3sinxcosx(0)2sin(x)．由于函数y2sinx两个相邻最大值点和最小值点

626826143且3为2和2，故对此范围进行卡根，；考虑其它最值不能出现，

33故再进行二次卡根，相邻2的最大值为2，相邻2的最小值为2，故

326483；即：4．故选：B． 33262043且

1例9．（2018•湖北模拟）已知函数f(x)cos(x)(0)在区间[0，]上恰有三个零点，则的取

32值范围是 ．

1解：由题意：转化为ycos(x)与函数y在区间[0，]上恰有三个交点问题，当x0，可得

23y111．x[0，]，ycos(x)与函数y在区间（0，]上还有两个交点问题，根据y=cosx=222357++573333，时，x2k，除了左端点有零点外，x时定有两交点，如图所示；333888解得：2，的取值范围是[2，)，故答案为：[2，)．

3332525例10．（2018•湖北模拟）已知函数f(x)cos(x)(0)且f()f()，若f(x)在区间(,)上

33636有最大值，无最小值，则的最大值为( ) A．

4 9B．

28 9C．

52 9D．

100 92525363为f(x)cos(x)(0)解：函数f(x)cos(x)(0)且f()f()，直线x243363的一条对称轴，且取得最大值；间(342k+3，kZ，8k4，kZ，又0，且f(x)在区3925522，即，12，当k8时，,)上有最大值，无最小值，T636636324100为最大值．故选：D． 399