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三角函数卡根法1

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函数之卡根法

表一:正弦函数ysinx与yAsinx的图像性质关系

ysinx yAsinx 2周期 2  2k最大值 1,x2k取得 2A,当x取得 2

3 32k最小值 -1,当x2k取得 2 -A,当x取得 2

2k2k 22 单调增区间 2k,2k , 22  32k2k3 22单调减区间 ,2k,2k 22



k 对称轴 xk 2 x2  k对称中心 ,0  k,0 

表二:余弦函数ycosx与yAcosx的图像性质关系

ycosx yAcosx

2 周期 2 

2kA,当x取得 最大值 1,当x2k取得 

2k -A,当x取得 最小值 -1,当x2k取得 

2k2k , 2k,2k 单调增区间 

2k2k 2k,2k 单调减区间 ,

k

x 对称轴 xk   kk,0对称中心 2 (,0) 2

根据上一讲的内容,这一讲主要针对一些动态的三角函数涉及的取值范围题型,进行卡跟法来破解.

为定值卡根

此类型题就是根据题意,给定的区间宽度ba与函数周期nTnZ的关系建立即可. 定理:任意对称轴(对称中心)之间的间距为 任意对称轴与对称中心之间的间距为例1.(2019•新课标II)若x1A.2

B.

nT(2n1)T;最大值与最小值的水平间距为; 22(2n1)T;以上情况当n1时取得最小值; 44,x23是函数f(x)sinx(0)两个相邻的极值点,则( ) 43 2C.1 D.

1 2解:Qx14,x23是函数f(x)sinx(0)两个相邻的极值点,故4ba3442,

T2,故选:A. 22511)2,f()0,88例2.(2017•天津)设函数f(x)2sin(x),xR,其中0,||.若f(且f(x)的最小正周期大于2,则( ) A.2, 312B.112,

123

111C.,

32417D.,

324T511T1153,T3,,又f()2,f()0,得42884884解:f(x)的最小正周期大于2,得

23,即2k2.对比ysinx图像可知当3x2k2时取得最大值,故f(x)2sin(x)时,

2当

x52k812,Q||.故选:A.

12注意:表一中要求对ysinx卡住根x0,再转换为yAsin(x)的根为x,两者之间通过x换.

x0来转

例3.(2015•天津)已知函数f(x)sinxcosx(0),xR,若函数f(x)在区间(,)内单调递增,且函数yf(x)的图象关于直线x对称,则的值为 .

Q函数f(x)在区间(,)内单调递增,解:0x[Qf(x)sinxcosx2sin(x),

42k34,

2k32k2k4],kZ,可得:…4①,„4②,kZ,解得:02„32k且402„2k13,kZ,即:k,kZ,k0,又Q由xk,可解得函数f(x)48842k24=k4,kZ,由函数yf(x)的图象关于直线x对称,可得:

的对称轴为:x24,可解得:2.故答案为:2.

例4.(2014•北京)设函数f(x)Asin(x)(A,,是常数,A0,0)若f(x)在区间[,]上

622具有单调性,且f()f()f(),则f(x)的最小正周期为 .

236272解:由f()f(),可知函数f(x)的一条对称轴为x23.又f()f(),则f(x)有对称

2122326中心(127T,由于f(x)在区间[,]上具有单调性,则剠TT,从而 0),T.36226231234故答案为:.

秒杀秘籍:限定周期的卡根

通常在固定的一两个周期内,给予单调性的限定或者值域的限定,对或者会有一个区间限定,此

类型题就是要卡住两个临界点,通常可以找出ysinx的范围,再推导至yAsin(x)当中. 常见的卡根数学语言转化如下:

kkT22①f(x)Asin(x)在区间(a,b)内单调ba且(图1); a,b2kkT22同理,f(x)Asin(x)在区间[a,b]内单调ba且 a,b2

图1 图2

②f(x)Asin(x)在区间(a,b)内没有零点

k(k1)T(图2); a,bba且

2k(k1)Ta,bba且2

关于在给定范围内单调或者没有零点的问题,卡根的范围都在半个周期,区间内单调的开区间和闭区间没有区别,没有零点问题的开区间和闭区间的区别在于是否加上等号,很多考题就喜欢在这个细节上体现学生的基本功。所以,我们给出了模型分解,那么请大家思考,如果区间是(a,b]或者是[a,b)呢?如果题目所同理,f(x)Asin(x)在区间[a,b]内没有零点说在区间内是单调递增或者单调递减呢?请读者自己分析模型,或者通过刷此类型的题目不断累积经验。

另外,区间内单调或者无零点叫做内卡根,即(a,b)卡在区间[③f(x)Asin(x)在区间(a,b)内有n个零点k(k1)a且(图3图4);

(kn)(kn+1)bx1x2,]内部。

(n1)T(n1)Tba22

图3 图4

同理f(x)Asin(x)在区间[a,b]内有n个零点k(k1)a且(图5图6);

(kn)(kn+1)b

(n1)T(n1)Tba22

图5 图6

关于在给定范围内出现零点个数的问题,卡根的范围都在一个周期,即左端点卡半个,右端点卡半个的情形,而开区间和闭区间的区别也仅仅是加上等号而已。开区间是外取等,闭区间则是内取等。请大家思考关于f(x)Asin(x)m在区间的零点问题是如何解决的呢?我们会在后面的例题进行阐述。 例5.(2019•新课标Ⅲ)设函数f(x)sin(x)(0),已知f(x)在[0,2]有且仅有5个零点.下述四

5个结论:①f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点;②f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点;③f(x)在(0,2912单调递增;④的取值范围是[,);

10510)其中所有正确结论的编号是( ) A.①④

B.②③

C.①②③

D.①③④

解:根据ysinx图像可知,除了原点以外,正半轴出现5个零点时,一定有5x06,故当x[0,2]0505且

5526时,f(x)在[0,2]有且仅有5个零点,一定有

12295,,510故④正确,根据图像即可判断②不正确,因为可以出现三个极小值点,因此由选项可知只需判断③是否正

25(0,]10,2递增,确即可得到答案,根据ysinx在区间故可知若f(x)在(0,)单调递增,则一定有10即3,Q1229,故③正确.故选:D. 510注意:在一些题目中,由于端点a0且0的时候只需考虑端点b,原因就是

00恒成立 例6.(2019•葫芦岛月考)已知函数f(x)5sin(x)(0),若f(x)在区间(,2]内没有零点,则3的取值范围是( ) 1A.(0,)

6112C.(0,)U[,]

633112B.(0,)U[,)

6332D.(0,)

3

TT22解:一般给了区间,先卡住区间来限定的范围,此题由于区间(,2]内没有零点,故,由此可得在区间(0,]内可能有一个零点或者没有零点,此举判断可以大大减少计算,我们只需要知道ysinx的根的分布即可对

f(x)5sin(x)(0)进行卡根布控;

3

法一:由于f(x)5sin(x)(0),f(x)由y5sinx(0)向右平移个单位得来,故根据如左

3303,且0图所示,将ysinx中的x0和x代入卡根得:

32,12.如图右,将333,且

ysinx中的x和x0代入卡根得:112(0,)U[,).故选:B. 63332,01;的取值范围为:

6T12k3k13(k1)3k2223显然,k0法二:由于f(x)在区间(,故根据卡根定理得:2]内没有零点,

112和k1时符合条件,的取值范围为:(0,)U[,).故选:B.

6331例7.(2019•九江三模)函数f(x)cos(x)(0)在[0,]上的值域为[,1],则的取值范围是(

32)

12

A.[,]

33

2B.[0,]

32C.[,1]

31D.[,1]

3

11解:如图,根据余弦函数ycosx的值域为[,1]时,x[,],Qx[0,],又f(0),故右边区

33220++[0,]333,12,故选:A. 间卡根位于3范围内,即33注意:定义域从零开始的函数往往都是k0开始的周期,故直接用五点法进行相应位置卡根,我们可以参考下一题也是如此。

例8.(2019•深圳二模)已知函数f(x)3sinxcosx(0)在区间[,]上恰有一个最大值点和最小

43值点,则实数的取值范围为( )

8A.[,7)

38B.[,4)

3C.[4,20) 3D.(20,7) 3解:函数f(x)3sinxcosx(0)2sin(x).由于函数y2sinx两个相邻最大值点和最小值点

626826143且3为2和2,故对此范围进行卡根,;考虑其它最值不能出现,

33故再进行二次卡根,相邻2的最大值为2,相邻2的最小值为2,故

326483;即:4.故选:B. 33262043且

1例9.(2018•湖北模拟)已知函数f(x)cos(x)(0)在区间[0,]上恰有三个零点,则的取

32值范围是 .

1解:由题意:转化为ycos(x)与函数y在区间[0,]上恰有三个交点问题,当x0,可得

23y111.x[0,],ycos(x)与函数y在区间(0,]上还有两个交点问题,根据y=cosx=222357++573333,时,x2k,除了左端点有零点外,x时定有两交点,如图所示;333888解得:2,的取值范围是[2,),故答案为:[2,).

3332525例10.(2018•湖北模拟)已知函数f(x)cos(x)(0)且f()f(),若f(x)在区间(,)上

33636有最大值,无最小值,则的最大值为( ) A.

4 9B.

28 9C.

52 9D.

100 92525363为f(x)cos(x)(0)解:函数f(x)cos(x)(0)且f()f(),直线x243363的一条对称轴,且取得最大值;间(342k+3,kZ,8k4,kZ,又0,且f(x)在区3925522,即,12,当k8时,,)上有最大值,无最小值,T636636324100为最大值.故选:D. 399

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