四点共圆 ３ｌ０ｏ２３杭州外国语学校“四点共圆”是平面几何证题中一 个十分有利的工具，在数学竞赛中也经 浙江’杭州 张圆圆 （ ＢＣＭ一 ＭＣＤ）＝２ ＢＣＤ 常出现．有些几何问题，虽然表面与圆 无关，但若能发现共圆的四点，就能运 用圆的丰富性质为解题服务．借该文介 绍一下四点共圆的判定方法以及如何 四点共圆。 其它几个判定可由此判定推出，或 者用反证法类似证得，请读者自行证明． 【证法二】：由“直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半”，得到ＢＭ＝ ＣＭ＝ＭＥ＝ＤＭ，即Ｂ、Ｄ、Ｅ、ｃ到点Ｍ等 距离， Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｃ四点共圆，以Ｍ为圆 ’．．二、“四点共圆”在平面几何 中的应用 当能证得四边形ＡＢＣＤ的四个顶 利用“四点共圆”解平面几何题． 一、四点共圆的判定 判定方法ｌ：若干个点与某定点的 距离相等，则这些点在同一圆周上； 判定方法２：如果一个四边形一组 对边互补，那么这个四边形内接于圆； 判定方法３：如果一个四边形的一 个外角等于它的内对角，那么这个四边 形内接于圆； 判定方法４：如果两个三角形有一 条公共边，这条边所对的角相等，并且 在公共边的同侧，那么这两个三角形有 公共的外接圆； 判定方法５：若两线段ＡＢ、ｃＤ相 交于点Ｅ，且ＡＥ・ＥＢ＝ＣＥ・ＥＤ，则Ａ、 Ｂ、ｃ、Ｄ四点共圆； 判定方法６：若两相交直线ＰＡ、ＰＢ 上各有一个点ｃ、Ｄ，且ＰＡ・ＰＣ＝ＰＢ・ ＰＤ，则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆． 下面用反证法证明判定方法２： Ｃ 已 四边形ＡＢＣＤ中， Ａ＋ Ｃ ＝１８０。 求证：四边形ＡＢｃＤ内接于一个圆 （Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共圆） 证明：用反证法 过Ａ，Ｂ，Ｄ作圆０，假设Ｃ不在圆 ０上，则ｃ点在圆外或圆内，若ｃ在圆 外，设ＢＣ交圆０于Ｃ’，连结ＤＣ’，根 据圆内接四边形的性质得 Ａ＋ Ｄｃ’ Ｂ＝１８０。． ‘‘ ．Ａ＋ Ｃ＝１８０。 ‘．． ＤＣ’Ｂ＝ Ｃ 这与圆内角＜圆周角＜圆外角矛 盾，故ｃ点不可能在圆外或圆内。 ‘．．Ｃ点在圆Ｏ上，也即Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 创新教育５２ 点共圆时，我们就可以得到若干角的量 的关系，特别是相等关系，利用这样的 关系又可以得到几何问题中线段的量 的关系，从而解决相关几何问题．有些 平面几何题用“四点共圆”来解决，会 达到事半功倍的效果． 例１：已知，在△ＡＢｃ中， ＡＢＣ＝ ９０。，点Ｅ在直线ＡＢ上，ＥＤ与直线Ａｃ 垂直，垂足为Ｄ，且点Ｍ为Ｅｃ的中点， 连结ＢＭ、ＤＭ， （１）如图ｌ，若点Ｅ在线段ＡＢ上， 探究线段ＢＭ与ＤＭ及 ＢＭＤ与 ＢＣＤ所满足的数量关系，并直接写 出你的结论； 日 Ｄ Ｃ 图１ （２）如图２，若点Ｅ在线段ＢＡ的 延长线上，你在（１）中得到的结论是否 发生变化？写出你的猜想并加以证明． 图２ 【证法一】：在（图２）中，由“直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”，得到ＢＭ＝ｃＭ＝ＭＥ＝ＤＭ． 由此推出 ＭＢＣ＝ ＢＣＭ． ＭＣＤ ＝ ＭＤＣ． 根据三角形的外角性质， ＥＭＢ＝ ＭＢＣ＋ ＢＣＭ． ＥＭＤ＝ ＭＣＤ＋ ＭＤＣ＝２ ＭＣＤ． ’．． ＢＭＤ： ＭＢＣ＋ ＢＣＭ一２ ＭＣＤ＝２ ＢＣＭ 一２ ＭＣＤ＝２ 心 根据圆周角定理，显然， ＢＭＤ＝２ ＢＣＤ． 评注：将以上两个方法进行比较， 不难发现四点共圆在解题中发挥了事 半功倍的作用．用四点共圆解题，其基 本思想是转化，当已知条件中的角或线 段可以转化为与圆周相关的因素时，常 可以添作辅助圆．使问题中原来隐晦不 清的关系和性质在新构造的环境中清 晰地展现出来，本题中正是把 ＢｃＤ转 化为圆的圆周角问题，从而简捷地解决 问题． 例２：如图３，已知ＡＢ为半圆０的 直径，Ｃ、Ｄ为半圆上两点，ｃＥｊ．ＡＢ于 点Ｅ，ＤＦ Ｊ＿ＡＢ于点Ｆ，ＤＧ上０Ｃ于点Ｇ． 求证：ＣＥ＝ＧＦ． ／Ｃ 、 １ Ａ Ｅ Ｈ Ｏ Ｆ Ｂ 图３ 【证法一】：过Ｇ作ＧＨ上ＡＢ于Ｈ， 连结０Ｄ ‘‘．ＤＧ上０Ｃ，又‘．‘ＤＦ上ＡＢ ‘．．０、Ｇ、Ｄ、Ｆ四点共圆 ‘．． ＧＦＨ＝ ＧＤ０，且 ＧＨＦ＝ ＤＧ０＝９０。 ・．．△ＧＦＨ △Ｇ ＯＤ．‘． ＝ ． ・．．ｃ“∥ｃＥ．・．器＝ ．ｏｃ＝ｏｏ．・． ＝器 ‘．．ＧＦ＝ＣＥ． 评注：此题利用“四点共圆”得到 角相等，从而得到证明相似的条件；利 用相似得到对应线段成比例，再利用与 公共线段的比相等来实现线段相等．但 此题公共线段比较隐蔽，能发现ＧＨ与 ｃＥ及ＧＦ之间都存在某种关系是解决 问题的关键． 【证法二】：以０Ｄ为直径作圆，则 Ｇ，Ｆ点在圆上； Ｃ Ａ ／（ 图３ 以０ｃ为直径作圆，则Ｅ点在圆上． ‘’．０Ｃ＝０Ｄ， ．’．此两圆为等圆． ’．． ｃＯＥ＝ ＧＤｌＦ（外角等于内对角） ‘．．ｃＥ＝ＧＦ（在同圆或等圆中相等 的圆周角所对的弦相等）． 评注：此解法构思精巧，两个外接 圆作得很是精妙，实属解题中的佳品． 练习１：如图４，ＡＢ＝Ａｃ：ＡＤ，若 ＤＡＣ是 ｃＡＢ的ｋ倍（ｋ为正数）， 那么 ＤＢＣ是 ＢＤＣ的几倍？ Ｄ Ｂ 图４ 分析：这道题可以利用三角形内角 和以及等腰三角形性质来做，但运用四 点共圆的方法非常快！ ’。．ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ ’．．以Ａ为圆心，ＡＢ为半径画圆， 则Ｄ、ｃ都在０Ａ上． ‘‘．同段弧所对应的圆周角是对应 的圆心角的二分之一 ’．． ＤＢＣ＝１／２ ＣＡＢ． ＢＤＣ＝１／ ２ ＤＡＣ ‘‘ ．ＤＡＣ＝ｋ ＣＡＢ．。． ＤＢＣ＝ｋ ＢＤＣ 练习２：如图５，Ｏ０过△ＡＢＣ顶点 Ａ，ｃ，且与ＡＢ，Ｂｃ交于Ｋ，Ｎ（Ｋ与Ｎ不 同）．△ＡＢｃ 图５ 外接圆和△ＢＫＮ外接圆相交于Ｂ 和Ｍ．求证： ＢＭ０＝９０。． （第２６届ＩＭＯ第五题） 分析：这道国际数学竞赛题，曾使 许多选手望而却步．其实，只要把握已 知条件和图形特点，借助“四点共圆”， 问题是不难解决的． 连接Ｏｃ，０Ｋ，ＭＣ，ＭＫ，延长ＢＭ到 Ｇ． 易得 ＧＭＣ＝ ＢＡＣ＝ ＢＮＫ： ＢＭＫ． 而 Ｃ０Ｋ＝２・ ＢＡＣ＝ ＧＭＣ＋ ＢＭＫ：１８Ｏ。一 ＣＭＫ． ‘．． ＣＯＫ＋ ＣＭＫ＝１８０。＝》Ｃ，０． Ｋ，Ｍ四点共圆． 在这个圆中，由０Ｃ＝０Ｋ ＯＣ＝ ＯＫ＝ ＯＭＣ： ０ＭＫ． 但 ＧＭｃ＝ ＢＭＫ，故 ＢＭＯ＝ ９０。． 三、一点感想 四点共圆既是一类问题，又是平面 几何中一个重要的证明方法．适当发现 并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运 用创造了条件，由于图形的复杂性，有 时在图中并不需画出圆，可谓“图中无 圆，心中有圆”．熟悉“四点共圆”这一 应用对于开阔证题思路，提高解题能力 都是十分有益的． （上接５１页）此外，根据乔庄 （Ｃｈａｕｄｒ０ｎ）对教师讲课和提问技巧的 研究可以知道，说话的语速应适当放 慢，发音要清晰，发音的方式要略有夸 张，如需要，可重复所提的问题。 当然，我们必须视不同的教学内容 和教学对象选择合适的提问技巧，并且 注意及时调整和总结。 三、教师提问的难度 所谓提问的难度是指问题的深度 和广度。提问的难度要适中，要符合学 生的认知水平。教育心理学研究表明， 当问题所要求的知识与学生已有知识 没有内在联系，这个问题就太难了，学 生无法回答，这会挫伤学生的积极性； 当问题所要求的知识与学生已有知识 完全相同，这个问题就太容易了，学生 凭借记忆就能回答，这也不利于学生思 维的培养；当问题所要求的知识与学生 已有知识有联系，但又有些不同，那么 这个问题难易适中，学生通过努力可以 回答，这对培养学生的思维能力非常有 效。因此，考虑提问难易程度必须与学 生原有的知识相关联、相衔接，使“最 近发展区”转化为“现实发展区”，这 样，学生的知识和能力就都能得到发 展。如所提问内容空泛，难度太大，就 会出现“冷场”局面：如提问过于简单， 多数为ｙｅｓ／ｎ０ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ或ｓｉｎ ｅ—ｗｏｒｄ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ，或学生只要读课文中现成的 句子就能回答的问题，则不利于学生的 语言实践和思维水平的提高。 我国学者胡春洞认为，在提问的难 易比例方面，根据学生目前的智力和英 语能力，最好是ｌ：３，即一难三易。他 举例说，在课文教学中，ｙｅｓ／ｎｏ ｑｕｅｓ— ｔｉｏｎｓ或ｔｍｅ／ ｓｅ ｓｔ砒ｅｍｅｎｔｓ应是ｗｈ— ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ的三倍。这样，大多数学生通 过努力都能回答。 四、提问后的等待时间 提问后的等待时间是指教师提问 之后留给学生的思考时间。教师提问 后给学生留有足够的思考时间是教师 课堂提问的重要策略之一。 稍作调查了解和用心观察，我们不 难发现，许多教师在提问之后，给学生所 留的思考时间往往不足一秒，一秒之后若 该生回答不了，教师就自己回答，或让其 他学生回答，或将问题重新组织后再次提 问。由于没有充足的时问思考，学生的思 维很容易卡壳，回答的难度也会加大，他 们往往因组织不好回答而放弃机会，甚至 简单的问题也会发生“舌尖反应”——形 成的想法到了嘴边又忘得无影无踪。教 师如把等待时间延长至３—５秒，学生回 答问题的质量和参与人数都会相应提高。 具体表现为：１．学生回答句子的平均长度 增加；２．恰如其分的主动应答增多；３．不 能作答的题数减少；４．思辨性的回答增 加；５．学生彼此间的交流加强；６．推理性 的回答增多；７．学生提问增加；８．学生通 常能在课堂上作出更为丰富多样的回答。 总之，教学过程是师生间、学生间互 动的过程，教师提问和学生应答构成了师 生间语言交流、学生语言实践的主要形 式。因此，教师提问在英语课堂教学中是 一种十分重要的教学手段。研究教师课 堂提问的目的、类别、难度、提问后的等待 时间等课堂教学因素都对提高教学质量 以及培养学生的实践能力具有十分重要 的指导意义。事实上，英语课堂提问的探 讨远不止这里所提到的内容，这有待于今 后进一步研究和实践。 参考文献： １．金传宝：“教师如何提高发问技 巧”《外国教育研究》ｌ９９８年第２期。 ２．阎承利：《教学最优化艺术》，教 育科学出版社１９９８年版。 ３．胡春洞：《英语教学法》，高考教 育出版社１９９９年版。 ４．许高厚、施铮：《课堂教学技 艺》，北京师范大学出版社ｌ９９７年版。 ５３创新教育
