5.万有引力与航天

概念梳理：

一、万有引力定律：

1.内容：宇宙间有质量的物体之间都是相互吸引的，两个物体之间的引力大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比. 2.公式：F=G·m1·m2/r，其中G=6. 67×10许测定的.

3.条件：适用于质点，或可视为质点的均匀球体. 二、重力和地球的万有引力：

1.地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：

（1）物体随地球自转的向心力：F向=m·R·（2π/T0）2，很小. 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化. （2）重力：约等于万有引力：

在赤道处：FF向mg，

2

－11

N·m/kg，叫万有引力常量，是由卡文迪

22

GMm2mR，因地球自转角速度自2RGMmGM2很小，，所以. mRg自22RR地球表面的物体所受到的向心力f的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为

所以mgFF向万有引力和重力大小相等.如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了.如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了.

.

(Rh)2Mm

【注意】不考虑天体自转，对任何天体表面的物体都可以认为mg＝G2.从而得出GM＝

RgR2(通常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度．

2.绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一，即：G·M·m/R=m·a向=mg∴g=a向=G·M/R 三、天体运动：

1.开普勒行星运动定律：

（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上.

2

2

在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即g'Gm1（2）对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等.

（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.其表达式为：

R3k，其中R是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关T2的常量.

2.天体运动的基本问题是研究星体（包括人造星体）在万有引力作用下做匀速圆周运动. 基本方法：将天体运动理想化为匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供.即：

G·M·m/r2=m·v2/r=m·r·ω2=m·r·（2π/T）2=m·r·（2πf）2 3.绕行星体的运动的快慢与绕行半径的关系（人造地球卫星亦是如此）：

22

（1）由G·M·m/r=m·v/r得v=GM/r，r越大，v越小. 22

（2）由G·M·m/r=m·r·ω得GM/r3，r越大，ω越小.

22

（3）由G·M·m/r=m·r·（2π/T）得T42r2/GM，r越大，T越大.

4.中心天体质量M和密度ρ的估算：

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgRMM3g由于G2＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.

RGV434πGR

πR3

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.

Mm4π24π2r3

①由万有引力等于向心力，即G2＝m2r，得出中心天体质量M＝；

rTGT2MM3πr3

②若已知天体的半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；

V43GT2R3πR3

③若天体的卫星在天体表面的附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则3π

天体密度ρ＝2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的

GT密度．

5.双星：宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动.这种结构叫做双星.

（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同.

（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=G·m1·m2/L2=mrω2可得r1，得

m2

r1m2m1L,r2L，即固定点离质量大的星较近.

m1m2m1m2当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心，可以认为它是固定不动的.

【注意】万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆. 四、人造地球卫星： 1.近地卫星：

近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近gGM，所

2R以有vgR7.9103m/s,T2R5.1103s85min.它们分别是绕地球做匀速圆g周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期. 2.地球同步卫星：

分析：绕地球旋转的卫星所需的向心力由地球的万有引力提供，因为物体所受的引力指向地心，因而所有的地球卫星的轨道平面一定过地心；而地球同步卫星相对地表静止，必随地球自转，所以同步卫星的轨道平面一定过地心且垂直地轴——过赤道的平面.

322 4推导：由同步卫星T=24h，而G·M·m/r=m·r·(2π/T)∴r=GMT2/42=4. 2×10km

3.卫星的轨道

(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内．同步卫星就是其中的一种．

(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内．如定位卫星系统中的卫星轨道．

(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 4.卫星的稳定运行与变轨运行分析

v2Mm2π(1)圆轨道上的稳定运行 G2＝m＝mrω2＝mr()2

rrT

(2)变轨运行分析

v2

①当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，r

GM

脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 知其运r

行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．

mv2

②当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫

r星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ GM知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这r一原理)．

5.人造地球卫星的超重和失重

(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两

个过程中加速度方向均向上，因而都是超重状态．

(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行． 五、三种宇宙速度：

1.第一宇宙速度（环绕速度）：人造地球卫星最小的发射速度，等于物体近地圆运动的运行速度. 推导：由G·M·m/R2=m·v12/R或m·g=m·v12/R，得v1=GM/rgR =7. 9km/s 2.第二宇宙速度（脱离速度）：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. v2=11. 2km/s 3.第三宇宙速度（逃逸速度）：物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. v3=16. 7km/s

考点精析：

考点一 万有引力定律在天文学上的应用

【例1】关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是 ( ) A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 C．离太阳越近的行星运动周期越大

D．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处

mm

【例2】对万有引力定律的表达式F＝G122，下列说法正确的是 ( )

r

A．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的 B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大

C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关 D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力

【例3】土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示) (1)求岩石颗粒A和B的线速度之比． (2)求岩石颗粒A和B的周期之比．

【例4】某中子星的质量大约与太阳的质量相等为21030kg．但是它的半径为10km，已知万有引力常量G6.671011Nm2/kg2，求： （1）此中子星表面的重力加速度．

（2）贴近中子星的表面，沿圆轨道运动的小卫星的速度．

【例5】某球形行星“一昼夜”时间为T=6h，在该行星上用弹簧秤称同一物体的质量，发现其“赤道”上的读数比其在“南极”处读数小9%，若设想该行星的自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，这时该行星的自转周期T '多大？

【例6】由于地球的自转而使物体在地球上不同的地点所受的重力不同，某一物体在地球两极处称得的重力大小为G1，在赤道上称得的重力大小为G2，设地球自转周期为T，万有引力常量为G，地球可视为规则的球体，求地球的平均密度．

【例7】在某星球上，宇航员用弹簧秤称量一个质量为m的物体，其重力为F．宇宙飞船在靠近该星球表面飞行，测得其环绕周期为T．已知万有引力常量为G，试由以上数据求出该星球的质量．

【例8】银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G．求S2的质量．

12抛一物体，水平射程为60m，则在该星球上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？

【例9】某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的，若在地球上高h处平

考点二 对人造卫星的认识

【例1】如图所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是 ( ) A.a、b的线速度大小之比是

2∶1

B.a、b的周期之比是1∶22 C.a、b的角速度大小之比是36∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶4

【例2】我国发射的“嫦娥二号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星 ( )

a bbB．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为

a

C．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 A．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为 D．从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速

【例3】如图所示,a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星,下列说法正确的是 ( ) A.b、c的线速度大小相等,且大于a的线速度 B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度 C.c加速可追上同一轨道上的b,b减速可等候同一轨道上的c D.a卫星由于某种原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将变大 【例4】下面关于同步卫星的说法正确的是 ( ) A．同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率就被确定

B．同步卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小，仍同步

C．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人

造地球卫星离地面的高度比同步卫星低

D．同步卫星的速率比我国发射第一颗人造卫星的速率小

课后练习

一．单项选择题

1．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F.若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( ) A．2F B．4F C．8F D．16F

2．如图所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，某一时刻两行星相距最近，则( ) A．经过T1＋T2两行星再次相距最近 B．经过

T1T2

两行星再次相距最近 T2－T1

T1＋T2

C．经过两行星相距最远

2T1T2D．经过两行星相距最远

T2－T1

3．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( ) A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度

4．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) A．

19

B．18

19 C．18

1818 D． 1919

5．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展．假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径为6.4×10 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×10 m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期．以下数据中最接近其运行周期的是( ) A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时

6．星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝2v1.已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表1

面重力加速度g的，不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )

6

6

7

A．gr B．1

gr C．611gr D．gr 33

7．太空被称为是21世纪技术的摇篮．摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的机会．“神舟”系列载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心，我国提出了载人飞船——太空实验室——空间站的三部曲构想．某宇航员要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站( )

A．只能从较低轨道上加速 B．只能从较高轨道上加速

C．只能从空间站同一高度的轨道上加速 D．无论在什么轨道上，只要加速都行 8．质量相等的甲、乙两颗卫星分别贴近某星球表面和地球表面围绕其做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度相同，半径分别为R和r，则( )

A.甲、乙两颗卫星的加速度之比等于R∶r B．甲、乙两颗卫星所受的向心力之比等于1∶1 C.甲、乙两颗卫星的线速度之比等于1∶1 D．甲、乙两颗卫星的周期之比等于R∶r 9．据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法不正确的是( ) A．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 B．离地面高度一定，相对地面静止 C．周期与静止在赤道上物体的周期相等

D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 二．双项选择题

1.2008年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是( ) A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 2.最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周 所用的时间为1 200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( )

A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比

C．行星质量与地球质量之比

D．行星运行速度与地球公转速度之比 三．计算题

1

1.某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，在该星球上发射卫星，其第一宇宙

2速度是多少？

2.我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注． (1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．

(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M

月．