8.5空间直线、平面的平行- 2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册学案

①、了解直线与平面平行的证明方法 ②、掌握平面与平面平行的证明方法 ③、理解平行公理与空间等角定理

一、直线与直线平行

1、基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 二、直线与平面平行

1、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

a符号语言：ba∥

a∥b2、性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行

符号语言：a∥b

b三、平面与平面平行

1、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

a∥a,b符号语言：abP∥

a∥,b∥2、性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

∥符号语言：aa∥b

b 1.如图，在四棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 中，侧面 𝑃𝐴𝐷 为等边三角形且垂直于底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ， 𝐴𝐷//𝐵𝐶 ， 𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 ， 𝐴𝐵=2𝐵𝐶=4 ， 𝐸 是棱 𝑃𝐷 上的动点（除端点外）， 𝐹 ， 𝑀 分别为 𝐴𝐵 ， 𝐶𝐸 的中点．

（1）求证： 𝐹𝑀// 平面 𝑃𝐴𝐷 ；

（2）若直线 𝐸𝐹 与平面 𝑃𝐴𝐷 所成的最大角为 30° ，求平面 𝐶𝐸𝐹 与平面 𝑃𝐴𝐷 所成锐二面角的余弦值． 【答案】 （1）证明：取 𝐶𝐷 的中点 𝑁 ，连结 𝐹𝑁 ， 𝑀𝑁 ，

因为 𝐹 ， 𝑁 分别为 𝐴𝐵 ， 𝐶𝐷 的中点， 所以 𝐹𝑁//𝐴𝐷 ，

又因为 𝐹𝑁⊄ 平面 𝑃𝐴𝐷 ， 𝐴𝐷⊂ 平面 𝑃𝐴𝐷 ， 所以 𝐹𝑁// 平面 𝑃𝐴𝐷 ， 同理， 𝑀𝑁// 平面 𝑃𝐴𝐷 ， 又因为 𝐹𝑁∩𝑀𝑁=𝑁 ， 所以平面 𝑀𝐹𝑁// 平面 𝑃𝐴𝐷 ， 又因为 𝐹𝑀⊂ 平面 𝑀𝐹𝑁 ， 所以 𝐹𝑀// 平面 𝑃𝐴𝐷

（2）解：因为平面 𝑃𝐴𝐷⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ， 𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 ， 所以 𝐴𝐵⊥ 平面 𝑃𝐴𝐷 ，

所以 ∠𝐴𝐸𝐹 即为直线 𝐸𝐹 与平面 𝑃𝐴𝐷 所成的角， 且 tan∠𝐴𝐸𝐹=

𝐴𝐹𝐴𝐸

=

2𝐴𝐸

，

当 𝐴𝐸 最小，即 𝐸 为 𝑃𝐷 中点时， 𝐴𝐸⊥𝑃𝐷 ， 此时 ∠𝐴𝐸𝐹 最大为 30° ， 又因为 𝐴𝐹=2 ，

所以 𝐴𝐸=2√3 ，所以 𝐴𝐷=4 ． 取 𝐴𝐷 的中点 𝑂 ，连结 𝑃𝑂 ， 𝑂𝐶 ，

易知 𝑃𝑂⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ， 因为 𝐴𝑂//𝐵𝐶 且 𝐴𝑂=𝐵𝐶 ， 所以四边形 𝐴𝐵𝐶𝑂 为平行四边形， 所以 𝐴𝑂⊥𝑂𝐶 ，

⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 𝑥 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 𝑂−𝑥𝑦𝑧 ． 以 𝑂 为坐标原点， 𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1,√3) ，则 𝑂(0,0,0) ， 𝐶(4,0,0) ， 𝐷(0,2,0) ， 𝑃(0,0,2√3) ， 𝐸(0,1,√3) ， 𝐹(2,−2,0) ， 𝐶𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) ， 𝐹𝐶

设 𝑛⃗ 1=(𝑥,𝑦,𝑧) 为平面 𝐶𝐸𝐹 的法向量， ⃗⃗⃗⃗⃗ =0𝑛⃗ ⋅𝐹𝐶

则 {1 ，

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛⃗ 1⋅𝐶𝐸=0

2𝑥+2𝑦=0,

即 {

−4𝑥+𝑦+√3𝑧=0,可取 𝑛⃗ 1=(√3,−√3,5) ．

设平面 𝑃𝐴𝐷 的法向量为 𝑛⃗ 2=(1,0,0) ，

12所以 cos〈𝑛⃗ 1,𝑛⃗ 2〉=|𝑛=⃗ |⋅|𝑛⃗ |

1

2

⃗ ⋅𝑛⃗ 𝑛

√3√31=

√93 31

，

√93 31

所以平面 𝐶𝐸𝐹 与平面 𝑃𝐴𝐷 所成锐二面角的余弦值为

【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角

【解析】 （1）根据直线与平面平行的判定定理证明；（2）先用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．

2.如图所示，直棱柱 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，四边形ABCD为菱形，点E是线段 𝐶𝐶1 的中点．

（1）求证： 𝐴𝐶1// 平面BDE； （2）求证： 𝐵𝐷⊥𝐴1𝐸 ．

【答案】 （1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；

因为О，E分别为线段AC， 𝐶𝐶1 的中点，故 𝑂𝐸//𝐴𝐶1 ， 而 𝑂𝐸⊂ 平面BDE， 𝐴𝐶1⊂ 平面BDE，故 𝐴𝐶1// 平面 𝐵𝐷𝐸

（2）证明：因为直棱柱 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 ，故 𝐶𝐶1⊥ 平面ABCD， 又 𝐵𝐷⊂ 平面ABCD，所以 𝐶𝐶1⊥𝐵𝐷 ． 因为ABCD是菱形，所以 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ．

又 𝐴𝐶∩𝐶𝐶1=𝐶 ， 𝐴𝐶⊂ 平面 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 ， 𝐶𝐶1⊂ 平面 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 ， 所以 𝐵𝐷⊥ 平面 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 ．

因为 𝐴1𝐸⊂ 平面 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 ，故 𝐵𝐷⊥𝐴1𝐸

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定

【解析】（1） 连接AC交BD于点O，连接OE， 因为О，E分别为线段AC， 𝐶𝐶1 的中点， 所以利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出 𝐴𝐶1// 平面BDE。

（2） 因为直棱柱 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 ，故 𝐶𝐶1⊥ 平面ABCD， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 𝐶𝐶1⊥𝐵𝐷 ，再利用 ABCD是菱形， 结合菱形的性质，进而证出线线垂直，即 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 𝐵𝐷⊥ 平面 𝐴𝐶𝐶1𝐴1 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 𝐵𝐷⊥𝐴1𝐸 。

3.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

（1）求证：PA⊥BD；

（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（3）当PA⊥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

【答案】 （1）证明：因为 𝑃𝐴⊥𝐴𝐵 ， 𝑃𝐴⊥𝐵𝐶 ，所以 𝑃𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶 ， 又因为 𝐵𝐷⊂ 平面 𝐴𝐵𝐶 ，所以 𝑃𝐴⊥𝐵𝐷 .

（2）证明：因为 𝐴𝐵=𝐵𝐶 ， 𝐷 为 𝐴𝐶 中点，所以 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 ， 由（I）知， 𝑃𝐴⊥𝐵𝐷 ，所以 𝐵𝐷⊥ 平面 𝑃𝐴𝐶 . 所以平面 𝐵𝐷𝐸⊥ 平面 𝑃𝐴𝐶 .

（3）解：因为 𝑃𝐴∥ 平面 𝐵𝐷𝐸 ，平面 𝑃𝐴𝐶∩ 平面 𝐵𝐷𝐸=𝐷𝐸 ， 所以 𝑃𝐴∥𝐷𝐸 .

因为 𝐷 为 𝐴𝐶 的中点，所以 𝐷𝐸=2𝑃𝐴=1 ， 𝐵𝐷=𝐷𝐶=√2 . 由（I）知， 𝑃𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶 ，所以 𝐷𝐸⊥ 平面 𝑃𝐴𝐶 . 所以三棱锥 𝐸−𝐵𝐶𝐷 的体积 𝑉=𝐵𝐷⋅𝐷𝐶⋅𝐷𝐸= .

6

3

1

1

1

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面垂直的判定 【解析】（1） 因为 𝑃𝐴⊥𝐴𝐵 ， 𝑃𝐴⊥𝐵𝐶 ， 再利用线面垂直的判定定理，从而推出线面垂直，即 𝑃𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 PA⊥BD。

（2） 因为 𝐴𝐵=𝐵𝐶 ， 𝐷 为 𝐴𝐶 中点，所以 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 ，由（I）知， 𝑃𝐴⊥𝐵𝐷 ，从而由线面垂直的判定定理，从而证出线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，从而证出面面垂直，即平面BDE⊥平面PAC。 （3）利用线面平行的性质定理证出线线平行，即 𝑃𝐴∥𝐷𝐸 ，因为 𝐷 为 𝐴𝐶 的中点，所以 𝐷𝐸=2𝑃𝐴=1 ， 𝐵𝐷=𝐷𝐶=√2 ，由（I）知， 𝑃𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶 ，所以 𝐷𝐸⊥ 平面 𝑃𝐴𝐶 ，再利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥E－BCD的体积。

4.如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且 𝐴𝐵=2𝐴𝐷 ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶 ，将 △𝐴𝐵𝐶 所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2．

1

（1）求证：平面 𝐴𝐶𝐷⊥ 平面BCD；

（2）在线段AB上是否存在点F，使得 𝐴𝐷// 平面CEF？若存在，求出 𝐹𝐵 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：⊥AB是圆的直径，⊥ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐷 ．

𝐴𝐹

⊥ 𝐶𝐸⊥ 平面ABD， 𝐴𝐷⊂ 平面ABD，⊥ 𝐶𝐸⊥𝐴𝐷 ． 又⊥ 𝐶𝐸∩𝐵𝐷=𝐸 ， 𝐵𝐷,𝐶𝐸⊂ 平面ABD， ⊥ 𝐴𝐷⊥ 平面BCD． ⊥ 𝐴𝐷⊂ 平面ACD， ⊥平面 𝐴𝐶𝐷⊥ 平面BCD．

（2）解：⊥ 𝐶𝐸⊥ 平面ABD， 𝐴𝐸,𝐵𝐸⊂ 平面ABD， ⊥ 𝐶𝐸⊥𝐴𝐸 ， 𝐶𝐸⊥𝐵𝐸 ．

在 Rt△𝐴𝐶𝐸 和 Rt△𝐵𝐶𝐸 中，由 𝐴𝐶=𝐵𝐶 得 𝐴𝐸=𝐵𝐸 ， 在 Rt△𝐴𝐵𝐷 中，由 𝐴𝐵=2𝐴𝐷 ，得 ∠𝐴𝐵𝐷=30° ， ⊥ ∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐸=60° ， ⊥在 Rt△𝐴𝐷𝐸 中， 𝐷𝐸=𝐴𝐸 ，

21

⊥E是BD的三等分点，且 𝐷𝐸=2𝐸𝐵 ．

在线段AB上存在点F，使得 𝐴𝐹=𝐹𝐵 ，则有 𝐹𝐸//𝐴𝐷 ．

21

1

⊥ 𝐹𝐸⊂ 平面CEF， 𝐴𝐷⊄ 平面CEF， ⊥ 𝐴𝐷// 平面CEF．

故在线段AB上存在点F，使得 𝐴𝐷// 平面CEF，此时

𝐴𝐹𝐹𝐵

= ．

2

1

【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】（1）要证平面 𝐴𝐶𝐷⊥ 平面BCD，只要证平面 𝐴𝐶𝐷经过平面BCD的一条垂线AD即可，由D是以AB为直径的圆上的点得到 𝐴𝐷⊥𝐵𝐷 ，由CE垂直于底面得到EC垂直于AD，利用线面垂直的判定得到证明； （2）在线段AB上存在点F，且 𝐹𝐸//𝐴𝐷 ， 则 𝐴𝐷// 平面CEF，利用平面几何的性质求得 𝐷𝐸=𝐸𝐵 ，

21

即可得出结论。

1.若直线 𝑙 与平面 𝛼 不平行，且直线 𝑙 也不在平面 𝛼 内，则 （ ） A. 𝛼 内不存在与 𝑙 异面的直线 B. 𝛼 内存在与 𝑙 平行的直线 C. 𝛼 内存在唯一的直线与 𝑙 相交 D. 𝛼 内存在无数条与 𝑙 垂直的直线

2.已知m，n为两条不同的直线， 𝛼//𝛽 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ） A. 𝑚⊥𝑛,𝑚//𝛼⇒𝑛⊥𝛼 B. 𝑛//𝛽,𝛽⊥𝛼⇒𝑛⊥𝛼 C. 𝑚//𝑛,𝑚⊥𝛽⇒𝑛⊥𝛽 D. 𝑚//𝛼,𝑛⊂𝛼⇒𝑚//𝑛 3.下列说法正确的是（ ） A. 𝑎//𝑏，𝑏⊂𝛼⇒𝑎//𝛼 C. 𝑎⊥𝛼，𝑏⊥𝛼⇒𝑎//𝑏

B. 𝑎⊥𝑏，𝑏⊂𝛼⇒𝑎⊥𝛼 D. 𝛼⊥𝛽，𝑎⊂𝛽⇒𝑎⊥𝛼

4.设 𝑙 ， 𝑚 是两条不同的直线， 𝛼 ， 𝛽 是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出 𝑙 ⊥ 𝑚 的是（ ）

A. 𝑙 ⊥ 𝛼 ， 𝑚 ⊥ 𝛽 ， 𝛼 ⊥ 𝛽 B. 𝑙 ⊥ 𝛼 ， 𝑚 ⊥ 𝛽 ， 𝛼 ⊥ 𝛽 C. 𝑙 ⊥ 𝛼 ， 𝑚 ⊥ 𝛽 ， 𝛼 ⊥ 𝛽 D. 𝑙 ⊥ 𝛼 ， 𝑚 ⊥ 𝛽 ， 𝛼 ⊥ 𝛽

参

1.【答案】 D 【解析】

对于A，如下图长方体中， 𝛼 内存在与 𝑙 异面的直线 𝑎 ，错误；

对于B，如果 𝛼 内存在与 𝑙 平行的直线 𝑎 ，则 𝑙//𝑎 ，由于 𝑙⊄𝛼 ， 𝑎⊂𝛼 ， 所以 𝑙//𝛼 ，与已知直线 𝑙 与平面 𝛼 不平行矛盾，错误； 对于C， 如下图长方体中， 𝛼 内直线 𝑎、𝑏 与 𝑙 都相交，错误；

对于D，如下图，设 𝑙∩𝛼=𝐴 ，在 𝛼 内过A点做与 𝑙 垂直的直线 𝑎 ， 𝛼 内可以做无数条与直线 𝑎 平行，且都与 𝑙 垂直，正确.

2.【答案】 C 【解析】

A. 𝑚⊥𝑛,𝑚//𝛼 ，则 𝑛 也可在平面 𝛼 内 B. 𝑛//𝛽,𝛽⊥𝛼 ，则 𝑛 也可在平面 𝛼 内 C. 𝑚//𝑛,𝑚⊥𝛽⇒𝑛⊥𝛽 成立

两平行线 𝑚,𝑛 ， 𝑚 垂直于平面 𝛽 ， 𝑚 必垂直于 𝛽 两条相交直线，则由直线平行关系的传递性，定垂直于 𝛽 内那两条相交直线，故 𝑛⊥𝛽 D. 𝑚//𝛼,𝑛⊂𝛼 ，则 𝑚,𝑛 也可是异面直线的关系. 3.【答案】 C 【解析】

对A,若 𝑎//𝑏，𝑏⊂𝛼⇒𝑎//𝛼 或 𝑎⊂𝛼 ，故错误；

对B，𝑎⊥𝑏，𝑏⊂𝛼⇒𝑎⊥𝛼 或 𝑎//𝛼 或a与 𝛼 斜交 ，故错误；

对C，由线面垂直的性质定理可知，若 𝑎⊥𝛼 ， 𝑏⊥𝛼 ，则 𝑎∥𝑏 ，正确； 对D，𝛼⊥𝛽，𝑎⊂𝛽⇒𝑎⊥𝛼 或a与 𝛼 斜交 ，故错误； 4.【答案】 B

【考点】直线与平面平行的判定

【解析】由 𝐴 ， 𝐶 ， 𝐷 可推出 𝑙 与 𝑚 平行、相交或异面，由 𝐵 可推出 𝑙 ⊥ 𝑚 .

𝑛 必