用数学软件Maple做线性代数(2013.5.15)

第一章 行列式

用数学软件Maple做线性代数

作者：***

四川大学数学学院

****************

目 录

1

行列式

克拉默法则

第二章 矩阵及其运算

矩阵的线性运算

矩阵的乘法

矩阵的转置

逆矩阵

矩阵方程

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的行最简形

矩阵的秩

齐次线性方程组

基础解系

非齐次线性方程组

2

求通解

用Solve求线性方程组的解

第四章 向量组的线性相关性

向量的线性表示

极大无关组

第五章 相似矩阵及二次型

正交矩阵

矩阵的特征值

矩阵的特征向量

矩阵的对角化

二次型的标准化

补充：向量 参考文献

前 言3

Maple是著名的数学软件，具有强大的的数算能力和绘图功能。

本文档用Maple来进行线性代数中的各种运算。

本文档中所有的例子都是用Maple 8编程和计算的。

如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件与作者讨论。

邮箱：****************

2012-5-11

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第一章 行列式

行列式 det(A)

124A221例 计算三阶行列式

342（同济5版，3页）

输入：

with(linalg):

A:=matrix([[1,2,-4],[-2,2,1],[-3,4,-2]]);

4

detA:=det(A);

12-4A := -221输出：-34-2 detA := -14

3112A51342011例 计算四阶行列式1533（同济5版，12页）

输入：

with(linalg):

A:=matrix([[3,1,-1,2],[-5,1,3,-4],[2,0,1,-1],[1,-5,3,-3]]);

detA:=det(A);

31-12A := -513-4输出：

201-11-53-3， detA := 40 11123x0例 求解方程

49x2（同济5版，3页）

输入：

5

with(linalg):

A:=array([[1,1,1],[2,3,x],[4,9,x^2]]);

solve(det(A)=0,x);

输出：3,2

aababcabcdabcd4a3b2cda2ab3a2bc例 计算行列式a3ab6a3bc10a6b3cd（同济5版，13页）

输入：

with(linalg):

A:=array([[a,b,c,d],[a,a+b,a+b+c,a+b+c+d],[a,2*a+b,3*a+2*b+c,4*a+3*b+2*c+d],[a,3*a+b,6*a+3*b+c,10*a+6*b+3*c+d]]);

DetA:=det(A);

abcdaababcabcdA := a2ab3a2bc4a3b2cda3ab6a3bc10a6b3cdDetA := a4,,输出：

6

a000a0000b00db000000ab00cd0c00例 计算行列式c0000d（同济5版，15页）

输入：

with(linalg):

A:=array([[a,0,0,0,0,b],[0,a,0,0,b,0],[0,0,a,b,0,0],[0,0,c,d,0,0],[0,c,0,0,d,0],[c,0,0,0,0,d]]);

DetA:=det(A);

a00A := 00c输出：

0a00c000ac0000bd000b00d0b00003d, DetA := (dabc)

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克拉默法则

2x1x25x3x48x3x6x49122x2x32x45例 用克拉默法则解线性方程组：x14x27x36x40（同济5版，22页）

7

输入：

with(linalg):

A:=array([[2,1,-5,1],[1,-3,0,-6],[0,2,-1,2],[1,4,-7,6]]);

b:=array([8,9,-5,0]);

A1:=augment(b,col(A,2),col(A,3),col(A,4));

A2:=augment(col(A,1),b,col(A,3),col(A,4));

A3:=augment(col(A,1),col(A,2),b,col(A,4));

A4:=augment(col(A,1),col(A,2),col(A,3),b);

x1:=det(A1)/det(A);

x2:=det(A2)/det(A);

x3:=det(A3)/det(A);

x4:=det(A4)/det(A);

21-51A := 1-30-6输出：02-1214-76b := [8,9,-5,0]

8

81-51A1 := 9-30-628-51190-6-52-12A2 := 0-5-1204-76 10-76

218121-58A3 := 1-39-602-52A4 := 1-30902-1-51406 14-70

方程组的解：x1 := 3 x2 := -4 x3 := -1 x4 := 1

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第二章 矩阵及其运算

矩阵的线性运算 matadd(A,B) 或 evalm(A+B); k*B例 设A3523078，

B912418，求AB和4A3B 输入：

with(linalg):

A:=array([[2,5,-2],[0,7,-8]]);

B:=array([[-3,9,12],[-4,1,8]]);

matadd(A,B);

9

evalm(A+B);

matadd(4*A,3*B);

evalm(4*A+3*B);

A := 25-2912B := -3输出：

07-8 -418

-114101410-480 -1-480 -147284728-1231-8

-1-1231-8

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矩阵的乘法 multiply(A,B) 或 evalm(A&*B)410B11310201例 设A312102，134，求AB

输入：

10

with(linalg):

A:=array([[1,0,3,-1],[2,1,0,2]]);

B:=array([[4,1,0],[-1,1,3],[2,0,1],[1,3,4]]);

AB:=multiply(A,B);

AB:=evalm(A&*B);

11

41013A := 103-1B := -1201结果：2102,

134,

AB := 9-2-19-2-19911 AB := 9911

例 设A2412，

B2436，求AB和BA（同济5版，35页）输入：

with(linalg):

A:=array([[-2,4],[1,-2]]);

B:=array([[2,4],[-3,-6]]);

AB:=multiply(A,B);

BA:=multiply(B,A);

A := -24024结果：

1-2, B := -3-6, AB := -16-32816, BA := 000

costsintncosntsinnt例 证明：sintcostsinntcosnt（同济5版，38页）

解 取n=7

12

输入

with(linalg):

A:=array([[cos(t),-sin(t)],[sin(t),cos(t)]]);

evalm(A^7);

map(combine,%);

结果：

A := cos(t)sin(t)sin(t)cos(t) [((cos(t)2sin(t)2)24cos(t)2sin(t)2)((cos(t)2sin(t)2)cos(t)2cos(t)sin(t)2)4(cos(t)2sin(t)2)cos(t)sin(t)(2cos(t)2sin(t)(cos(t)2sin(t)2)sin(t)),((cos(t)2sin(t)2)24cos(t)2sin(t)2)((cos(t)2sin(t)2)sin(t)2cos(t)2sin(t))4(cos(t)2sin(t)2)cos(t)sin(t)((cos(t)2sin(t)2)cos(t)2cos(t)sin(t)2)][4(cos(t)2sin(t)2)cos(t)sin(t)((cos(t)2sin(t)2)cos(t)2cos(t)sin(t)2)((cos(t)2sin(t)2)24cos(t)2sin(t)2)(2cos(t)2sin(t)(cos(t)2sin(t)2)sin(t)),4(cos(t)2sin(t)2)cos(t)sin(t)((cos(t)2sin(t)2)sin(t)2cos(t)2sin(t))((cos(t)2sin(t)2)24cos(t)2sin(t)2)((cos(t)2sin(t)2)cos(t)2cos(t)sin(t)2)]化简的结果：cos(7t)sin(7t)sin(7t)cos(7t) 返回目录

13

矩阵的转置 transpose(A)

例 设

A120311，求其转置矩阵AT（同济5版，39页） 输入：

with(linalg):

A:=array([[1,2,0],[3,-1,1]]);

B:=transpose(A);

结果：

13A := 120-1原矩阵：3-11B :=  转置矩阵:

201

171例 设A201B132423，201，求(AB)T，并验证：

(AB)TBTAT（同济5版，39页）

输入

with(linalg):

14

A:=array([[2,0,-1],[1,3,2]]);

B:=array([[1,7,-1],[4,2,3],[2,0,1]]);

transpose(multiply(A,B));

multiply(transpose(B),transpose(A));

17-1结果：A := 20-1B := 4132,

23201 0170171413-310这是(AB)T 1413-310这是BTAT

可见：

(AB)TBTAT 返回目录

逆矩阵 inverse(A) 或 evalm(A^(-1))

123A221例 设

343，求其逆矩阵A1，并验证AA1E（单位矩阵）（同济5版，44页）

输入：

15

with(linalg):

A:=array([[1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]]);

B:=inverse(A);

C:=evalm(A^(-1));

AB:=multiply(A,B);

CA:=multiply(C,A);

3-23-21231-35A := 221B := -351-322C := 2-32结果:

343, 逆矩阵：11-1 11-1100100AB := 010CA := 10验证AA1E：

001， 0001

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矩阵方程

123A22113例 设34321C20，B53，

31，且AXBC，求矩阵X

16

（同济5版，45页）

解 AXBCXA1CB1

输入

with(linalg):

A:=array([[1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]]);

B:=array([[2,1],[5,3]]);

C:=array([[1,3],[2,0],[3,1]]);

X:=multiply(inverse(A),C,inverse(B));

1233A := 2210-21结果：

34B := 2110-4C13,

53 := ,231X := ,-104

A21311122B例 设13220，

25，求解矩阵方程AXB（同济5版，65页）解 AXBXA1B

输入

17

with(linalg):

A:=array([[2,1,-3],[1,2,-2],[-1,3,2]]);

B:=array([[1,-1],[2,0],[-2,5]]);

X:=multiply(inverse(A),B);

2A := 21-31-1-412-2B := 20X := 01-132-22结果：,5,

-3

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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的行最简形和标准型

阶梯形： gausselim(A)

行最简形：gaussjord(A) 或 rref(A)，

21112B1121446224例 设36979，求B的阶梯形和秩（同济5版，59页）输入：

18

with(linalg):

B:=array([[2,-1,-1,1,2],[1,1,-2,1,4],[4,-6,2,-2,4],[3,6,-9,7,9]]);

GL:=gausselim(B);

2-1-11242-1-11B := 11-210-44-44-62-24GL := 输出：

36-979 阶梯形：000-10000阶梯形有一行全为零，矩阵的秩为3。

211A112例 设462，求A的阶梯形。（同济5版，页）

输入：

with(linalg):

A:=array([[2,-1,-1],[1,1,-2],[4,-6,2]]);

GL:=gausselim(A);

A := 2-1-12-1-1结果：

11-2GL := 4-62 阶梯形：0-44000 2030

19

21112B112144624例 设236979，求B的行最简形。

输入：

with(linalg):

B:=array([[2,-1,-1,1,2],[1,1,-2,1,4],[4,-6,2,-2,4],[3,6,-9,7,9]]);

GJ:=gaussjord(B);

RR:=rref(B);

2-1-112B := 11-2144-62-24结果：

36-979

10-1040-104GJ := 01-1031-1031-3100RR := 0001-3原矩阵的行最简形：

000000, 000000

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矩阵的秩 rank(A)

20

32050A32361例 设

2015316414 ，求A的秩，并求A的一个最高阶非零子式 （同济5版，67页）

输入：

with(linalg):

A:=array([[3,2,0,5,0],[3,-2,3,6,-1],[2,0,1,5,-3],[1,6,-4,-1,4]]);

rank:=rank(A);

32050A := 3-236-12015-3结果：

16-4-14 rank := 3 为求A的一个最高阶非零子式，求A的阶梯形，输入：

with(linalg):

A:=array([[3,2,0,5,0],[3,-2,3,6,-1],[2,0,1,5,-3],[1,6,-4,-1,4]]);

GJ:=gausselim(A);

21

30GL := 00结果：

2-4000300514300-1-830

由阶梯形中三个非零首元的位置，知原矩阵的前三行以及1、2、4列的子式不为零。

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齐次线性方程组

x1x2x3x402x15x23x32x407x7x3xx0234例 求齐次线性方程组：1的基础解系与通解（同济5版，97页）

解 先将系数矩阵化为行最简形。

输入：

with(linalg):

A:=array([[1,1,-1,-1],[2,-5,3,2],[7,-7,3,1]]);

GJ:=gaussjord(A);

或

sol:=rref(A);

22

10-27-37GJ := 01-5-477得A的行标准型：

0000

由A的行最简形可知，原方程组化为：

x217x337x4x2x3x1737404x2523x17x37x7x347x4x57x4237x40 或 x3xx257x347x4 或 3x4x4

x1237c17c2x12377x25c4x2c5717c2c4x3cx31727方程组的通解：

1x410x4c2 或

01 (x3，x4为自由变量)

23775417,2710其中

01是方程组的基础解系。 用linearsolve(A,0)可以得到齐次线性方程组AX0的通解。

with(linalg):

A:=array([[1,1,-1,-1],[2,-5,3,2],[7,-7,3,1]]);

23

b:=vector([0,0,0]);

linsolve(A,b,'r',c);

11-1-1A := 得：2-5327-731 b := [0,0,0]

通解：31754c14c2,c1,c2,4c14c2 (x2，x3为自由变量) 先化成行最简形，再解方程：

with(linalg):

A:=array([[1,1,-1,-1],[2,-5,3,2],[7,-7,3,1]]);

b:=vector([0,0,0]);

GJ:=gaussjord(A);

linsolve(GJ,b,'r',c);

11-1-1A := 2-5327-731b := [0,0,0]

24

1GJ := 00010-27-570-37-470

通解：

[c1,c2,4c13c2,2c25c1] (x1，x2为自由变量)

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基础解系 nullspace(A)

例 求齐次线性方程组：

x1x2x3x402x15x23x32x407x7x3xx02341的基础解系与通解（同济5版，97页）

输入

with(linalg):

A:=array(1..3,1..4,[[1,1,-1,-1],[2,-5,3,2],[7,-7,3,1]]);

NS:=nullspace(A);

37-1-5NS := {,1,0,,,0,1,44}44 得到基础解系：

(这个基础解系不理想：x2，x3 为自由变量)

现将A先化为行最简形，再用NullSpace求基础解系:

25

输入

A:=array(1..3,1..4,[[1,1,-1,-1],[2,-5,3,2],[7,-7,3,1]]);

GJ:=gaussjord(A);

NS:=nullspace(GJ);

10-2-377GJ := 1-5-4077得到A的行最简型：

0000

得到基础解系：NS := {[0,1,3,-2],[1,0,-4,5]}

(这个基础解系还是不理想：x1，x2 为自由变量)

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非齐次线性方程组

x1x2x3x40x1x2x33x41例 求线性方程组：x3x11x22x342的通解（同济5版，101页）解 先将增广矩阵化为行最简形。

26

输入：

with(linalg):

A:=array([[1,-1,-1,1,0],[1,-1,1,-3,1],[1,-1,-2,3,-1/2]]);

GJ:=gaussjord(A);

得增广矩阵的行最简形：

1-1-110A := 1-11-311-1-23-12 11-10-12GJ := 1001-2200000

由增广矩阵的行最简形可知，原方程组化为：

x11x2x42x11x2x4x2x22x1x12x421x2x134xx13242 或 x32x42 或

2x4x427

原方程组的通解：

1xcc1122x2c1x2c1232xc241x1112x12cc00x310221012x40 或

（x2，x4 为自由变量)

12110*1011,2022001是原方程组的一个特解。 其中是对应其次方程组的基础解系，

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求通解 linearsolve(A,b)

用linearsolve(A,b)可以得到非其次线性方程组AXb的通解。

x1x2x3x40x1x2x33x411x1x22x33x42的通解（同济5版，101页） 例 求线性方程组：输入：

with(linalg):

28

A:=array([[1,-1,-1,1],[1,-1,1,-3],[1,-1,-2,3]]);

b:=vector([0,1,-1/2]);

linsolve(A,b,'r',c);

得到以上非其次线性方程组的通解：

1-1-11A := 1-11-3-1b := 0,1,1-1-232

11cc,c,2c,c1221222 （x2，x4 为自由变量) （结果同上） 通解：用solve求线性方程组的解

x1x2x3x40x1x2x33x411x1x22x33x42的通解（同济5版，101页） 例 求线性方程组：输入：

with(linalg):

solve({x1-x2-x3+x4=0,x1-x2+x3-3*x4=1,x1-x2-2*x3+3*x4=-1/2},{x1,x2,x3,x4});

29

11{x32x4,x1x2x4,x2x2,x4x4}22输出：

1xxx4122x12x342即 （与前一方法的结果一致）

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第四章 向量组的线性相关性

向量的线性表示

111112101,2,3,21432301，试将表示成1,2,3的线性组合（同济5例 设

版，84页）

11A22解 只需将矩阵

11210143301化为行最简形。

1输入：

with(linalg):

A=array([[1,1,1,1],[1,2,-1,0],[2,1,4,3],[2,3,0,1]]);

30

GJ:=gaussjord(A);

11A := 22得A的行标准型：

112-114301100GJ := 0301 0321-2-1000000

容易看出：行标准型的第四列可以表示成第一列的2倍，加上第二列的-1倍

于是A的第四列也可以表示成第一列的2倍，加上第三列的-1倍， 即：212

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极大无关组

21111121A46223697例 设2449 ，求A的列向量组的一个极大无关组（同济5版，93页）

解 用初等行变换得到A的行最简形，则由行最简形可以看出A列向量组的极大无关组。

输入：

with(linalg):

A:=array([[2,-1,-1,1,2],[1,1,-2,1,4],[4,-6,2,-2,4],[3,6,-9,7,9]]);

31

GJ:=gaussjord(A);

2-1-1120-104A := 11-2141-1034-62-241GJ := 0输出A的行最简形：

36-970001-39 00000

由此可知，A的1、2、4列构成A的列向量组的极大无关组。

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第五章 相似矩阵及二次型

正交矩阵

例 验证

11112222111A21222110022001122

是正交矩阵（同济5版，116页）

解 只需验证AATE（单位矩阵）

输入：

32

with(linalg):

A:=array([[1/2,0-1/2,1/2,-1/2],[1/2,-1/2,-1/2,1/2],[1/sqrt(2),1/sqrt(2),0,0],[0,0,1/sqrt(2),1/sqrt(2)]]);

evalm(A&*transpose(A));

输出：

1212220-12-1222012-12022-1212A := 1000 010000100001

022

T验证了：AAE

也可以用 orthog(A) 验证：

with(linalg);

A:=array([[1/2,0-1/2,1/2,-1/2],[1/2,-1/2,-1/2,1/2],[1/sqrt(2),1/sqrt(2),0,0],[0,0,1/sqrt(2),1/sqrt(2)]]);

33

orthog(A);

121222-12-122212-120-1212A := 0002222

true

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矩阵的特征多项式 charpoly(A,x)

矩阵的特征值 eigenvals(A)

矩阵的特征向量 eigenvects(A)

例 求矩阵

A3113的特征多项式、特征值和特征向量（同济5版，118页）输入：

with(linalg):

A:=array([[3,-1],[-1,3]]);

34

Charpoly:=charpoly(A,x);

Eigenvalues:=eigenvals(A);

Eigenvectors:=eigenvects(A);

结果：A := 3-1-13

Charpoly := x26x8 Eigenvalues := 4,2

Eigenvectors := [2,1,{[1,1]}],[4,1,{[-1,1]}]

（第一个数是特征值，第二个数是重数，然后是特征向量）

110A430例 求矩阵

102的特征多项式、特征值和特征向量（同济5版，118页）输入：

with(linalg):

A:=array([[-1,1,0],[-4,3,0],[1,0,2]]);

Charpoly:=charpoly(A,x);

Eigenvalues:=eigenvals(A);

35

Eigenvectors:=eigenvects(A);

A := -110结果：

-430102 Charpoly := x34x25x2 Eigenvalues := 2,1,1

Eigenvectors := [2,1,{[0,0,1]}],[1,2,{[-1,-2,1]}]

211A020例 求矩阵

413的特征值和特征向量（同济5版，119页）输入：

with(linalg):

A:=array([[-2,1,1],[0,2,0],[-4,1,3]]);

Charpoly:=charpoly(A,x);

Eigenvalues:=eigenvals(A);

Eigenvectors:=eigenvects(A);

A := -211结果：020-413

Charpoly := x33x24 36

Eigenvalues := -1,2,2

Eigenvectors := [2,2,{[1,4,0],[0,-1,1]}],[-1,1,{[1,0,1]}]

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矩阵的对角化

Maple的施密特正交化的命令是：GramSchmidt

A011101例 设

110，求矩阵P，使得P1AP为对角阵，并验证结果 （同济5版，125页）

输入：

with(linalg):

A:=array([[0,-1,1],[-1,0,1],[1,1,0]]);

eigenvals(A);

eigenvectors(A);

u1:= vector([-1,-1,1]);

37

u2:= vector([-1,1,0]);

u3:= vector([1,0,1]);

Q:=GramSchmidt([u1,u2,u3],normalized);

P:=augment(Q[1],Q[2],Q[3]);P:=simplify(%);det(%);

evalm(P^(-1)&*A&*P);

0-11A := 结果：-101110-2,1,1

[1,2,{[-1,1,0],[1,0,1]}],[-2,1,{[-1,-1,1]}]

u1 := [-1,-1,1]u2 := [-1,1,0]u3 := [1,0,1]

Q := 33,33,33,22,22,0323232,6,6,333323226323226P := 32323232326P := 326332332303 303

-1

38

-200010001

1（PAP为对角阵，对角线元素为三个特征值）

2-1A-12，求正交矩阵P，使得P1AP为对角阵，并求An（同济5版，126页）例 设

n:=10:

with(linalg):

A:=array([[2,-1],[-1,2]]);

eigenvals(A);

eigenvectors(A);

u1:= vector([1,1]);

u2:= vector([1,-1]);

Q:=GramSchmidt([u1,u2], normalized);

P:=augment(Q[1],Q[2]);

S:=evalm(P^(-1)&*A&*P);

39

T:=evalm(P&*S&*P^(-1));

multiply(P,evalm(S^n),P^(-1));

2-1A := -12

3,1

[1,1,{[1,1]}],[3,1,{[-1,1]}]u1 := [1,1]

u2 := [1,-1]

Q := 222,2,222,2222P := 22222 S := 1003

T := 2-1-12 29525-29524-2952429525

40

022A234例 设

243，求正交矩阵P，使得P1AP为对角阵，并验证结果。 输入：

with(linalg):

A:=array([[0,-2,2],[-2,-3,4],[2,4,-3]]);

eigenvals(A);

eigenvectors(A);

u1:= vector([2,0,1]);

u2:= vector([-2,1,0]);

u3:= vector([-1/2,-1,1]);

Q:=GramSchmidt([u1,u2,u3],normalized);

P:=augment(Q[1],Q[2],Q[3]);P:=simplify(%);det(%);

evalm(P^(-1)&*A&*P);

输出：

41

0-22A := -2-3424-3

-8,1,1

[1,2,{[-2,1,0],[2,0,1]}],-8,1,{-12,-1,1}

u1 := [2,0,1]

u2 := [-2,1,0] u3 := -12,-1,1

Q := 25,5295995450,5,45,9,45,9,94,9419259429525-151825153P := 955-209949533P := 09594452595 5153

1

10001000-8

42

>

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二次型的标准化

例 求一个正交变换xPy，将下列二次型化为标准形：

f(x22221,x2,x3,x4)x1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4（同济4版，140页）1101x11101f(x)(x,x1110x2xT1110xxT1,x23,x4)解 0111Ax1011x30111x41011

1101A11100其中

1111011 现在求一个正交矩阵P，使得P1AP为对角阵。

输入

with(linalg):

A:=array([[1,1,0,-1],[1,1,-1,0],[0,-1,1,1],[-1,0,1,1]]);

eigenvals(A);

43

eigenvectors(A);

u1:= vector([-1,-1,1,1]);

u2:= vector([1,-1,-1,1]);

u3:= vector([1,0,1,0]);

u4:= vector([0,1,0,1]);

Q:=GramSchmidt([u1,u2,u3,u4],normalized);

P:=augment(Q[1],Q[2],Q[3],Q[4]);det(%);

evalm(P^(-1)&*A&*P);

110-1A := 11-100-111-1011

3,-1,1,1

[1,2,{[1,0,1,0],[0,1,0,1]}],[-1,1,{[1,-1,-1,1]}],[3,1,{[-1,-1,1,1]}]u1 := [-1,-1,1,1]

u2 := [1,-1,-1,1]

44

u3 := [1,0,1,0]

u4 := [0,1,0,1]

Q := -12,-12,12,12,12,-12,-12,12,222,0,2,0,0,222,0,2

-1122220-1-12P := 22021-1222201122202

1

30000-10000100001

111222011xPy12202y11y2112220y311y412202

f3y2y22212y3y4

45

，则原二次型化为

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补充：向量

with(linalg):

v:=array([1,2,3]); #定义向量#

u:=array([3,2,-1]);

evalm(v+u);#和#

evalm(k*u);#数乘#

norm(u,2);#模#

evalm(u/norm(u,2));#单位化#

normalize(u); #单位化#

dotprod(u,v); #点积#

crossprod(u,v); #叉积#

46

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参考文献

同济大学：《线性代数》（第4版、第5版）

刘辉、李海：《Maple符号处理及其应用》

47