山东省德州市2017届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．已知全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（∁UM）∪N=（ ）

A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3＜x≤2} D．{x|0＜x＜1} 2．复数z=A．i

，则=（ ）

B．1+i C．﹣i D．1﹣i

3．已知向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），若∥，则x的值为（ ）

A．﹣2 B．﹣2或0 C．1或﹣3 D．0或2

4．已知p：函数f（x）=x3﹣ax2+x+b在R上是增函数，q：函数f（x）=xa﹣2在（0，+∞）上是增函数，则p是￢q（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．如图所示的程序框图，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（ ）

A．1 B．5 C．16 D．48 +α）=，则cos（

﹣2α）=（ ）

6．已知sin（A．

B． C．﹣ D．

7．抛物线y2=8x与双曲线C：

﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，且该焦点

到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（ ） A．x2﹣

=1

B．y2﹣

=1

C．

﹣y2=1

D．

﹣y2=1

8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（ ）cm2（ ）

A．80 B．76 C．72 D．68

9．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩，为了解适龄民众对放开生育二胎的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：

生二胎 不生二胎 30 45 75 15 10 25 合计 45 55 100 70后 80后 合计 根据以上调查数据，认为“生二胎与年龄有关”的把握有（ ） 参考公式：x2=参考数据： P（x2≥k0） k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 ，其中n=n11+n12+n21+n22．

A．90% B．95% C．99% D．99.9% 10．方程x2+

x﹣1=0的解可视为函数y=x+

与函数y=的图象交点的横坐标，

若x4+ax﹣4=0的各实根x1、x2、…、xk（k≤4）所对应的点（xi，k）均在直线y=x的同一侧，则实数a的取值范围是（ ）

）（i=1，2，…，

A．（﹣∞，﹣6） B．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） C．（6，+∞） D．（﹣6，6）

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．已知函数f（x）=则f（f（﹣2））的值 ．

12．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别；T∈[0，2]畅通；T∈[2，4]基本畅通；T∈[4，6]轻度拥堵；T∈[6，8]中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交能指挥中心选取了市区20个交能路段，依据其交能拥堵指数数据绘制的直方图如图所示，用分层抽样的方法从交通指数在[4，6]，[6，8]，[8，10]的路段抽取6个中段，则中度拥堵的路段应抽取 个．

13．若变量x，y满足

，则x2+y2的最小值是 ．

14．如图，正方形边长是2，直线x+y﹣3=0与正方形交于两点，向正方形内投飞镖，则飞镖落在阴影部分内的概率是 ．

15．函数f（x）在[a，b]上有意义，若对任意x1、x2∈[a，b]，有f（

）≤

[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P，现给出如下命题： ①f（x）=在[1，3]上具有性质P；

②若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）不可能为一次函数；

③若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；

④若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f（

）≤ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．

其中真命题的序号为 ．

三、解答题（共6小题，满分75分） 16．已知向量=（2sinx，

cosx），=（﹣sinx，2sinx），函数f（x）=•．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若角C为锐角，且f（﹣）=，a=

，S△ABC=2

，求c的值．

17．某高校青年志愿者协会，组织大一学生开展一次爱心包裹劝募活动，将派出的志愿者，分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各6人，爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念，茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中乙组的一个

数据模糊不清，用x表示，已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少一个．

（1）求图中x的值；

（2）在乙组的数据中任取两个，写出所有的基本事件并求两数据都大于甲组增均数的概率．

18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ACB，AA1=A1C=AC=2BC=

，且A1C⊥BC，点E，F分别为AB，A1C1的中点．

，

（1）求证：BC⊥平面ACA1；

（2）求证：EF∥平面BB1C1C； （3）求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．

19．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

，数列{

}的前n项和为Tn，试证明：Tn＜．

20．已知函数f（x）=ex（ax2+bx+c）的导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0．（其中e=2.71828…）

（Ⅰ）当a＞0时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，1]上的最大值． 21．如图，在平面平直角坐标系xOy中，已知椭圆C：离心率e=

+

=1（a＞b＞0）的

，在顶点为A（﹣2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆

C于点D，交y轴于点E． （1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由； （3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求

的最小值．

2016-2017学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷（文

科）

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．已知全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（∁UM）∪N=（ ）

A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3＜x≤2} D．{x|0＜x＜1} 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．

【解答】解：M={x|x2+2x﹣3≥0}={x|x≥1或x≤﹣3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，

则∁UM={x|﹣3＜x＜1}，

则（∁UM）∪N={x|﹣3＜x≤2}， 故选：C 2．复数z=A．i

，则

=（ ）

B．1+i C．﹣i D．1﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z=【解答】解：则=i． 故选：A．

3．已知向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），若∥，则x的值为（ ）

可求．

，

=

A．﹣2 B．﹣2或0 C．1或﹣3 D．0或2 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】根据题意和平面向量共线的坐标表示列出方程，化简后求出x的值． 【解答】解：∵向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），且∥， ∴﹣x﹣x（2x+3）=0，即2x（x+2）=0， 解得x=﹣2或x=0， 故选B．

4．已知p：函数f（x）=x3﹣ax2+x+b在R上是增函数，q：函数f（x）=xa﹣2在（0，+∞）上是增函数，则p是￢q（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据函数单调性和导数的关系结合函数单调性的性质分别求出p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若函数f（x）=x3﹣ax2+x+b在R上是增函数，

则f′（x）=x2﹣ax+1≥0恒成立，即判别式△=a2﹣4≤0，则﹣2≤a≤2，即p：﹣2≤a≤2，

若函数f（x）=xa﹣2在（0，+∞）上是增函数，则a﹣2＞0，即a＞2即q：a＞2，￢q：a≤2，

则p是￢q的充分不必要条件， 故选：A

5．如图所示的程序框图，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（ ）

A．1 B．5 C．16 D．48

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，可得当i=﹣1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=3，x=3，v=1，i=2

满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=1 满足条件i≥0，执行循环体，v=16，i=0 满足条件i≥0，执行循环体，v=48，i=﹣1 不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48． 故选：D．

6．已知sin（A．

+α）=，则cos（

﹣2α）=（ ）

B． C．﹣ D．

【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用诱导公式，求得cos（得cos（

﹣2α）的值．

==cos+α）（

﹣α），则cos（

=2﹣2α）

﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求

【解答】解：∵sin（

﹣1=﹣1=﹣， 故选：C．

7．抛物线y2=8x与双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，且该焦点

到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（ ） A．x2﹣

=1

B．y2﹣

=1

C．

﹣y2=1

D．

﹣y2=1

【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

【分析】先求出抛物线的焦点坐标，即可得到c=2，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离求出b的值，再求出a，问题得以解决． 【解答】解：∵抛物线y2=8x中，2p=8， ∴抛物线的焦点坐标为（2，0）． ∵抛物线y2=8x与双曲线C：∴c=2， ∵双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，

﹣

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，

且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1， ∴

=1，即

=1，解得b=1，

∴a2=c2﹣b2=3， ∴双曲线C的方程为故选：D．

8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（ ）cm2（ ）

﹣y2=1，

A．80 B．76 C．72 D．68 【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知，几何体是两个相同长方体的组合，长方体的长宽高分别为4，2，2，两个长方体的重叠部分是一个边长为2 的正方形，由此能求出该几何体的表面积．

【解答】解：由三视图知，几何体是两个相同长方体的组合， 长方体的长宽高分别为4，2，2，

两个长方体的重叠部分是一个边长为2 的正方形，如图， 该几何体的表面积为：

S=2（2×2×2+2×4×4）﹣2（2×2）=72． 故选：C．

9．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩，为了解适龄民众对放开生育二胎的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到

数据如表：

生二胎 不生二胎 30 45 75 15 10 25 合计 45 55 100 70后 80后 合计 根据以上调查数据，认为“生二胎与年龄有关”的把握有（ ） 参考公式：x2=参考数据： P（x2≥k0） k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 ，其中n=n11+n12+n21+n22．

A．90% B．95% C．99% D．99.9% 【考点】性检验的应用．

【分析】根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论． 【解答】解：由题意，K2=

∴有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”． 故选A．

10．方程x2+

x﹣1=0的解可视为函数y=x+

与函数y=的图象交点的横坐标，

）（i=1，2，…，

≈3.030＞2.706，

若x4+ax﹣4=0的各实根x1、x2、…、xk（k≤4）所对应的点（xi，k）均在直线y=x的同一侧，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣6） B．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） C．（6，+∞） D．（﹣6，6）

【考点】函数的图象．

【分析】原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标：分a＞0与a＜0讨论，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=， 原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标；

而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的． 若交点（xi，因直线y=x3与y=

）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧， 交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；

所以结合图象可得：或

解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞）， 故选：B

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．已知函数f（x）=则f（f（﹣2））的值 2 ．

【考点】对数的运算性质．

【分析】利用分段函数在不同区间的解析式不同，分别代入即可得出． 【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=∵9＞0，∴f（9）=log39=2． ∴f（f（﹣2））=2． 故答案为2．

12．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别；T∈[0，2]畅通；T∈[2，4]基本畅通；T∈[4，6]轻度拥堵；T∈[6，8]中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交能指挥中心选取了市区20个交能路段，依据其交能拥堵指数数据绘制的直方图如图所示，用分层抽样的方法从交通指数在[4，6]，[6，8]，[8，10]的路段抽取6个中段，则中度拥堵的路段应抽取 3 个．

=9；

【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．

【分析】解：由频率分布直方图知[4，6]，[6，8]，[8，10]的路段共有18个，由此能求出按分层抽样，从18个路段选出6个，中度拥堵的路段应抽取的个数． 【解答】解：由频率分布直方图知[4，6]，[6，8]，[8，10]的路段共有： （0.1+0.2）×20+（0.25+0.2）×20+（0.1+0.05）×20=18个， 按分层抽样，从18个路段选出6个， ∵T∈[6，8]中度拥堵， ∴中度拥堵的路段应抽取：6×故答案为：3．

=3个．

13．若变量x，y满足【考点】简单线性规划．

，则x2+y2的最小值是 1 ．

【分析】画出可行域，目标函数z=x2+y2是可行域中的点（0，﹣1）到原点的距离的平方，利用线性规划进行求解．

【解答】解：变量x，y满足，如图，

作出可行域，x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方， 故最大值为点A（0，﹣1）到原点的距离的平方， 即|AO|2=1，即x2+y2的最小值是：1． 故答案为：1．

14．如图，正方形边长是2，直线x+y﹣3=0与正方形交于两点，向正方形内投飞镖，则飞镖落在阴影部分内的概率是

．

【考点】几何概型．

【分析】根据几何概率的求法，可以得出镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．

【解答】解：观察这个图可知：阴影部分是正方形去掉一个小三角形， 设直线与正方形的两个交点为A，B， ∴在直线AB的方程为x+y﹣3=0中， 令x=2得A（2，1）， 令y=2得B（1，2）． ∴三角形ABC的面积为s=则飞镖落在阴影部分的概率是： P=1﹣

=1﹣=1﹣=．

=，

故答案为：．

15．函数f（x）在[a，b]上有意义，若对任意x1、x2∈[a，b]，有f（

）≤

[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P，现给出如下命题： ①f（x）=在[1，3]上具有性质P；

②若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）不可能为一次函数；

③若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；

④若f（x）在区间[1，3]上具有性质P，则对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f（

）≤ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．

其中真命题的序号为 ①③④ ． 【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】根据f（x）在[a，b]上具有性质P的定义，结合函数凸凹性的性质，利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：①f（x）=在[1，3]上为减函数，则由图象可知对任意x1，x2∈[1，3]，有ff（

）≤ [f（x1）+f（x2）]成立，故①正确：

）≤ [f（x1）+f（x2）]，

b]，有f（②不妨设f（x）=x，则对任意x1，x2∈[a，

故②不正确， ③在[1，3]上， f（2）=f[

]≤ [f（x）+f（4﹣x）]，

∵F（x）在x=2时取得最大值1，

∴，

∴f（x）=1，即对任意的x∈[1，3]，有f（x）=1，故③正确； ∵对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]， f（∴f（

（x3）+f（x4）]； 即f（

故答案为：①③④

）≤ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．故④正确；

）≤ [f（x1）+f（x2）]，f（

）≤（f（

）+f（

）≤ [f（x3）+f（x4）]，

））≤ [f（x1）+f（x2）+f

三、解答题（共6小题，满分75分） 16．已知向量=（2sinx，

cosx），=（﹣sinx，2sinx），函数f（x）=•．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若角C为锐角，且f（﹣）=，a=

，S△ABC=2

，求c的值．

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦

定理．

【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+即可解得f（x）的单调递增区间． （Ⅱ）由f（﹣

）=，可解得sinC=，结合C为锐角，利用同角三角函数基

）﹣1，令2kπ﹣

≤2x+

≤2kπ+

，k∈Z，

本关系式可求cosC，利用三角形面积公式可求b的值，进而利用余弦定理可求c的值．

【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）∵ =（2sinx，∴f（x）=﹣2sin2x+2∴令2kπ﹣

≤2x+

cosx），=（﹣sinx，2sinx），函数f（x）=•．

sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+，k∈Z，解得：kπ﹣

，kπ+

）﹣1，…3分

，k∈Z，

sinxcosx=≤2kπ+

≤x≤kπ+

∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣（Ⅱ）∵f（﹣

]，k∈Z…6分

）=，可得：2sinC﹣1=，解得sinC=，

=

，…8分

，解得：b=6， =

=

…12分

∵C为锐角，可得：cosC=又∵a=

，S△ABC=2

=absinC=

∴由余弦定理可得：c=

17．某高校青年志愿者协会，组织大一学生开展一次爱心包裹劝募活动，将派出的志愿者，分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各6人，爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念，茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中乙组的一个

数据模糊不清，用x表示，已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少一个．

（1）求图中x的值；

（2）在乙组的数据中任取两个，写出所有的基本事件并求两数据都大于甲组增均数的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【分析】（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为16，从而乙组送出钥匙扣的平均数为17，由此能求出x．

（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23，若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本事件总数n=C

=15，甲组送出的钥匙扣的

平均数为16个，利用列举法求出符合条件的基本事件个数，由此能求出结果． 【解答】解：（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为：

，

则乙组送出钥匙扣的平均数为17， ∴解得x=9．

（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23， 若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本事件总数n=C甲组送出的钥匙扣的平均数为16个，符合条件的基本事件有： （18，19），（18，22），（18，23），（19，22），（19，23），（22，23）， 共有6个基本事件，故所求概率为p=

18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ACB，AA1=A1C=AC=2BC=

，且A1C⊥BC，点E，F分别为AB，A1C1的中点．

，

=．

=15，

，

（1）求证：BC⊥平面ACA1； （2）求证：EF∥平面BB1C1C； （3）求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）推导出A1D⊥AC，A1D⊥BC，A1C⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACA1．

（2）设B1C1的中点为G，连结FG、GB，推导出四边表FGBE是平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥平面BB1C1C． （3）四棱锥A1﹣BB1C1C的体积：

=

，由此能求出结果．

【解答】证明：（1）∵在△AA1C1中，AA1=A1C，取D为AC中点， ∴A1D⊥AC，

∵侧面AA1C1C⊥底面ABC， ∴侧面AA1C1C∩底面ABC=AC， ∴A1D⊥平面ABC，

∵BC在平面ABC上，∴A1D⊥BC，

又A1C⊥BC，A1C、AD都在平面ACA1上，且A1C∩AD=D， ∴BC⊥平面ACA1．

（2）设B1C1的中点为G，连结FG、GB， 在四边形FGBE中，FG∥A1B1，且FG又∵EB∥A1B1，且EB=A1B1， ∴

，∴四边表FGBE是平行四边形，

A1B1，

∴EF∥BG，

又∵BG⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C， ∴EF∥平面BB1C1C． 解：（3）∵AA1=A1C=AC=2∴

，

，

又由（1）知BC⊥平面ACA1，AC⊂平面ACA1，

∴BC⊥AC， 又BC=

，∴S△ABC=

，

∴四棱锥A1﹣BB1C1C的体积：

=

=

．

19．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

，数列{

}的前n项和为Tn，试证明：Tn＜．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）根据数列的项和和之间的关系，即可求数列{an}的通项公式； （2）bn=累加即可求数列{

=

}的前n项和为Tn

，

=

，

【解答】解：（1）由题意得an+1=2Sn+2，an=2Sn﹣1+2，（n≥2）， 两式相减得an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an， 则an+1=3an，n≥2，

所以当n≥2时，{an}是以3为公比的等比数列． 因为a2=2S1+2=4+2=6，满足的等比数列，

∴数列{an}的通项公式；an=2×3n﹣1 （2）证明：bn=

=

，

对任意正整数成立 {an}是首项为2，公比为3

=Tn=×[=

，

+…+＜．

]

20．已知函数f（x）=ex（ax2+bx+c）的导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0．（其中e=2.71828…）

（Ⅰ）当a＞0时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，1]上的最大值． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出f′（x）=ex[ax2+（2a+b）x+b+c]，推导出ax2+（2a+b）x+b+c=0的两根为﹣3和0，从而得到b=﹣c，a=﹣c，由此能求出f（x）的单调区间． （Ⅱ）由f（x）=aex（x2+x﹣1），当a＞0时，由f（0）=﹣e3，解得c=﹣e3，a=e3；当a＜0时，由f（﹣3）=﹣e3，得a=﹣的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ex（ax2+bx+c）， ∴f′（x）=ex[ax2+（2a+b）x+b+c]， ∵导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0， ∴ax2+（2a+b）x+b+c=0的两根为﹣3和0， ∴

，即b=﹣c，a=﹣c，

，由此能求出f（x）在区间[﹣5，1]上

f′（x）=ex（ax2+3ax），a＞0，

令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣3；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜0，

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（0，+∞），单调递减区间为（﹣3，0）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=aex（x2+x﹣1），

当a＞0时，由（Ⅰ）知f（0）=﹣e3，解得c=﹣e3，a=e3， 在区间[﹣5，1]上，f（﹣3）=5，f（1）=e4， ∴f（x）max=e4．

当a＜0时，f（﹣3）=﹣e3，解得a=﹣

，

在区间[﹣5，1]上，f（0）=∴f（x）max=

，

，f（﹣5）=﹣，

综上所述，当a＞0时，f（x）max=e4， 当a＜0时，

21．如图，在平面平直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率e=

+

=1（a＞b＞0）

．

，在顶点为A（﹣2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭

圆C于点D，交y轴于点E． （1）求椭圆C的方程；

（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由； （3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求

的最小值．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由椭圆的左顶点A（﹣2，0），则a=2，又e==﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；

（2）直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，求得D点坐标，利用中点坐标公式即可求得P，由

•

=0，则向量数量积的坐标运算则（4m+2）

，则c=

，b2=a2

k﹣n=0恒成立，即可求得Q的坐标；

（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得M点横坐标为x=±

，

=

的最小值．

=+≥2，即可求得

【解答】解：（1）由椭圆的左顶点A（﹣2，0），则a=2，又e==又b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆的标准方程为：

；

，则c=，

（2）由直线l的方程为y=k（x+2），

，整理得：（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，

由

由x=﹣2是方程的根，由韦达定理可知：x1x2=，则x2=，

当x2=，y2=k（+2）=，

∴D（，），

由P为AD的中点， ∴P点坐标（

，

），

直线l的方程为y=k（x+2），令x=0，得E（0，2k）， 假设存在顶点Q（m，n），使得OP⊥EQ， 则

⊥=（

，即，

•

=0， ），

=（m，n﹣2k），

∴×m+×（n﹣2k）=0

即（4m+2）k﹣n=0恒成立， ∴

，即

，

∴顶点Q的坐标为（﹣，0）；

（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，

，则M点横坐标为x=±，

OM∥l

=

，可知

，

=，

=，

=，

=+≥2，

当且仅当∴当k=±

时，

=，即k=±时，取等号，

．

的最小值为2

2017年2月6日