习题2-3解答

1. 求下列矩阵的逆矩阵： ⑴ 12； 251212解：设A25，则A251，

A11∵ A115，A122，A212，A221，∴ A*A12∴ A1A215221， A22521。 A*21A121⑵ 342；

541121121解：设A342，则A34242012208620，

5415414211212312∵ A114，A21(1)2，A31(1)0， 414142A12A1332111113，A226，A321，

51513234121232，A2314，A332，

545434021042111AA*136113/231/2∴ 。

A232142167110⑶ 0010解：∵

00210021003210321043。 214310，且 21《习题2-3解答》第 1 页 共 6 页

123234234234A110121，A210122，A311231，A411230，

001001012001023134134134A120120，A220121，A320232，A420231，

001001001012013124124124A130020，A230020，A330131，A430132， 001001001002012123123123A140010，A240010，A340120，A440121， 000000001000012110121∴ A1。 A*0012A00012. 用逆矩阵解下列矩阵方程： ⑴ 2546； X1321125463546223解：X。 1321122108⑵ 142031； X1211011114312012431110解：X12011161101212

16610122101441112410124101/40。 30120101001431。 ⑶ 100X00120001010120010143100010143100解：X100201001100201001

001120010001120010《习题2-3解答》第 2 页 共 6 页

11210134。 102x12y12y2y33. 已知线性变换x23y1y25y3，求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换。

x3y2y3y1233x1221y1y1221x1749x11解：∵ x315x2315y2，∴ y2263x3323y3y3323x332y17x14x29x3∴ y26x13x27x3。

y33x12x24x34. 利用逆矩阵解下列线性方程组：

x12x23x31⑴ 2x12x25x32；

3x15x2x33解：方程组可表示为：123225x11x22，

351x33x111231x11故x25210，所以22x20。

x335130x30x1x2x32⑵ 2x1x23x31。

3x12x25x301解：方程组可表示为：11x1213x221， 325x30x1111故x125x15221310，所以x20。

x332503x335. 若Ak0（k是正整数），求证：(EA)1EAA2Ak1。

解：∵ (EA)(EAA2AK1)EAkE，

《习题2-3解答》第 3 页 共 6 页

7x2， 4x3∴ (EA)1EAA2Ak1。 6. 若A可逆，证明：A也可逆（k是自然数），且Ak解：∵ AkA1k∴ AkAAAAA可逆，且AA。

kAk1AA1A1k21k2k1k1A（以后记AAAAAA

11k1k1k211k211k。 Ak）

E，

k11k7. 设A是一个n阶上三角矩阵，主对角线元素aii0（i1,2,,n），证明A可逆，且A也是上三角矩阵。

1a110证：设A0a12a1na22a2n，

0ann∵ aii0（i1,2,,n），∴ Aa11ann0，∴ A可逆，

b11b12b21b221A设bn1bn2b1nb2n1，则AAE， bnnb11a111ba1211101∵ AA的第一列为，∴ ，b21bn10， b11a11ba0n111A1A的第二列主对角线以下的元素为：

b22a221ba132220，∴ ，b32bn20，……， b22a22ba0n222A1A的第n1列主对角线以下的元素为：

bn1n1an1n111b，∴ ，bnn10， n1n1ban1n1ann10nn1故A是上三角形矩阵，且bii11（i1,2,,n）。 aii1注：对于下三角形矩阵有同样的结果。

8. 设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A*也可逆，且A*A1*。

《习题2-3解答》第 4 页 共 6 页

解：∵ A*AA1，由A的可逆性及A0，知A*可逆，且

1A*1AA11用A左乘此式两边得：A*AAAA比较以上两个式子，即知结论成立。

1A， A1A， A1119. 设A为33矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A2，求A*。 解：∵ A2，∴ A可逆，由求逆公式得：A*AA又由AA11AA1，

3E，得；AA1E，即A11，代入A*，得： AA*A312A4。 A100110. 设A1020，A*是A的伴随矩阵，求A*。

20305解：∵ A10，所以A可逆，由求逆公式，得：

01/1001111111A*AAAA11/50。

A10231/2010T11. 设A01/23/2，A*是A的伴随矩阵，求A*015/21。

解：∵ A*AA1111A， A0T4011TAA024。 AA0610∴ A*T1A*1T101212. 设A020，ABEAB，求B。

101解：由方程ABEAB，合并含有未知矩阵B的项，得：

2AEBA2E(AE)(AE)，

《习题2-3解答》第 5 页 共 6 页

0011又AE010，其行列式AE10，故AE可逆，用AE左乘上式

100201两边，即得：BAE030。

10213. 设A，B，C为同阶矩阵，且C非奇异，满足CACB，求证：CACB（m是正整数）。

解：用数学归纳法证明之。

1kk当m1时，显然成立，假设当mk时等式成立，即：CACB，

11mm1k11k1k1kk1则当mk1时，有：CACCAACCACCACBBB，

从而对于任意的正整数m有：CACB。

15. 设矩阵A、B及AB都可逆，证明AB也可逆，并求其逆矩阵。 证：∵ A、B及AB都可逆，AA1111mmA1AE，BB1B1BE，于是

A1B1A1EEB1A1BB1A1AB1A1BAB1A1ABB1，

即AB可表示为三个可逆矩阵的乘积，故AB可逆。由可逆矩阵的性质，有：

1111A1B1AABBBABA1111T11111BABA。

116. 设A为n阶非零实矩阵，A*A，其中A*为A的伴随矩阵，证明：A可逆。 证：设Aaijnn，∵ A*A，∴ aijAij（i,j1,2,,n），

T∵ A0，不妨设a110，于是

22Aa11A11a12A12a1nA1na11a12a12n0，

∴ A可逆。

《习题2-3解答》第 6 页 共 6 页