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高考数学一轮复习 题组层级快练60(含解析)

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题组层级快练(六十)

1.以抛物线y=4x的焦点为圆心,半径为2的圆的方程为( ) A.x+y-2x-1=0 C.x+y+2x-1=0 答案 B

解析 ∵抛物线y=4x的焦点是(1,0),

∴圆的标准方程是(x-1)+y=4,展开得x+y-2x-3=0.

2.若圆(x+3)+(y-1)=1关于直线l:mx+4y-1=0对称,则直线l的斜率为( ) A.4 1C. 4答案 D

解析 依题意,得直线mx+4y-1=0经过点(-3,1), 1

所以-3m+4-1=0.所以m=1.故直线l的斜率为-. 4

3.过点P(0,1)与圆x+y-2x-3=0相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A.x=0 C.x+y-1=0 答案 C

解析 依题意得所求直线是经过点P(0,1)及圆心(1,0)的直线,因此所求直线方程是x+y=1,即x+y-1=0,选C.

4.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)+(y+1)=4 C.(x-1)+(y-1)=4 答案 C

解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r. ∵圆心C在直线x+y-2=0上,∴b=2-a. ∵|CA|=|CB|,

∴(a-1)+(2-a+1)=(a+1)+(2-a-1). ∴a=1,b=1.∴r=2. ∴方程为(x-1)+(y-1)=4.

5.(2015²四川成都外国语学校)已知圆C1:(x+1)+(y-1)=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )

A.(x+2)+(y-2)=1 C.(x+2)+(y+2)=1 答案 B

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B.x+y-2x-3=0 D.x+y+2x-3=0

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B.-4 1D.- 4

B.y=1 D.x-y+1=0

B.(x+3)+(y-1)=4 D.(x+1)+(y+1)=4

2

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B.(x-2)+(y+2)=1 D.(x-2)+(y-2)=1

2

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22

解析 C1:(x+1)+(y-1)=1的圆心为(-1,1),它关于直线x-y-1=0对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆C2的方程为(x-2)+(y+2)=1.

6.(2015²山东青岛一模)若过点P(1,3)作圆O:x+y=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=( )

A.3 C.2 答案 A

解析 如图所示,∵PA,PB分别为圆O:x+y=1的切线,

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2

22

B.2 D.4

∴OA⊥AP.

∵P(1,3),O(0,0), ∴|OP|=1+3=2. 又∵|OA|=1,

1

∴在Rt△APO中,cos∠AOP=.

2

∴∠AOP=60°,∴|AB|=2|AO|sin∠AOP=3.

7.在圆x+y-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )

A.52 C.152 答案 B

解析 圆的标准方程为(x-1)+(y-3)=10,则圆心(1,3),半径r=10,由题意知AC⊥BD,且|AC|=210,|BD|=210-5=25,

1

所以四边形ABCD的面积为S=|AC|²|BD|

21

=³210³25=102. 2

8.已知点P在圆x+y=5上,点Q(0,-1),则线段PQ的中点的轨迹方程是( ) A.x+y-x=0 C.x+y-y-2=0 答案 B

解析 设P(x0,y0),PQ中点的坐标为(x,y),则x0=2x,y0=2y+1,代入圆的方程即得所求的方程

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B.102 D.202

B.x+y+y-1=0 D.x+y-x+y=0

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22

是4x+(2y+1)=5,化简,得x+y+y-1=0.

9.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x+y-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为( ) A.6 C.8 答案 B

解析 如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,连接BP,AP,这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为+=1,

4-3

B.D.11 221 2

2

2

2222

xy

|3³0-4³1-12|16

即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d==, 2253+-411611

∴△ABP的面积的最小值为³5³(-1)=. 252

x-y+2≥0,

10.在平面直角坐标系中,若动点M(x,y)满足条件x+y-2≤0,

y-1≥0,

上,则|MQ|的最小值为( )

A.2

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B.32

2

122

动点Q在曲线(x-1)+y=2

C.1-

1

D.5-

2

答案 C

解析 作出平面区域,由图形可知|MQ|的最小值为1-

2. 2

11.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________. 32252

答案 (x+2)+(y-)= 24

解析 对于直线3x-4y+12=0,当x=0时,y=3;当y=0时,x=-4.即以两点(0,3),(-4,0)

3+43

为端点的线段为直径,则r==,圆心为(-,),

2222

3

即(-2,).

2

32252

∴圆的方程为(x+2)+(y-)=.

24

2722

12.从原点O向圆C:x+y-6x+=0作两条切线,切点分别为P,Q,则圆C上两切点P,Q间的

4劣弧长为________.

答案 π

922

解析 如图,圆C:(x-3)+y=,

4

22

3

所以圆心C(3,0),半径r=.

在Rt△POC中,∠POC=. 62π

则劣弧PQ所对圆心角为. 323

弧长为π³=π.

32

13.设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是________.

答案 (x+2)+(y+2)=8或(x-2)+(y-2)=8 解析 由题意可设圆心A(a,a),

如图,则2+2=2a,解得a=±2,r=2a=8.所以圆C的方程是(x+2)+(y+2)=8或(x-2)+(y-2)=8.

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2

14.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为27,求此圆的方程.

答案 x+y-6x-2y+1=0或x+y+6x+2y+1=0

解析 方法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切, ∴设所求圆的圆心为C(3a,a),半径为r=3|a|.

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2

又圆在直线y=x上截得的弦长为27, |3a-a|

圆心C(3a,a)到直线y=x的距离为d=22.

1+1∴有d+(7)=r.即2a+7=9a,∴a=±1. 故所求圆的方程为

(x-3)+(y-1)=9或(x+3)+(y+1)=9. 方法二:设所求的圆的方程是(x-a)+(y-b)=r, |a-b|

则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为. 2|a-b|222

∴r=()+(7).

2即2r=(a-b)+14.①

由于所求的圆与y轴相切,∴r=a.② 又因为所求圆心在直线x-3y=0上, ∴a-3b=0.③ 联立①②③,解得

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a=3,b=1,r2=9或a=-3,b=-1,r2=9.

故所求的圆的方程是

(x-3)+(y-1)=9或(x+3)+(y+1)=9. 方法三:设所求的圆的方程是x+y+Dx+Ey+F=0,

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DE122

圆心为(-,-),半径为D+E-4F.

222

令x=0,得y+Ey+F=0.

由圆与y轴相切,得Δ=0,即E=4F.④

|-+|22DE又圆心(-,-)到直线x-y=0的距离为,

222

2

2

DE|-D+E|

222

由已知,得22+(7)=r,



2

即(D-E)+56=2(D+E-4F).⑤ 又圆心(-,-)在直线x-3y=0上,

22∴D-3E=0.⑥ 联立④⑤⑥,解得

2

2

2

DED=-6,E=-2,F=1或D=6,E=2,F=1.

故所求圆的方程是x+y-6x-2y+1=0

2

2

或x+y+6x+2y+1=0.

15.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=410.

(1)求直线CD的方程; (2)求圆P的方程. 答案 (1)x+y-3=0

(2)(x+3)+(y-6)=40或(x-5)+(y+2)=40 解析 (1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2), ∴直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0. (2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.① 又直径|CD|=410, ∴|PA|=210. ∴(a+1)+b=40.

a=-3,

由①②解得

b=6

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a=5,

或

b=-2.

∴圆心P(-3,6)或P(5,-2).

∴圆P的方程为(x+3)+(y-6)=40或(x-5)+(y+2)=40. 16.已知实数x,y满足x+y-2y=0. (1)求2x+y的取值范围;

(2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围. 答案 (1)1-5≤2x+y≤1+5 (2)c≥2-1

22

解析 (1)方法一:圆x+(y-1)=1的参数方程为 

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x=cosθ,

y=1+sinθ,

∴2x+y=2cosθ+sinθ+1. ∵-5≤2cosθ+sinθ≤5, ∴1-5≤2x+y≤5+1.

|2³0+1-b|

方法二:2x+y可看作直线y=-2x+b在y轴的截距,当直线与圆相切时b取最值,此时

5=1.

∴b=1±5,∴1-5≤2x+y≤1+5.

π

(2)∵x+y=cosθ+1+sinθ=2sin(θ+)+1,

4∴x+y+c的最小值为1-2+c. ∴x+y+c≥0恒成立等价于1-2+c≥0. ∴c的取值范围为c≥2-1.

1.将圆x+y-2x-4y+1=0平分的直线是( ) A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 答案 C

解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.

2.设A(0,0),B(1,1),C(4,2),若线段AD是△ABC外接圆的直径,则点D的坐标是( ) A.(-8,6) C.(4,-6) 答案 B

解析 线段AB的垂直平分线x+y-1=0与线段AC的垂直平分线2x+y-5=0的交点即圆心(4,-3),直径为10,易得点D的坐标为(8,-6).

3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( ) 722

A.(x-3)+(y-)=1

3B.(x-2)+(y-1)=1 C.(x-1)+(y-3)=1 322

D.(x-)+(y-1)=1

2答案 B

|4a-3|1

解析 设圆心为(a,1),由已知得d==1,∴a=2(舍-).

52

4.圆心在抛物线x=2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是( ) 122

A.x+y-x-2y-=0

4B.x+y+x-2y+1=0 C.x+y-x-2y+1=0 122

D.x+y-2x-y+=0

4答案 D

解析 ∵圆心在抛物线上,∴设圆心(a,).

2∴圆的方程为(x-a)+(y-)=r.

2∴x+y-2ax-ay+a+-r=0.

4

对比A,B,C,D项,仅D项x,y前系数符合条件.

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2

B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

B.(8,-6) D.(4,-3)

a2

a2

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a4

2

5.若方程16-x-x-m=0有实数解,则实数m的取值范围为( ) A.-42≤m≤42 C.-4≤m≤4 答案 B

解析 由题意知方程16-x=x+m有实数解,分别作出y=16-x与y=x+m的图像,若两图像有交点,需-4≤m≤42.

6.若直线l:4x-3y-12=0与x,y轴的交点分别为A,B,O为坐标原点,则△AOB内切圆的方程为________.

答案 (x-1)+(y+1)=1

解析 由题意知,A(3,0),B(0,-4),则|AB|=5.

3+4-5

∴△AOB的内切圆半径r==1,内切圆的圆心坐标为(1,-1).

2∴内切圆的方程为(x-1)+(y+1)=1.

7.已知圆C的方程为x+y-mx-2my=0(m≠0),以下关于这个圆的叙述中,所有正确命题的序号是________.

①圆C必定经过坐标原点;

②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限; ③y轴被圆C所截得的弦长为2m;

④直线y=x与y轴的夹角的平分线必过圆心. 答案 ①②

8.(2015²吉林长春一调)若圆C:x+y+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,

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B.-4≤m≤42 D.4≤m≤42

b)向圆所作的切线长的最小值为________.

答案 4

解析 圆C:(x+1)+(y-2)=2,圆心坐标为C(-1,2)代入直线2ax+by+6=0,得-2a+2b+6=0即点(a,b)在直线x-y-3=0上.

过C(-1,2)作l的垂线,垂足设为D,过D作圆C的切线,切点设为E,则切线长|DE|最短,于是有|CE|=2,

|6|

|CD|==32,

2

∴切线长|DE|=|CD|-r=4.

9.在直角坐标系xOy中,以M(-1,0)为圆心的圆与直线x-3y-3=0相切. (1)求圆M的方程;

(2)如果圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称,求实数m的值.

→→2

(3)已知A(-2,0),B(2,0),圆内的动点P满足|PA|²|PB|=|PO|,求PA²PB的取值范围. 答案 (1)(x+1)+y=4 (2)m=1 (3)[-2,6)

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2

|-1-3|

解析 (1)依题意,圆M的半径r等于圆心M(-1,0)到直线x-3y-3=0的距离,即r==

1+32.

∴圆M的方程为(x+1)+y=4.

(2)∵圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称, ∴直线mx+y+1=0必过圆心M(-1,0). ∴-m+1=0,∴m=1.

(3)设P(x,y),由|PA||PB|=|PO|,得 x+2+y²x-2+y=x+y, 即x-y=2.

→→

∴PA²PB=(-2-x,-y)²(2-x,-y) =x-4+y=2(y-1). ∵点P在圆M内,

∴(x+1)+y<4,∴0≤y<4,∴-1≤y-1<3. →→

∴PA²PB的取值范围为[-2,6).

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