1.以抛物线y=4x的焦点为圆心,半径为2的圆的方程为( ) A.x+y-2x-1=0 C.x+y+2x-1=0 答案 B
解析 ∵抛物线y=4x的焦点是(1,0),
∴圆的标准方程是(x-1)+y=4,展开得x+y-2x-3=0.
2.若圆(x+3)+(y-1)=1关于直线l:mx+4y-1=0对称,则直线l的斜率为( ) A.4 1C. 4答案 D
解析 依题意,得直线mx+4y-1=0经过点(-3,1), 1
所以-3m+4-1=0.所以m=1.故直线l的斜率为-. 4
3.过点P(0,1)与圆x+y-2x-3=0相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A.x=0 C.x+y-1=0 答案 C
解析 依题意得所求直线是经过点P(0,1)及圆心(1,0)的直线,因此所求直线方程是x+y=1,即x+y-1=0,选C.
4.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)+(y+1)=4 C.(x-1)+(y-1)=4 答案 C
解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r. ∵圆心C在直线x+y-2=0上,∴b=2-a. ∵|CA|=|CB|,
∴(a-1)+(2-a+1)=(a+1)+(2-a-1). ∴a=1,b=1.∴r=2. ∴方程为(x-1)+(y-1)=4.
5.(2015²四川成都外国语学校)已知圆C1:(x+1)+(y-1)=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
A.(x+2)+(y-2)=1 C.(x+2)+(y+2)=1 答案 B
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2
2
B.x+y-2x-3=0 D.x+y+2x-3=0
2
2
22
B.-4 1D.- 4
B.y=1 D.x-y+1=0
B.(x+3)+(y-1)=4 D.(x+1)+(y+1)=4
2
2
22
B.(x-2)+(y+2)=1 D.(x-2)+(y-2)=1
2
2
22
解析 C1:(x+1)+(y-1)=1的圆心为(-1,1),它关于直线x-y-1=0对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆C2的方程为(x-2)+(y+2)=1.
6.(2015²山东青岛一模)若过点P(1,3)作圆O:x+y=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=( )
A.3 C.2 答案 A
解析 如图所示,∵PA,PB分别为圆O:x+y=1的切线,
2
2
2
2
2
2
22
B.2 D.4
∴OA⊥AP.
∵P(1,3),O(0,0), ∴|OP|=1+3=2. 又∵|OA|=1,
1
∴在Rt△APO中,cos∠AOP=.
2
∴∠AOP=60°,∴|AB|=2|AO|sin∠AOP=3.
7.在圆x+y-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.52 C.152 答案 B
解析 圆的标准方程为(x-1)+(y-3)=10,则圆心(1,3),半径r=10,由题意知AC⊥BD,且|AC|=210,|BD|=210-5=25,
1
所以四边形ABCD的面积为S=|AC|²|BD|
21
=³210³25=102. 2
8.已知点P在圆x+y=5上,点Q(0,-1),则线段PQ的中点的轨迹方程是( ) A.x+y-x=0 C.x+y-y-2=0 答案 B
解析 设P(x0,y0),PQ中点的坐标为(x,y),则x0=2x,y0=2y+1,代入圆的方程即得所求的方程
2
2
2
2
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2
2
2
2
2
B.102 D.202
B.x+y+y-1=0 D.x+y-x+y=0
2
2
22
是4x+(2y+1)=5,化简,得x+y+y-1=0.
9.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x+y-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为( ) A.6 C.8 答案 B
解析 如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,连接BP,AP,这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为+=1,
4-3
B.D.11 221 2
2
2
2222
xy
|3³0-4³1-12|16
即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d==, 2253+-411611
∴△ABP的面积的最小值为³5³(-1)=. 252
x-y+2≥0,
10.在平面直角坐标系中,若动点M(x,y)满足条件x+y-2≤0,
y-1≥0,
上,则|MQ|的最小值为( )
A.2
2
2
B.32
2
122
动点Q在曲线(x-1)+y=2
C.1-
1
D.5-
2
答案 C
解析 作出平面区域,由图形可知|MQ|的最小值为1-
2. 2
11.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________. 32252
答案 (x+2)+(y-)= 24
解析 对于直线3x-4y+12=0,当x=0时,y=3;当y=0时,x=-4.即以两点(0,3),(-4,0)
3+43
为端点的线段为直径,则r==,圆心为(-,),
2222
3
即(-2,).
2
32252
∴圆的方程为(x+2)+(y-)=.
24
2722
12.从原点O向圆C:x+y-6x+=0作两条切线,切点分别为P,Q,则圆C上两切点P,Q间的
4劣弧长为________.
答案 π
922
解析 如图,圆C:(x-3)+y=,
4
22
3
所以圆心C(3,0),半径r=.
2π
在Rt△POC中,∠POC=. 62π
则劣弧PQ所对圆心角为. 323
弧长为π³=π.
32
13.设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是________.
答案 (x+2)+(y+2)=8或(x-2)+(y-2)=8 解析 由题意可设圆心A(a,a),
如图,则2+2=2a,解得a=±2,r=2a=8.所以圆C的方程是(x+2)+(y+2)=8或(x-2)+(y-2)=8.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
14.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为27,求此圆的方程.
答案 x+y-6x-2y+1=0或x+y+6x+2y+1=0
解析 方法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切, ∴设所求圆的圆心为C(3a,a),半径为r=3|a|.
2
2
2
2
又圆在直线y=x上截得的弦长为27, |3a-a|
圆心C(3a,a)到直线y=x的距离为d=22.
1+1∴有d+(7)=r.即2a+7=9a,∴a=±1. 故所求圆的方程为
(x-3)+(y-1)=9或(x+3)+(y+1)=9. 方法二:设所求的圆的方程是(x-a)+(y-b)=r, |a-b|
则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为. 2|a-b|222
∴r=()+(7).
2即2r=(a-b)+14.①
由于所求的圆与y轴相切,∴r=a.② 又因为所求圆心在直线x-3y=0上, ∴a-3b=0.③ 联立①②③,解得
2
2
2
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2
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a=3,b=1,r2=9或a=-3,b=-1,r2=9.
故所求的圆的方程是
(x-3)+(y-1)=9或(x+3)+(y+1)=9. 方法三:设所求的圆的方程是x+y+Dx+Ey+F=0,
2
2
2
2
2
2
DE122
圆心为(-,-),半径为D+E-4F.
222
令x=0,得y+Ey+F=0.
由圆与y轴相切,得Δ=0,即E=4F.④
|-+|22DE又圆心(-,-)到直线x-y=0的距离为,
222
2
2
DE|-D+E|
222
由已知,得22+(7)=r,
2
即(D-E)+56=2(D+E-4F).⑤ 又圆心(-,-)在直线x-3y=0上,
22∴D-3E=0.⑥ 联立④⑤⑥,解得
2
2
2
DED=-6,E=-2,F=1或D=6,E=2,F=1.
故所求圆的方程是x+y-6x-2y+1=0
2
2
或x+y+6x+2y+1=0.
15.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=410.
(1)求直线CD的方程; (2)求圆P的方程. 答案 (1)x+y-3=0
(2)(x+3)+(y-6)=40或(x-5)+(y+2)=40 解析 (1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2), ∴直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0. (2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.① 又直径|CD|=410, ∴|PA|=210. ∴(a+1)+b=40.
a=-3,
由①②解得
b=6
2
22
2
2
2
22
2
a=5,
或
b=-2.
∴圆心P(-3,6)或P(5,-2).
∴圆P的方程为(x+3)+(y-6)=40或(x-5)+(y+2)=40. 16.已知实数x,y满足x+y-2y=0. (1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围. 答案 (1)1-5≤2x+y≤1+5 (2)c≥2-1
22
解析 (1)方法一:圆x+(y-1)=1的参数方程为
2
2
2
2
2
x=cosθ,
y=1+sinθ,
∴2x+y=2cosθ+sinθ+1. ∵-5≤2cosθ+sinθ≤5, ∴1-5≤2x+y≤5+1.
|2³0+1-b|
方法二:2x+y可看作直线y=-2x+b在y轴的截距,当直线与圆相切时b取最值,此时
5=1.
∴b=1±5,∴1-5≤2x+y≤1+5.
π
(2)∵x+y=cosθ+1+sinθ=2sin(θ+)+1,
4∴x+y+c的最小值为1-2+c. ∴x+y+c≥0恒成立等价于1-2+c≥0. ∴c的取值范围为c≥2-1.
1.将圆x+y-2x-4y+1=0平分的直线是( ) A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 答案 C
解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
2.设A(0,0),B(1,1),C(4,2),若线段AD是△ABC外接圆的直径,则点D的坐标是( ) A.(-8,6) C.(4,-6) 答案 B
解析 线段AB的垂直平分线x+y-1=0与线段AC的垂直平分线2x+y-5=0的交点即圆心(4,-3),直径为10,易得点D的坐标为(8,-6).
3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( ) 722
A.(x-3)+(y-)=1
3B.(x-2)+(y-1)=1 C.(x-1)+(y-3)=1 322
D.(x-)+(y-1)=1
2答案 B
|4a-3|1
解析 设圆心为(a,1),由已知得d==1,∴a=2(舍-).
52
4.圆心在抛物线x=2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是( ) 122
A.x+y-x-2y-=0
4B.x+y+x-2y+1=0 C.x+y-x-2y+1=0 122
D.x+y-2x-y+=0
4答案 D
解析 ∵圆心在抛物线上,∴设圆心(a,).
2∴圆的方程为(x-a)+(y-)=r.
2∴x+y-2ax-ay+a+-r=0.
4
对比A,B,C,D项,仅D项x,y前系数符合条件.
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B.x+y+3=0 D.x-y+3=0
B.(8,-6) D.(4,-3)
a2
a2
22
a4
2
5.若方程16-x-x-m=0有实数解,则实数m的取值范围为( ) A.-42≤m≤42 C.-4≤m≤4 答案 B
解析 由题意知方程16-x=x+m有实数解,分别作出y=16-x与y=x+m的图像,若两图像有交点,需-4≤m≤42.
6.若直线l:4x-3y-12=0与x,y轴的交点分别为A,B,O为坐标原点,则△AOB内切圆的方程为________.
答案 (x-1)+(y+1)=1
解析 由题意知,A(3,0),B(0,-4),则|AB|=5.
3+4-5
∴△AOB的内切圆半径r==1,内切圆的圆心坐标为(1,-1).
2∴内切圆的方程为(x-1)+(y+1)=1.
7.已知圆C的方程为x+y-mx-2my=0(m≠0),以下关于这个圆的叙述中,所有正确命题的序号是________.
①圆C必定经过坐标原点;
②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限; ③y轴被圆C所截得的弦长为2m;
④直线y=x与y轴的夹角的平分线必过圆心. 答案 ①②
8.(2015²吉林长春一调)若圆C:x+y+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
B.-4≤m≤42 D.4≤m≤42
b)向圆所作的切线长的最小值为________.
答案 4
解析 圆C:(x+1)+(y-2)=2,圆心坐标为C(-1,2)代入直线2ax+by+6=0,得-2a+2b+6=0即点(a,b)在直线x-y-3=0上.
过C(-1,2)作l的垂线,垂足设为D,过D作圆C的切线,切点设为E,则切线长|DE|最短,于是有|CE|=2,
|6|
|CD|==32,
2
∴切线长|DE|=|CD|-r=4.
9.在直角坐标系xOy中,以M(-1,0)为圆心的圆与直线x-3y-3=0相切. (1)求圆M的方程;
(2)如果圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称,求实数m的值.
→→2
(3)已知A(-2,0),B(2,0),圆内的动点P满足|PA|²|PB|=|PO|,求PA²PB的取值范围. 答案 (1)(x+1)+y=4 (2)m=1 (3)[-2,6)
2
22
2
2
2
|-1-3|
解析 (1)依题意,圆M的半径r等于圆心M(-1,0)到直线x-3y-3=0的距离,即r==
1+32.
∴圆M的方程为(x+1)+y=4.
(2)∵圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称, ∴直线mx+y+1=0必过圆心M(-1,0). ∴-m+1=0,∴m=1.
(3)设P(x,y),由|PA||PB|=|PO|,得 x+2+y²x-2+y=x+y, 即x-y=2.
→→
∴PA²PB=(-2-x,-y)²(2-x,-y) =x-4+y=2(y-1). ∵点P在圆M内,
∴(x+1)+y<4,∴0≤y<4,∴-1≤y-1<3. →→
∴PA²PB的取值范围为[-2,6).
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