高考数学一轮复习 题组层级快练60(含解析)

1．以抛物线y＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A．x＋y－2x－1＝0 C．x＋y＋2x－1＝0 答案 B

解析 ∵抛物线y＝4x的焦点是(1,0)，

∴圆的标准方程是(x－1)＋y＝4，展开得x＋y－2x－3＝0.

2．若圆(x＋3)＋(y－1)＝1关于直线l：mx＋4y－1＝0对称，则直线l的斜率为( ) A．4 1C. 4答案 D

解析 依题意，得直线mx＋4y－1＝0经过点(－3,1)， 1

所以－3m＋4－1＝0.所以m＝1.故直线l的斜率为－. 4

3．过点P(0,1)与圆x＋y－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A．x＝0 C．x＋y－1＝0 答案 C

解析 依题意得所求直线是经过点P(0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，选C.

4．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( ) A．(x－3)＋(y＋1)＝4 C．(x－1)＋(y－1)＝4 答案 C

解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. ∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a. ∵|CA|＝|CB|，

∴(a－1)＋(2－a＋1)＝(a＋1)＋(2－a－1). ∴a＝1，b＝1.∴r＝2. ∴方程为(x－1)＋(y－1)＝4.

5．(2015²四川成都外国语学校)已知圆C1：(x＋1)＋(y－1)＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )

A．(x＋2)＋(y－2)＝1 C．(x＋2)＋(y＋2)＝1 答案 B

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B．x＋y－2x－3＝0 D．x＋y＋2x－3＝0

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B．－4 1D．－ 4

B．y＝1 D．x－y＋1＝0

B．(x＋3)＋(y－1)＝4 D．(x＋1)＋(y＋1)＝4

2

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B．(x－2)＋(y＋2)＝1 D．(x－2)＋(y－2)＝1

2

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22

解析 C1：(x＋1)＋(y－1)＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)＋(y＋2)＝1.

6．(2015²山东青岛一模)若过点P(1，3)作圆O：x＋y＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝( )

A.3 C.2 答案 A

解析 如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x＋y＝1的切线，

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22

B．2 D．4

∴OA⊥AP.

∵P(1，3)，O(0,0)， ∴|OP|＝1＋3＝2. 又∵|OA|＝1，

1

∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝.

2

∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝3.

7．在圆x＋y－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )

A．52 C．152 答案 B

解析 圆的标准方程为(x－1)＋(y－3)＝10，则圆心(1,3)，半径r＝10，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，

1

所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|²|BD|

21

＝³210³25＝102. 2

8．已知点P在圆x＋y＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是( ) A．x＋y－x＝0 C．x＋y－y－2＝0 答案 B

解析 设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程

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B．102 D．202

B．x＋y＋y－1＝0 D．x＋y－x＋y＝0

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22

是4x＋(2y＋1)＝5，化简，得x＋y＋y－1＝0.

9．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x＋y－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( ) A．6 C．8 答案 B

解析 如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，

4－3

B.D.11 221 2

2

2

2222

xy

|3³0－4³1－12|16

即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝， 2253＋－411611

∴△ABP的面积的最小值为³5³(－1)＝. 252

x－y＋2≥0，

10．在平面直角坐标系中，若动点M(x，y)满足条件x＋y－2≤0，

y－1≥0，

上，则|MQ|的最小值为( )

A.2

2

2

B.32

2

122

动点Q在曲线(x－1)＋y＝2

C．1－

1

D.5－

2

答案 C

解析 作出平面区域，由图形可知|MQ|的最小值为1－

2. 2

11．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________． 32252

答案 (x＋2)＋(y－)＝ 24

解析 对于直线3x－4y＋12＝0，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)

3＋43

为端点的线段为直径，则r＝＝，圆心为(－，)，

2222

3

即(－2，)．

2

32252

∴圆的方程为(x＋2)＋(y－)＝.

24

2722

12．从原点O向圆C：x＋y－6x＋＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的

4劣弧长为________．

答案 π

922

解析 如图，圆C：(x－3)＋y＝，

4

22

3

所以圆心C(3,0)，半径r＝.

2π

在Rt△POC中，∠POC＝. 62π

则劣弧PQ所对圆心角为. 323

弧长为π³＝π.

32

13．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________．

答案 (x＋2)＋(y＋2)＝8或(x－2)＋(y－2)＝8 解析 由题意可设圆心A(a，a)，

如图，则2＋2＝2a，解得a＝±2，r＝2a＝8.所以圆C的方程是(x＋2)＋(y＋2)＝8或(x－2)＋(y－2)＝8.

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14．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．

答案 x＋y－6x－2y＋1＝0或x＋y＋6x＋2y＋1＝0

解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切， ∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.

2

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2

又圆在直线y＝x上截得的弦长为27， |3a－a|

圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝22.

1＋1∴有d＋(7)＝r.即2a＋7＝9a，∴a＝±1. 故所求圆的方程为

(x－3)＋(y－1)＝9或(x＋3)＋(y＋1)＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x－a)＋(y－b)＝r， |a－b|

则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为. 2|a－b|222

∴r＝()＋(7).

2即2r＝(a－b)＋14.①

由于所求的圆与y轴相切，∴r＝a.② 又因为所求圆心在直线x－3y＝0上， ∴a－3b＝0.③ 联立①②③，解得

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2

a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.

故所求的圆的方程是

(x－3)＋(y－1)＝9或(x＋3)＋(y＋1)＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，

2

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2

2

DE122

圆心为(－，－)，半径为D＋E－4F.

222

令x＝0，得y＋Ey＋F＝0.

由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E＝4F.④

|－＋|22DE又圆心(－，－)到直线x－y＝0的距离为，

222

2

2

DE|－D＋E|

222

由已知，得22＋(7)＝r，



2

即(D－E)＋56＝2(D＋E－4F)．⑤ 又圆心(－，－)在直线x－3y＝0上，

22∴D－3E＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得

2

2

2

DED＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.

故所求圆的方程是x＋y－6x－2y＋1＝0

2

2

或x＋y＋6x＋2y＋1＝0.

15．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.

(1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 答案 (1)x＋y－3＝0

(2)(x＋3)＋(y－6)＝40或(x－5)＋(y＋2)＝40 解析 (1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.① 又直径|CD|＝410， ∴|PA|＝210. ∴(a＋1)＋b＝40.

a＝－3，

由①②解得

b＝6

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2

a＝5，

或

b＝－2.

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．

∴圆P的方程为(x＋3)＋(y－6)＝40或(x－5)＋(y＋2)＝40. 16．已知实数x，y满足x＋y－2y＝0. (1)求2x＋y的取值范围；

(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围． 答案 (1)1－5≤2x＋y≤1＋5 (2)c≥2－1

22

解析 (1)方法一：圆x＋(y－1)＝1的参数方程为 

2

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2

x＝cosθ，

y＝1＋sinθ，

∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1. ∵－5≤2cosθ＋sinθ≤5， ∴1－5≤2x＋y≤5＋1.

|2³0＋1－b|

方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时

5＝1.

∴b＝1±5，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.

π

(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝2sin(θ＋)＋1，

4∴x＋y＋c的最小值为1－2＋c. ∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－2＋c≥0. ∴c的取值范围为c≥2－1.

1．将圆x＋y－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ) A．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 答案 C

解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.

2．设A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是( ) A．(－8,6) C．(4，－6) 答案 B

解析 线段AB的垂直平分线x＋y－1＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D的坐标为(8，－6)．

3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是( ) 722

A．(x－3)＋(y－)＝1

3B．(x－2)＋(y－1)＝1 C．(x－1)＋(y－3)＝1 322

D．(x－)＋(y－1)＝1

2答案 B

|4a－3|1

解析 设圆心为(a,1)，由已知得d＝＝1，∴a＝2(舍－)．

52

4．圆心在抛物线x＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是( ) 122

A．x＋y－x－2y－＝0

4B．x＋y＋x－2y＋1＝0 C．x＋y－x－2y＋1＝0 122

D．x＋y－2x－y＋＝0

4答案 D

解析 ∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a，)．

2∴圆的方程为(x－a)＋(y－)＝r.

2∴x＋y－2ax－ay＋a＋－r＝0.

4

对比A，B，C，D项，仅D项x，y前系数符合条件．

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2

B．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0

B．(8，－6) D．(4，－3)

a2

a2

22

a4

2

5．若方程16－x－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围为( ) A．－42≤m≤42 C．－4≤m≤4 答案 B

解析 由题意知方程16－x＝x＋m有实数解，分别作出y＝16－x与y＝x＋m的图像，若两图像有交点，需－4≤m≤42.

6．若直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．

答案 (x－1)＋(y＋1)＝1

解析 由题意知，A(3,0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.

3＋4－5

∴△AOB的内切圆半径r＝＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．

2∴内切圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝1.

7．已知圆C的方程为x＋y－mx－2my＝0(m≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．

①圆C必定经过坐标原点；

②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限； ③y轴被圆C所截得的弦长为2m；

④直线y＝x与y轴的夹角的平分线必过圆心． 答案 ①②

8．(2015²吉林长春一调)若圆C：x＋y＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，

2

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2

2

2

2

B．－4≤m≤42 D．4≤m≤42

b)向圆所作的切线长的最小值为________．

答案 4

解析 圆C：(x＋1)＋(y－2)＝2，圆心坐标为C(－1,2)代入直线2ax＋by＋6＝0，得－2a＋2b＋6＝0即点(a，b)在直线x－y－3＝0上．

过C(－1,2)作l的垂线，垂足设为D，过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长|DE|最短，于是有|CE|＝2，

|6|

|CD|＝＝32，

2

∴切线长|DE|＝|CD|－r＝4.

9．在直角坐标系xOy中，以M(－1,0)为圆心的圆与直线x－3y－3＝0相切． (1)求圆M的方程；

(2)如果圆M上存在两点关于直线mx＋y＋1＝0对称，求实数m的值．

→→2

(3)已知A(－2,0)，B(2,0)，圆内的动点P满足|PA|²|PB|＝|PO|，求PA²PB的取值范围． 答案 (1)(x＋1)＋y＝4 (2)m＝1 (3)[－2,6)

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2

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2

|－1－3|

解析 (1)依题意，圆M的半径r等于圆心M(－1,0)到直线x－3y－3＝0的距离，即r＝＝

1＋32.

∴圆M的方程为(x＋1)＋y＝4.

(2)∵圆M上存在两点关于直线mx＋y＋1＝0对称， ∴直线mx＋y＋1＝0必过圆心M(－1,0)． ∴－m＋1＝0，∴m＝1.

(3)设P(x，y)，由|PA||PB|＝|PO|，得 x＋2＋y²x－2＋y＝x＋y， 即x－y＝2.

→→

∴PA²PB＝(－2－x，－y)²(2－x，－y) ＝x－4＋y＝2(y－1)． ∵点P在圆M内，

∴(x＋1)＋y<4，∴0≤y<4，∴－1≤y－1<3. →→

∴PA²PB的取值范围为[－2,6)．

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