高中导数大题专题复习

一、导数的基本应用

（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值

基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法

特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法

第一组 【例题】（2008北京理18/22）已知函数f(x)单调区间．

2xb，求导函数f(x)，并确定f(x)的2(x1)1 / 12

第二组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】（2009北京文18/22）设函数f(x)x3axb(a0). （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.

【例题】（2009天津理20/22）已知函数f(x)(xax2a3a)e(xR),其中aR. （II）当a

【例题】（2008福建文21/22）已知函数f(x)xmxnx2的图象过点(1,6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求m、n的值及函数yf(x)的单调区间；（Ⅱ）若a0，求函数yf(x)在区间(a1,a1)内的极值.

3222x32时，求函数f(x)的单调区间与极值. 32 / 12

【例题】（2009安徽文21/21）已知函数f(x)x(I)讨论f(x)的单调性;

21alnx，a＞0， x(II)设a=3，求f(x)在区间[1，e]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.

2

（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围

基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等

【例题】（2008湖北文17/21）已知函数f(x)xmxmx1（m为常数，且m>0）有极大值． ．．．．9．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若斜率为5的直线是曲线yf(x)的切线，求此直线方程．

【例题】（2009四川文20/22）已知函数f(x)x2bxcx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10.

（I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)f(x)323221mx，g(x)的极值存在若，求实数m的取值范围以及函数g(x)．．．．．．3取得极值时对应的自变量x的值.

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★【例题】（2008全国Ⅱ文21/22） 设aR，函数f(x)ax3x． （Ⅰ）若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)f(x)f(x)，x[0，2]，在x0处取得最大值，求a的取值范围．

★【例题】（2009陕西理20/22）已知函数f(x)ln(ax1)（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围.

321x,x0，其中a0 1x

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（三）导数的几何意义

（2008海南宁夏文21/22）设函数f(x)ax方程为7x4y120.

（Ⅰ）求yf(x)的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

b，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线x二、导数应用的变式与转化 （一）函数的零点存在与分布问题

问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法

特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理

第一组 二次函数

（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为

三次函数零点分布研究做方法上的铺垫.

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【例题】（2009广东文21/21）已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行，且yg(x)在x=－1处取得最小值m－1(m0).设函数f(x)g(x) x（1）若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值； （2）k(kR)如何取值时,函数yf(x)kx存在零点,并求出零点. ．．．．

【例题】（2009重庆文19/21）已知f(x)xbxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，

2g(x)(xa)f(x)．（Ⅰ）求曲线yg(x)有斜率为的切线，求实数a的取值范围； ．．．．0．．．．

【例题】(07广东文21/21)已知a是实数，函数fx2ax2x3a，如果函数yfx2在区间，求a的取值范围. ．．．1,1上有零点．．．．

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【例题】（2009浙江文21/22）已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb (a,bR)． （I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．

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第二组 三次函数

（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、

极值、最值的理解.

【例题】（2009陕西文20/22）已知函数f(x)x3ax1,a0 （I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在x1处取得极值，直线y=m与yf(x)的图象有三个不同的交点， ．．．．．．．．．．

求m的取值范围.

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【例题】（2007全国II理22/22）已知函数f(x)xx．（1）求曲线yf(x)在点（2）设a0，若过点(a，b)可作曲线，M(t，f(t))处的切线方程；．．．．yf(x)的三条切线．．．．．证明：abf(a)

3（二）不等式恒成立与存在解问题

问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法： 通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法

特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究

【例题】（2009江西文17/22）设函数f(x)x392x6xa． 2（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值

【例题】（2008安徽文20/22）设函数f(x)'2a332xx(a1)x1,其中a为实数. 32（Ⅰ）略；（Ⅱ）若f(x)xxa1对任意a(0,)都成立，求实数x的取值范围.

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【例题】（2008山东文21/22）设函数f(x)xe的极值点．

（Ⅱ）讨论f(x)的单调性； （Ⅲ）设g(x)

2x1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)232xx，试比较f(x)与g(x)的大小． 3（2007湖北理20/21）已知定义在正实数集上的函数f(x)12x2ax，2g(x)3a2lnxb，其中a0．设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的

切线相同．

（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系

（1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题

的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究； （2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的

问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；

（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此

往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性.

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【例题】（2009天津文21/22）设函数f(x)（Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

13xx2(m21)x,(xR,)其中m0 3（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1x2.若对任意的x[x1,x2]，

f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围.

四、其它形式的问题

3222【例题】（2008陕西文22/22）设函数f(x)xaxax1,g(x)ax2x1,其中实数

a0．

（Ⅰ）若a0，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当函数yf(x)与yg(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记g(x)

的最小值为h(a)，求h(a)的值域；

（Ⅲ）若f(x)与g(x)在区间(a,a2)内均为增函数，求a的取值范围．

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【例题】（2008湖南文21/21）已知函数f(x)（I）证明：27c5；

149xx3x2cx有三个极值点. 42（II）若存在实数c，使函数f(x)在区间a,a2上单调递减，求a的取值范围.

322（2008辽宁文22/22）设函数f(x)axbx3ax1(a，bR)在xx1，xx2处

取得极值，且x1x22．

（Ⅰ）若a1，求b的值，并求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若a0，求b的取值范围．

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