圆的标准方程 教案

江川一中 杨秀方

一．教学目标

(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；

②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；

③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。

(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

②加深对数形结合思想的理解； ③增强学生用数学的意识。

(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

二. 教学重点与难点

(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用。

(2)难点： ①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

三．教学程序

（一）创设情境——启迪思维

问题1：我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线。那么在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？初中我们已经学习过圆，那现在同学们在草稿纸上用圆规画一个圆，注意画圆的过程中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

(教师在黑板上画一个圆) 学生回答问题。

平面内到定点距离等于定长的所有点围成的图形为圆。 C为定点，M为动点，|MC|为半径r，圆心和半径分别 确定了圆的位置和大小．

问题2：直线有五种方程形式，那么圆的方程是什么呢？

学生联系以前学过的知识，思考解决问题的方法。 （二）深入探究——获得新知

问题3：符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？

1．建系设点

在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法。教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导。因为C是定点，可设C(a，b)，半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)。

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}。 3．列方程

由两点间的距离公式得：(xa)2(yb)2r ① 4．化简方程

①式两边同时平方，得 (xa)2(yb)2r2

问题4：是否在圆上的点的坐标都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？

点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；

反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为C (a, b)，半径为r的圆上。

(xa)2(yb)2r2

把这个方程称为圆心为C(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。

问题5：圆心在坐标原点，半径长为r的圆的标准方程是什么？

因为圆心C（0，0），半径r，把x=0,y=0代入圆的标准方程(xa)2(yb)2r2

得：(x0)2(y0)2r2

所以整理得：x2y2r2 即圆心在原点的圆的标准方程 （三）应用举例——巩固提高

教师举例，引导学生解题，然后做课后练习。 p120练习第1题 学生完成下列问题：

（1） 写出圆(x3)2(y5)262的圆心坐标和半径 （2） 圆心在C（8，-3），且经过点M（5，1）

|CM|=r=(85)2(31)25 (x8)2(y3)225 （3） 圆心在C（-3，4），半径长是5 (x3)2(y4)25 例1. 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,-7),

M2(5,-1)是否在这个圆上？

分析：判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上。 解：圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的标准方程是：(x2)2(y3)225把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x2)2(y3)225，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M1在这个圆上。

把点M2(5,-1)的坐标代入方程(x2)2(y3)225，左右两边不相等，点

M2的坐标不适合圆的方程，所以点M2不在这个圆上。 （四）反馈训练——形成方法

从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上。 问题6：怎样判断点 M0(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2 内呢？还是在圆外呢？

则只需判断点到圆心的距离与半径之间的大小

(x0a)2(y0b)2d与r的大小

(1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内

d=r； d＞r； d＜r．

教材P119的探究：点 M0(x0,y0)在圆x2y2r2 内的条件是什么？在圆外呢？ 圆内; x0y0r 圆外：x0y0r

练习：已知圆的方程(x3)2(y2)225，判断下列各点在圆上，在圆外，还是在圆内？

（1）M1(1,1) (2)M2(5,3) (3)M3(1,1) 解：圆心C为(3,-2),半径r=5

（1）|CM1|=(13)2(12)25 |CM1|=r 所以点M1(1,1)在这个圆上 （2）|CM2|=(53)2(32)229 |CM1|>r 所以点M1(1,1)在这个圆外 （1）|CM3|=(13)2(12)213 |CM1|圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2 圆心在坐标圆点：x2y2r2 判断点和圆的位置关系：(x0a)2(y0b)2d与r的大小 (1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内

d=r； d＞r； d＜r．

2222问题7：1.把圆的标准方程展开后是什么形式？

2.式子x2y24x6y120表示什么？