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圆的标准方程 教案

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4.1.1圆的标准方程(1)

江川一中 杨秀方

一.教学目标

(1) 知识目标:①掌握圆的标准方程;

②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准方程;

③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。

(2) 能力目标:①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;

②加深对数形结合思想的理解; ③增强学生用数学的意识。

(3) 情感目标:①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;

②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

二. 教学重点与难点

(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用。

(2)难点: ①会根据不同的已知条件求圆的标准方程;

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

三.教学程序

(一)创设情境——启迪思维

问题1:我们知道,在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线。那么在平面直角坐标系中,如何确定一个圆?初中我们已经学习过圆,那现在同学们在草稿纸上用圆规画一个圆,注意画圆的过程中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?

(教师在黑板上画一个圆) 学生回答问题。

平面内到定点距离等于定长的所有点围成的图形为圆。 C为定点,M为动点,|MC|为半径r,圆心和半径分别 确定了圆的位置和大小.

问题2:直线有五种方程形式,那么圆的方程是什么呢?

学生联系以前学过的知识,思考解决问题的方法。 (二)深入探究——获得新知

问题3:符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法来表示这个集合吗?

1.建系设点

在黑板上画出直角坐标系,并问有无不同建立坐标系的方法。教师指出:这两种建立坐标系的方法都对,原点在圆心这是特殊情况,现在仅就一般情况推导。因为C是定点,可设C(a,b),半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y)。

2.写点集

根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r}。 3.列方程

由两点间的距离公式得:(xa)2(yb)2r ① 4.化简方程

①式两边同时平方,得 (xa)2(yb)2r2

问题4:是否在圆上的点的坐标都适合这个方程?是否适合这个方程的坐标的点都在圆上?

点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐标适合方程;

反之,若点M(x, y)的坐标适合方程,这就说明点M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为C (a, b),半径为r的圆上。

(xa)2(yb)2r2

把这个方程称为圆心为C(a, b),半径长为r 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程。

问题5:圆心在坐标原点,半径长为r的圆的标准方程是什么?

因为圆心C(0,0),半径r,把x=0,y=0代入圆的标准方程(xa)2(yb)2r2

得:(x0)2(y0)2r2

所以整理得:x2y2r2 即圆心在原点的圆的标准方程 (三)应用举例——巩固提高

教师举例,引导学生解题,然后做课后练习。 p120练习第1题 学生完成下列问题:

(1) 写出圆(x3)2(y5)262的圆心坐标和半径 (2) 圆心在C(8,-3),且经过点M(5,1)

|CM|=r=(85)2(31)25 (x8)2(y3)225 (3) 圆心在C(-3,4),半径长是5 (x3)2(y4)25 例1. 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),

M2(5,-1)是否在这个圆上?

分析:判断一个点在不在某个圆上,只需将这个点的坐标代入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上。 解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是:(x2)2(y3)225把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x2)2(y3)225,左右两边相等,点M1的坐标适合圆的方程,所以点M1在这个圆上。

把点M2(5,-1)的坐标代入方程(x2)2(y3)225,左右两边不相等,点

M2的坐标不适合圆的方程,所以点M2不在这个圆上。 (四)反馈训练——形成方法

从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个点的坐标代入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上。 问题6:怎样判断点 M0(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2 内呢?还是在圆外呢?

则只需判断点到圆心的距离与半径之间的大小

(x0a)2(y0b)2d与r的大小

(1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内

d=r; d>r; d<r.

教材P119的探究:点 M0(x0,y0)在圆x2y2r2 内的条件是什么?在圆外呢? 圆内; x0y0r 圆外:x0y0r

练习:已知圆的方程(x3)2(y2)225,判断下列各点在圆上,在圆外,还是在圆内?

(1)M1(1,1) (2)M2(5,3) (3)M3(1,1) 解:圆心C为(3,-2),半径r=5

(1)|CM1|=(13)2(12)25 |CM1|=r 所以点M1(1,1)在这个圆上 (2)|CM2|=(53)2(32)229 |CM1|>r 所以点M1(1,1)在这个圆外 (1)|CM3|=(13)2(12)213 |CM1|圆的标准方程:(xa)2(yb)2r2 圆心在坐标圆点:x2y2r2 判断点和圆的位置关系:(x0a)2(y0b)2d与r的大小 (1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内

d=r; d>r; d<r.

2222问题7:1.把圆的标准方程展开后是什么形式?

2.式子x2y24x6y120表示什么?

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