一. 本周教学内容:
有理数的混合运算——简便运算技巧(2)
二. 重点、难点:
有理数运算是中学数学中一切运算的基础,准确地理解有理数相关的概念,以及它的运算法则、公式,并且善于根据所给题目要求,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择简捷的算法,可以很好地提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合,并合理的解决它,你会发现数学的很多乐趣。
三. 我们的目标:
当我们认识了零、负整数和负分数后,就引出了有理数的概念。整数(正整数、零、负整数)和分数(正分数、负分数)统称有理数,任何一个有理数都可以表示为一个既约分数
均为整数且互素)。并且,有理数可以比较大小,有理数的和、差、积、商
(分母不为零)仍为有理数,任意两个有理数之间都有无穷个有理数,有理数运算是中学数学中一切运算的基础,它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则,公式等正确、迅速地进行运算,同时还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性。
【典型例题】
一. 巧用错位相减 例1.
;
解:
∴ 原式
或者用下面的“错位相减法”求和。 令
将这两式错位相减得
,则
即
再将这两式错位后式减去前式得
二. 巧用分析法 例2.
解:考察第n项n(n+1)如何分析,仔细观察后会发现:
∴ 原式
说明:分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧,在解题中应注意总结归纳规律,力求灵活应用。
三. 巧换元 例3. 计算:
解:设原式
,则
例4.
;
解:直接计算较繁,仔细观察分母中涉及到三个连续整数:12345,12346,12347,可设字母n=12346,那么12345=n-1,12347=n+1,于是分母变为
,即原式分母的值是
1。
∴原式=24690。
四. 巧相约 例5. 计算:解:原式
五. 巧用倒序配对 例6. 计算:解:设
原式,对括号内各项倒序排列后,再设
,则:
所以
所以原式
六. 巧用倒数法 例7. 计算分析:因为而
与
互为倒数,
比较容易计算,故此题只需先计算出后部分的结果即可。
解:因为
∴ 原式
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1. 计算:2. 计算:
3. 计算:4. 计算:
【试题答案】
1. 解:设则则即
(含整体思想) 2. 解:令 则原式
3. 解:令19991998=a,则 原式=4. 解:设
将两式相加,得
即
∴ 原式=4005
,
,把等式右边倒序排列,得
得:
(2)
(1)
【励志故事】
现代剥夺
有一出著名的西方荒诞剧,叫《椅子》,其内容发人深省。一对老年夫妇一个劲地往屋里搬椅子,说是要等待一个前来演讲的人,就这么搬呀搬呀,直到搬得满屋都是椅子。至于结果,则是满屋的椅子“剥夺”了他们最后一点生存空间,那个虚无的人没来,他们自己却被“椅子”赶了出去,失去了他们赖以生存的自由窝。这就是内涵极厚重的现代戏,它昭示的主题是:在现代,常常不是人“压迫”了椅子,而是椅子“剥夺”了人!
于是,想起了种种颇具现代文明色彩的“现代剥夺”! 比如电视是现代文明的产物,但你若只迷恋看电视而不再愿意看书,你就会在无形中被剥夺了“思索”与“再创造”的能力。再如,自打有了快速便捷的现代通讯手段,人们就动辄打手机打电话,呼BP机,不再喜欢动手写信了。当您在享受现代文明时,千万别忘了您的创造精神与主动精神,换言之,谁忘了这一点,谁就会被现代文明“甜美地”剥夺一次!
灵活运用有理数运算方法的进行解题
江苏 丁小平
有理数的运算是初中代数运算中的基础运算,它有一定规律和技巧.只要认真分析和研究题目的内在特征,并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧,不但可以使运算简捷、准确,而且使我们的思维能力得到提高. 下面介绍几种运算技巧.
一. 巧用运算律
例1. 计算
思路分析 本题既有分数又有小数,把小数化成分数较易,本题还可运用运算律使运算更简便.
解;原式=
二. 巧用添项法 例2 计算
分析:观察算式的特征,发现将算式添上9,8,7,6,5的和,利用加法结合律可以使运算简便快捷.
解:原式
三. 巧用配对的方法
例3 与
相比较,哪个更大?为什么?
解:设
构造对偶式
那么
而A即
四. 巧用凑整法
例4计算:
分析:先将小数化成分数,并将原式写成省略括号的和的形式,根据运算律,进行简化计算,在加减混合运算时,一般把互为相反数的两数相加;同分母的分数相加;两分数和为整数的相加;同号相加.
解:原式=
=()+(8-1)+(-2
)
=0+7-2=5
注意:如加数中有分数、小数时,要视情况把小数化为分数或把分数化成小数,依题而定,能用运算律的要用运算律,使计算简便. 五. 巧用拆项法
例5. 计算:
分析:利用
一般地,当n>m时,
解:原式=
=
=
说明:形如的分数,可以拆成
的形式.
六. 巧用反序相加减的方法
例6. 计算_____
分析:把括号中的各项倒序排列后,再与原式相加,把分数相加变为整数相加,运算变得简单易行.
解:设
又
两式相加得又
上面两式相加得故S=612.5 七. 巧用整体换元法 例7. 计算
分析:本题目从结构上看相当繁琐,因此要选择恰当的方法进行计算.不妨巧用整体换元法,那么本题就不难解决了,计算就简便了.
解:令
则原式
七年级数学有理数的混合运算——简便运算技巧(1)江苏科技版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
有理数的混合运算——简便运算技巧(1)
“算对与算巧”
求12399100的和,从左到右逐次相加似乎很安稳的事,其实这样算下来不仅工作量很大,而且运算的次数太多,出错的可能性也大,聪明的高斯没有这样做,他把这个算式头尾倒过来写成100999821然后将两个式子的对应项相加得到100个101,101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对,而且算得快,这是一个脍炙人口的故事,它告诉我们数算不仅要算对更要算巧。
二. 重点、难点:
有理数运算是代数中最基本的运算,若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧,不仅可提高运算速度和准确率,还可培养学生善于思考的好习惯,有利于思维能力的培养,现介绍几种有理数运算中的解题技巧。
三. 基础回顾:
(1)有理数的运算法则:
① 加法法则:同号相加一边倒,异号相加大减小,符号跟着大的跑。 ② 减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
③ 乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。 ④ 除法法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。
⑤ 有理数的乘方运算:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
(2)运算律:
① 加法交换律:a+b=b+a。
② 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 ③ 乘法交换律:ab=ba。 ④ 乘法结合律:(ab)c=a(bc)。
⑤ 乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac。 (3)运算顺序及注意事项:
① 有理数的加、减、乘、除四则混合运算,一定要先把减法改成加法,除法改成乘法。这样可以防止出错。
② 对含有三级运算的情况,按先乘方、开方,再乘除,最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行,有时也可灵活去括号。
③ 应注意灵活运用运算律,使计算简便化,对互为相反数其和为零的要优先解决。
【典型例题】
一. 符号与括号
有理数运算是代数入门的重点,又是难点,怎样突破这一难点,除了要正确理解概念和掌握运算法则外,还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质
符号,因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,从而使复杂问题变得较简单,在此应特别注意去添括号时符号的变化。 例1. 计算
分析:不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1,如果按照将第一与第二项,第三与第四项,„„,分别配对的方式计算,就能得到一系列的-1。
解:
下面需对n的奇偶性进行讨论: 当n为偶数时,上式是即
当n为奇数时,上式是
个(-1)的和, ;
个(-1)的和,再加上最后一项
说明:两种情况可以合并为:
二. 巧添辅助数 例2. 计算:解:原式
,所以有
三. 巧用整体 例3. 购买5种物品
,
,
,
,
的件数和用钱总数列成下表:
那么,购买每种物品各一件共需多少元? 解:由已知表格:购买1件以购买2件5件
,7件
,6件,9件
,8件
,3件,10件
,4件,12件
,5件
,6件
共需1995元;所
,
共需2×1995元;又因为购买1件
,11件共需2984元;所以购买每种物品各一件共需
2×1995-2984=1006(元)
说明:设购买物品则
i=1,2,3,4,5
,① ②
由 2×①-② 得
需要指出的是:我们无法计算每个
,但我们能巧算出
这个整体,
整体思维常常会帮助我们算对,算快和算得巧妙。
四. 巧用凑整运算 例4. 计算:
解:原式(209)2008(2000000002)
五. 巧用公式
11111111例5. 计算:22329921002
111111111111 解:原式223310010013249810099101 ××××××××22339999100100
22说明:平方差公式:ab(ab)(ab)
例6. 计算:
(7822)(78278×22222)解:原式 78278×22222
说明:立方差公式: a3b3(ab)(a2abb2) 立方和公式: a3b3(ab)(a2abb2)
完全平方公式: (ab)2a22abb2, (ab)2a22abb2
六. 巧用拆项法
例7. (第六届“祖冲之杯”数学竞赛题) 计算 11111121231234123100=________
,
,而
,那么本题就不难解
分析:直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项,从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法,不难求得最后两项为
,同理,
决了。
解:原式=122222 61220990010100111111111=2(1)
2233499100100101
1111()的形式。 说明:形如n(na)的分数,可以拆成anna 例8.
解:应用关系式
原式
来进行“拆项”。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1. 计算:
12345678910111219971998199920002001
2. 已知0为数轴的原点,A、B两点对应的数分别为1、2,设P1为AB的中点,P2为AP1的中点,„,P100为P99的中点,求P1,P2,P3,„,P100所对应的各数之和。 3. 计算:11241124513.8 63536(分析:本题六个数中有两个是同分母的分数,有两个互为相反数,有两个相加和为整数,故可用“凑整”法。) 4. 求和
1111122222333335859()()()()2345960345596044659605960 (分析:由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加,可改变原式繁难的计算。)
5. 计算:2005(
11111) 1223342003200420042005试题答案
1. 解法1 : 原式
(1234)(5678)(9102212)(1997199819992000)2002(4)×500200120002000解法2:
原式
1a(1i100),则a1,i1,2,100 i2. 解:设对应的数为ii21所以,a1a2a1001111101121222001002100
3. 解:原式
4. 解:原式
11212312359()()()23344460606060
123459222221(12359) 21(159)×59×225. 解:原式
11221) =2005(120052004=2005
2005=2004
=2005[(1)()()(1313141111)()] 2003200420042005
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