有理数巧算

一. 本周教学内容：

有理数的混合运算——简便运算技巧（2）

二. 重点、难点：

有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确地理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择简捷的算法，可以很好地提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。

三. 我们的目标：

当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数

均为整数且互素）。并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商

（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

【典型例题】

一. 巧用错位相减 例1.

；

解：

∴ 原式

或者用下面的“错位相减法”求和。 令

将这两式错位相减得

，则

即

再将这两式错位后式减去前式得

二. 巧用分析法 例2.

解：考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：

∴ 原式

说明：分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。

三. 巧换元 例3. 计算：

解：设原式

，则

例4.

；

解：直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为

，即原式分母的值是

1。

∴原式=24690。

四. 巧相约 例5. 计算：解：原式

五. 巧用倒序配对 例6. 计算：解：设

原式，对括号内各项倒序排列后，再设

，则：

所以

所以原式

六. 巧用倒数法 例7. 计算分析：因为而

与

互为倒数，

比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。

解：因为

∴ 原式

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 计算：2. 计算：

3. 计算：4. 计算：

【试题答案】

1. 解：设则则即

（含整体思想） 2. 解：令 则原式

3. 解：令19991998=a，则 原式=4. 解：设

将两式相加，得

即

∴ 原式＝4005

，

，把等式右边倒序排列，得

得：

（2）

（1）

【励志故事】

现代剥夺

有一出著名的西方荒诞剧，叫《椅子》，其内容发人深省。一对老年夫妇一个劲地往屋里搬椅子，说是要等待一个前来演讲的人，就这么搬呀搬呀，直到搬得满屋都是椅子。至于结果，则是满屋的椅子“剥夺”了他们最后一点生存空间，那个虚无的人没来，他们自己却被“椅子”赶了出去，失去了他们赖以生存的自由窝。这就是内涵极厚重的现代戏，它昭示的主题是：在现代，常常不是人“压迫”了椅子，而是椅子“剥夺”了人！

于是，想起了种种颇具现代文明色彩的“现代剥夺”！ 比如电视是现代文明的产物，但你若只迷恋看电视而不再愿意看书，你就会在无形中被剥夺了“思索”与“再创造”的能力。再如，自打有了快速便捷的现代通讯手段，人们就动辄打手机打电话，呼BP机，不再喜欢动手写信了。当您在享受现代文明时，千万别忘了您的创造精神与主动精神，换言之，谁忘了这一点，谁就会被现代文明“甜美地”剥夺一次！

灵活运用有理数运算方法的进行解题

江苏 丁小平

有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧.只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高. 下面介绍几种运算技巧.

一. 巧用运算律

例1. 计算

思路分析 本题既有分数又有小数，把小数化成分数较易，本题还可运用运算律使运算更简便.

解；原式=

二. 巧用添项法 例2 计算

分析：观察算式的特征，发现将算式添上9，8，7，6，5的和，利用加法结合律可以使运算简便快捷.

解：原式

三. 巧用配对的方法

例3 与

相比较，哪个更大？为什么？

解：设

构造对偶式

那么

而A即

四. 巧用凑整法

例4计算：

分析：先将小数化成分数，并将原式写成省略括号的和的形式，根据运算律，进行简化计算，在加减混合运算时，一般把互为相反数的两数相加；同分母的分数相加；两分数和为整数的相加；同号相加.

解：原式＝

＝()＋(8－1)＋(－2

)

＝0＋7－2＝5

注意：如加数中有分数、小数时，要视情况把小数化为分数或把分数化成小数，依题而定，能用运算律的要用运算律，使计算简便. 五. 巧用拆项法

例5. 计算：

分析：利用

一般地，当n>m时，

解：原式＝

＝

＝

说明：形如的分数，可以拆成

的形式.

六. 巧用反序相加减的方法

例6. 计算_____

分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行.

解：设

又

两式相加得又

上面两式相加得故S＝612.5 七. 巧用整体换元法 例7. 计算

分析：本题目从结构上看相当繁琐，因此要选择恰当的方法进行计算.不妨巧用整体换元法，那么本题就不难解决了，计算就简便了.

解：令

则原式

七年级数学有理数的混合运算——简便运算技巧（1）江苏科技版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

有理数的混合运算——简便运算技巧（1）

“算对与算巧”

求12399100的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成100999821然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数算不仅要算对更要算巧。

二. 重点、难点：

有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。

三. 基础回顾：

（1）有理数的运算法则：

① 加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。 ② 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

③ 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。 ④ 除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。

⑤ 有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（2）运算律：

① 加法交换律：a＋b＝b＋a。

② 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 ③ 乘法交换律：ab＝ba。 ④ 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）。

⑤ 乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。 （3）运算顺序及注意事项：

① 有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。

② 对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。

③ 应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。

【典型例题】

一. 符号与括号

有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质

符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。 例1. 计算

分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，„„，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。

解：

下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是即

当n为奇数时，上式是

个（－1）的和， ；

个（－1）的和，再加上最后一项

说明：两种情况可以合并为：

二. 巧添辅助数 例2. 计算：解：原式

，所以有

三. 巧用整体 例3． 购买5种物品

，

，

，

，

的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种物品各一件共需多少元？ 解：由已知表格：购买1件以购买2件5件

，7件

，6件，9件

，8件

，3件，10件

，4件，12件

，5件

，6件

共需1995元；所

，

共需2×1995元；又因为购买1件

，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需

2×1995－2984＝1006（元）

说明：设购买物品则

i＝1，2，3，4，5

，① ②

由 2×①－② 得

需要指出的是：我们无法计算每个

，但我们能巧算出

这个整体，

整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。

四. 巧用凑整运算 例4. 计算：

解：原式（209）2008（2000000002）

五. 巧用公式

11111111例5. 计算：22329921002

111111111111 解：原式223310010013249810099101 ××××××××22339999100100

22说明：平方差公式：ab(ab)(ab)

例6. 计算：

(7822)(78278×22222)解：原式 78278×22222

说明：立方差公式： a3b3(ab)(a2abb2) 立方和公式： a3b3(ab)(a2abb2)

完全平方公式： (ab)2a22abb2， (ab)2a22abb2

六. 巧用拆项法

例7. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题） 计算 11111121231234123100＝________

，

，而

，那么本题就不难解

分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为

，同理，

决了。

解：原式＝122222 61220990010100111111111＝2(1)

2233499100100101

1111（）的形式。 说明：形如n（na）的分数，可以拆成anna 例8.

解：应用关系式

原式

来进行“拆项”。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 计算：

12345678910111219971998199920002001

2. 已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，„，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，„，P100所对应的各数之和。 3. 计算：11241124513.8 63536（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。） 4. 求和

1111122222333335859()()()()2345960345596044659605960 （分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。）

5. 计算：2005(

11111) 1223342003200420042005试题答案

1. 解法1 ： 原式

(1234)(5678)(9102212)(1997199819992000)2002(4)×500200120002000解法2：

原式

1a(1i100),则a1,i1,2,100 i2. 解：设对应的数为ii21所以，a1a2a1001111101121222001002100

3. 解：原式

4. 解：原式

11212312359()()()23344460606060

123459222221(12359) 21（159）×59×225. 解：原式

11221) ＝2005(120052004＝2005

2005＝2004

＝2005[(1)()()(1313141111)()] 2003200420042005