勾股定理的证明和应用

勾股定理的证明和应用(总6

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第3章 勾股定理

勾股定理

知识结构：

（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方

（2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明

1.勾股定理

1.在直角三角形中已知两边求第三边

（3）应用

2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高

（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾2.勾股定理股数

的逆定理

（2）勾股数

（1）3,4,5

2.常见的勾股数

（2）5,12,13 （3）8,15,17

求几何体表面上两点间的最短距离

（1）勾股定理的简单应用

3.应用 解决实际应用问题

（2）勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角形

3.1勾股定理

一、求网格中图形的面积

求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。 二、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形

中”这一前提。

（2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。 三、勾股定理的验证

运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。 3.2勾股定理的逆定理

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一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。

（2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。

勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示： 勾股定理 勾股定理的逆定理 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边 a2+b2=c2 勾股定理是以“一个三角形是直角区别 三角形”为条件，进而得到“这个三角形的三边满足a2+b2=c2”，即由“形”到“数” 联系 在△ABC中，a2+b2=c2，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边 ∠C=90° 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形” 条件 结论 都与“一个三角形的三边关系a2+b2=c2”及“直角三角形”有关 二、勾股数

满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。

详解：（1）如：32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5；5,12,13；

6,8,10等。

（2）勾股数必须是正整数。

（3）一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。 （4）记住常用的勾股数可以提高做题速度。 3.3勾股定理的简单应用 一、勾股定理的应用

运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时，应先构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。

注意：应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角

边，以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。 二、勾股定理的逆定理的应用

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在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。 【勾股定理的证明】

例1 如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为a和b，斜边为c，大直角三角形直角边都为c，请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

(1)画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。 (2)用这个图形证明勾股定理。 例2 数学实验室：

实验材料：硬纸板、剪刀、三角板 实验方法：剪裁、拼图、探索 实验目的：验证勾股定理，拼图填空。

操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。

(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和 图③中小正方形的面积(填“大于”“小于”“等于”)，用关系式可表示为 ；

(2)拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小，其关系是 ，用a、b、c可表示为 ；

(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小，其关系是 ，用a、b、c可表示为 . （思考题）如图，在△ABC中AB2=AC2=3，D是BC上一点，且AD=1，则BD?DC= . 【勾股定理的应用】

例1 （基础题）利用勾股定理求三角形的边长

已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b（c为斜边、a、b为直角边） （1）如果a=7，b=24，求c； （2）如果a=15，c=17，求b.

例2 已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长 填空：

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（1）直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5，已知这条直角边的长是12，则斜边长为 .

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=6（c为斜边，a、b为直角边）则c= ，a= .

例3 利用勾股定理说明边的关系

如图，AD是△ABC的中线，试说明：AB2＋AC2=2（AD2＋CD2） 例4 利用勾股定理求面积：

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm， BC＝8cm，现将直角边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，求△ACD的面积是多少?

例5 求等腰三角形底边上的高

如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线，求AD的长。 例6 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＋338=10a＋24b＋26c 试说明：这个三角形是直角三角形。 例7 勾股定理及其逆定理的综合应用：

（1）如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。

（2）、下列几组数中是勾股数的是 （填序号）

AECDBD

A

111①32、42、52 ②5、12、13 ③、、 ④0.9、1.2、1.5

345中线.

①若AC＝1，BC＝2．求证：AD2＋CF2＝BE2；

B C

（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD、BE、CF分别是三边上的

②是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好

是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）

例8 构造直角三角形求角的度数

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3.把△ACP绕C点逆时针旋转90°使点A和点B重合，得到四边形ABDC，求∠BPC的度数。

例9 勾股定理在实际生活中的应用

A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125 km的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动。

（1）已知A市到BC的距离AD=35 km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间?

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（2）如果在距台风中心40 km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长(结算结果精确到1分钟) 例10 最短路径问题

1、有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 .

2、如图1，长方体的长为20，宽为10，高为25，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 .

4、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

总结1：利用勾股定理求最短路径问题都转化为两个方面：

（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短。 总结2：利用勾股定理求最短路径问题一般步骤：

（1）画出展开图；（2）确定点的位置；（3）连接线段；（4）用勾股定理求解。 简化步骤是：①画图 ②定点 ③连线 ④求解

注意：如果不是两个相对顶点的最短路径，不能用之前给的公式去求解。 例11 探究题 1、探索与研究：

方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

2、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠

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C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3；

（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系； （3）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．

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