临海市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临海市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（ ） A．（﹣∞，]

B．（﹣∞，） C．（﹣∞，0]

D．（﹣∞，0）

2． 自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（ ）

A．8x6y210 B．8x6y210 C．6x8y210 D．6x8y210

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

3． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（ ） A．1

B．

C．

D．

4． 将函数f=sin2x的图象向右平移（x）A．

B．

C．

个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（ ）

D． =（2，4），

=（1，3），则

等于（ ）

5． 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，

A．（2，4） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣2，﹣4）

6． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2 A．30° B．60° C．120° D．150° 7． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A．

B．y=x2 C．y=﹣x|x| D．y=x﹣2

sinB，则A=（ ）

8． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

9． 下列命题的说法错误的是（ ）

A．若复合命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0

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精选高中模拟试卷

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” 10．设复数z满足z（1+i）=2（i为虚数单位），则z=（ ）

A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

11．若{an}为等差数列，Sn为其前项和，若a10，d0，S4S8，则Sn0成立的最大自 然数为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14 12．已知点F1，F2为椭圆

则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．（0，） B．（0，] C．（，] D．[，1）

的左右焦点，若椭圆上存在点P使得

，

二、填空题

113．已知函数fxx3mx,gxlnx.mina,b表示a,b中的最小值，若函数

4hxminfx,gxx0恰有三个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．

14．已知i是虚数单位，复数的模为 ．

15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是 ．

216．设抛物线y4x的焦点为F，A,B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若PF3，则M点的横坐标为 . 217．设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是 ．

18．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．

三、解答题

19．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点． （1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；

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（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．

20．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i（m∈R） （1）若z是实数，求m的值； （2）若z是纯虚数，求m的值；

（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

21．等差数列{an}的前n项和为Sn．a3=2，S8=22． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

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22．已知等差数列{an}，满足a3=7，a5+a7=26． （Ⅰ）求数列{an}的通项an； （Ⅱ）令bn=

23．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，

*

（n∈N），求数列{bn}的前n项和Sn．

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24．（本小题满分12分）

33a21x9x无极值点. 设p：实数满足不等式3a9，：函数fxx332（1）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数的取值范围；

11（2）已知“pq”为真命题，并记为，且：a22mamm0，若是t的必要不充分

条件，求正整数m的值．

22第 5 页，共 15 页

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临海市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】 B

【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解， ∴mx＜2lnx，即＜令h（x）=

在[1，e]上有解，

，

，则h′（x）=

∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0， ∴h（x）max=h（e）=， ∴＜h（e）=， ∴m＜．

∴m的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B．

【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

2． 【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQPCQC3． 【答案】D

222，则由PQPO，得，

(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D，

【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2）， ∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2）， 2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）， 又k+与2﹣互相垂直， ∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=． 故选：D．

【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．

4． 【答案】D

【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移考察选项不难发现：

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个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；

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当x=∴（

时，sin（2×﹣）=0；

，0）就是函数的一个对称中心坐标．

故选：D．

【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．

5． 【答案】C

【解析】解：∵∴故选：C．

【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．

6． 【答案】A 【解析】解：∵sinC=2

22∵a﹣b=

，

=（﹣3，﹣5）．

=

sinB，∴c=2

=

b，

=

bc，∴cosA=

∵A是三角形的内角 ∴A=30° 故选A．

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．

7． 【答案】D 【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件； 函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件； 故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

8． 【答案】A

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【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，

取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，

故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选：A．

【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．

9． 【答案】A

【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确； B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确． 故选：A．

10．【答案】A

【解析】解：∵z（1+i）=2，∴z=故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

11．【答案】A 【解析】

=

=1﹣i． ．

考

点：得出数列的性质及前项和．

【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“a10，d0”判断前项和的符号问题是解答的关键．

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12．【答案】D 【解析】解：由题意设解得x=

，故|

|=

，|

|=

，

=2x，则2x+x=2a，

当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得 4c2=

+

﹣2×

×

×cos∠F1PF2， ﹣

＜

＜1，即

2

2

由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c=

cos∠F1PF2∈（＜e＜1，∴

=

；

＜e＜1；

，），

即2＜4c＜，∴

当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e=综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[故选：D

，1）

【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．

二、填空题

5313．【答案】,

44【解析】

2试题分析：fx3xm，因为g10，所以要使hxminfx,gxx0恰有三个零点，须满足

f10,f(5m153m)0,m0，解得m,m 343244考点：函数零点

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 14．【答案】

．

=

=i﹣1的模为

=

．

【解析】解：∵复数故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

15．【答案】

．

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【解析】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半， 由几何概型的计算方法，

可以得出所求事件的概率为P=， 故答案为：．

【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．

16．【答案】2

【解析】由题意，得p2，F(1,0)，准线为x1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的方程为yk(x1)，

2k24代入抛物线方程消去y，得kx(2k4)xk0，所以x1x2，x1x21．又设P(x0,y0)，2k112112则y0(y1y2)[k(x11)k(x21)]，所以x02，所以P(2,)．

22kkkk13因为|PF|x0121，解得k22，所以M点的横坐标为2．

k2222217．【答案】 [0，2] ．

【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|， 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1， 求得0≤m≤2， 故答案为：[0，2]．

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．

18．【答案】 2：1 ．

【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r， 所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl

所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1

=πrl

三、解答题

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19．【答案】

22

【解析】解：（1）设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0

22

圆的方程为x+y﹣8y﹣9=0…

（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点 则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD， 又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD 又OC=OB，所以△BOD≌△COD ∴∠OCD=∠OBD=90°

即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切． … （其他方法亦可）

20．【答案】

2

【解析】解：（1）z为实数⇔m+2m﹣3=0，解得：m=﹣3或m=1；

（2）z为纯虚数⇔

（3）z所对应的点在第四象限⇔

21．【答案】

，解得：m=0；

，解得：﹣3＜m＜0．

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=2，S8=22．

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∴，

解得，

．

∴{an}的通项公式为an=1+（n﹣1）=（2）∵bn=∴Tn=2=2=

．

=

=﹣+…+

，

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公差为d， ∵a5+a7=26 ∴a6=13，

，

∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1； （Ⅱ）由（1）可知∴

23．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1， 又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1）， 设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以

=（

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

，，﹣1），

．

，

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∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；

．

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））． 由题可知面ABC的法向量=（0，0，1）， ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得

或

=

，即

，

=

，

（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．

24．【答案】（1）aa1或2a5；（2）m1.

【解析】

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（1）∵“pq”为假命题，“pq”为真命题，∴p与只有一个命题是真命题． a2若p为真命题，为假命题，则a1．………………………………5分

a1或a5a22a5．……………………………………6分 若为真命题，p为假命题，则1a5于是，实数的取值范围为aa1或2a5．……………………………………7分

第 14 页，共 15 页

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考点： 1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件.

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