临海市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 已知函数f(x)=m(x﹣)﹣2lnx(m∈R),g(x)=﹣,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,则实数m的范围是( ) A.(﹣∞,]
B.(﹣∞,) C.(﹣∞,0]
D.(﹣∞,0)
2. 自圆C:(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的长,则点P轨迹方程为( )
A.8x6y210 B.8x6y210 C.6x8y210 D.6x8y210
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.
3. 已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2)且k+与2﹣互相垂直,则k的值是( ) A.1
B.
C.
D.
4. 将函数f=sin2x的图象向右平移(x)A.
B.
C.
个单位,得到函数y=g(x)的图象,则它的一个对称中心是( )
D. =(2,4),
=(1,3),则
等于( )
5. 在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,
A.(2,4) B.(3,5) C.(﹣3,﹣5) D.(﹣2,﹣4)
6. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2﹣b2=bc,sinC=2 A.30° B.60° C.120° D.150° 7. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A.
B.y=x2 C.y=﹣x|x| D.y=x﹣2
sinB,则A=( )
8. 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ) A.
B.
C.
D.
9. 下列命题的说法错误的是( )
A.若复合命题p∧q为假命题,则p,q都是假命题 B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C.对于命题p:∀x∈R,x2+x+1>0 则¬p:∃x∈R,x2+x+1≤0
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D.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0” 10.设复数z满足z(1+i)=2(i为虚数单位),则z=( )
A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
11.若{an}为等差数列,Sn为其前项和,若a10,d0,S4S8,则Sn0成立的最大自 然数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14 12.已知点F1,F2为椭圆
则此椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,] C.(,] D.[,1)
的左右焦点,若椭圆上存在点P使得
,
二、填空题
113.已知函数fxx3mx,gxlnx.mina,b表示a,b中的最小值,若函数
4hxminfx,gxx0恰有三个零点,则实数m的取值范围是 ▲ .
14.已知i是虚数单位,复数的模为 .
15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边CD上,若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率是 .
216.设抛物线y4x的焦点为F,A,B两点在抛物线上,且A,B,F三点共线,过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若PF3,则M点的横坐标为 . 217.设m是实数,若x∈R时,不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立,则m的取值范围是 .
18.一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是 .
三、解答题
19.已知A(﹣3,0),B(3,0),C(x0,y0)是圆M上的三个不同的点. (1)若x0=﹣4,y0=1,求圆M的方程;
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(2)若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点,直线x=3交直线AC于点R,线段BR的中点为D.判断直线CD与圆M的位置关系,并证明你的结论.
20.已知复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i(m∈R) (1)若z是实数,求m的值; (2)若z是纯虚数,求m的值;
(3)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.
21.等差数列{an}的前n项和为Sn.a3=2,S8=22. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和Tn.
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22.已知等差数列{an},满足a3=7,a5+a7=26. (Ⅰ)求数列{an}的通项an; (Ⅱ)令bn=
23.直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1,D为棱A1B1上的点. (1)证明:DF⊥AE;
(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在,说明理由.
?若存在,说明点D的位置,
*
(n∈N),求数列{bn}的前n项和Sn.
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24.(本小题满分12分)
33a21x9x无极值点. 设p:实数满足不等式3a9,:函数fxx332(1)若“pq”为假命题,“pq”为真命题,求实数的取值范围;
11(2)已知“pq”为真命题,并记为,且:a22mamm0,若是t的必要不充分
条件,求正整数m的值.
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临海市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参) 一、选择题
1. 【答案】 B
【解析】解:由题意,不等式f(x)<g(x)在[1,e]上有解, ∴mx<2lnx,即<令h(x)=
在[1,e]上有解,
,
,则h′(x)=
∵1≤x≤e,∴h′(x)≥0, ∴h(x)max=h(e)=, ∴<h(e)=, ∴m<.
∴m的取值范围是(﹣∞,). 故选:B.
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
2. 【答案】D
【解析】由切线性质知PQCQ,所以PQPCQC3. 【答案】D
222,则由PQPO,得,
(x3)2(y4)24x2y2,化简得6x8y210,即点P的轨迹方程,故选D,
【解析】解:∵ =(1,1,0),=(﹣1,0,2), ∴k+=k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2), 2﹣=2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2), 又k+与2﹣互相垂直, ∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k=. 故选:D.
【点评】本题考查空间向量的数量积运算,考查向量数量积的坐标表示,是基础的计算题.
4. 【答案】D
【解析】解:函数y=sin2x的图象向右平移考察选项不难发现:
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个单位,则函数变为y=sin[2(x﹣)]=sin(2x﹣);
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当x=∴(
时,sin(2×﹣)=0;
,0)就是函数的一个对称中心坐标.
故选:D.
【点评】本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理能力,常考题型.
5. 【答案】C
【解析】解:∵∴故选:C.
【点评】本题考查向量的基本运算,向量的坐标求法,考查计算能力.
6. 【答案】A 【解析】解:∵sinC=2
22∵a﹣b=
,
=(﹣3,﹣5).
=
sinB,∴c=2
=
b,
=
bc,∴cosA=
∵A是三角形的内角 ∴A=30° 故选A.
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,解题的关键是边角互化,属于中档题.
7. 【答案】D 【解析】解:函数
为非奇非偶函数,不满足条件;
函数y=x2为偶函数,但在区间(0,+∞)上单调递增,不满足条件; 函数y=﹣x|x|为奇函数,不满足条件;
函数y=x﹣2为偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,满足条件; 故选:D
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于基础题.
8. 【答案】A
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【解析】解:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10个,
取出的3个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共3个,
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选:A.
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件.
9. 【答案】A
【解析】解:A.复合命题p∧q为假命题,则p,q至少有一个命题为假命题,因此不正确; B.由x2﹣3x+2=0,解得x=1,2,因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,正确; C.对于命题p:∀x∈R,x2+x+1>0 则¬p:∃x∈R,x2+x+1≤0,正确;
D.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”,正确. 故选:A.
10.【答案】A
【解析】解:∵z(1+i)=2,∴z=故选:A.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题.
11.【答案】A 【解析】
=
=1﹣i. .
考
点:得出数列的性质及前项和.
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用,其中解答中涉及到等差数列的性质,等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档题,本题的解答中,由“a10,d0”判断前项和的符号问题是解答的关键.
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12.【答案】D 【解析】解:由题意设解得x=
,故|
|=
,|
|=
,
=2x,则2x+x=2a,
当P与两焦点F1,F2能构成三角形时,由余弦定理可得 4c2=
+
﹣2×
×
×cos∠F1PF2, ﹣
<
<1,即
2
2
由cos∠F1PF2∈(﹣1,1)可得4c=
cos∠F1PF2∈(<e<1,∴
=
;
<e<1;
,),
即2<4c<,∴
当P与两焦点F1,F2共线时,可得a+c=2(a﹣c),解得e=综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[故选:D
,1)
【点评】本题考查椭圆的简单性质,涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想,属中档题.
二、填空题
5313.【答案】,
44【解析】
2试题分析:fx3xm,因为g10,所以要使hxminfx,gxx0恰有三个零点,须满足
f10,f(5m153m)0,m0,解得m,m 343244考点:函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 14.【答案】
.
=
=i﹣1的模为
=
.
【解析】解:∵复数故答案为:
.
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.
15.【答案】
.
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【解析】解:由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半, 由几何概型的计算方法,
可以得出所求事件的概率为P=, 故答案为:.
【点评】本题主要考查了几何概型,解决此类问题的关键是弄清几何测度,属于基础题.
16.【答案】2
【解析】由题意,得p2,F(1,0),准线为x1,设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线AB的方程为yk(x1),
2k24代入抛物线方程消去y,得kx(2k4)xk0,所以x1x2,x1x21.又设P(x0,y0),2k112112则y0(y1y2)[k(x11)k(x21)],所以x02,所以P(2,).
22kkkk13因为|PF|x0121,解得k22,所以M点的横坐标为2.
k2222217.【答案】 [0,2] .
【解析】解:∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|(x﹣m)﹣(x﹣1)|=|m﹣1|, 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立,可得|m﹣1|≤1,∴﹣1≤m﹣1≤1, 求得0≤m≤2, 故答案为:[0,2].
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想,属于基础题.
18.【答案】 2:1 .
【解析】解:设圆锥、圆柱的母线为l,底面半径为r, 所以圆锥的侧面积为:圆柱的侧面积为:2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为:2:1 故答案为:2:1
=πrl
三、解答题
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19.【答案】
22
【解析】解:(1)设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0
22
圆的方程为x+y﹣8y﹣9=0…
(2)直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点 则OD∥AR,∴∠CAB=∠DOB,∠ACO=∠COD, 又∠CAO=∠ACO,∴∠DOB=∠COD 又OC=OB,所以△BOD≌△COD ∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC⊥CD,则直线CD与圆M相切. … (其他方法亦可)
20.【答案】
2
【解析】解:(1)z为实数⇔m+2m﹣3=0,解得:m=﹣3或m=1;
(2)z为纯虚数⇔
(3)z所对应的点在第四象限⇔
21.【答案】
,解得:m=0;
,解得:﹣3<m<0.
【解析】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=2,S8=22.
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∴,
解得,
.
∴{an}的通项公式为an=1+(n﹣1)=(2)∵bn=∴Tn=2=2=
.
=
=﹣+…+
,
22.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)设{an}的首项为a1,公差为d, ∵a5+a7=26 ∴a6=13,
,
∴an=a3+(n﹣3)d=2n+1; (Ⅱ)由(1)可知∴
23.【答案】
【解析】(1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB, 又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面A1ACC1, 又∵AC⊂面A1ACC1,∴AB⊥AC,
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,
则有A(0,0,0),E(0,1,),F(,,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1), 设D(x,y,z),则 D(λ,0,1),所以
=(
且λ∈,即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0),
,,﹣1),
.
,
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∵=(0,1,),∴•==0,所以DF⊥AE;
.
(2)结论:存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下:
设面DEF的法向量为=(x,y,z),则∵
=(
,,),
=(
,﹣1),
,
∴,即,
令z=2(1﹣λ),则=(3,1+2λ,2(1﹣λ)). 由题可知面ABC的法向量=(0,0,1), ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos<,>|=解得
或
=
,即
,
=
,
(舍),所以当D为A1B1中点时满足要求.
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用,建立空间直角坐标系是解决问题的关键,属中档题.
24.【答案】(1)aa1或2a5;(2)m1.
【解析】
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(1)∵“pq”为假命题,“pq”为真命题,∴p与只有一个命题是真命题. a2若p为真命题,为假命题,则a1.………………………………5分
a1或a5a22a5.……………………………………6分 若为真命题,p为假命题,则1a5于是,实数的取值范围为aa1或2a5.……………………………………7分
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考点: 1、不等式;2、函数的极值点;3、命题的真假;4、充要条件.
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