多元函数微分法及其应用

高等数学（二）第九章多元函数微分法及其应用第十章二重积分第十章三重积分第十一章曲线积分第十一章曲面积分第十二章无穷级数第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数基本的概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数求导法则第五节隐函数的求导公式第八节多元函数的极值及其求法第一节一、多元函数的概念多元函数的基本概念⒈平面区域

所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成一片的图形。围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。包含边界的区域称为闭区域；不包含边界的区域称为开区域；只包含部所分边界的区域称为半开区域。在平面上建立了直角坐标系后，区域通常可用含有点的坐标(x,y)的一个或几个不等式来表示。例如：D1(x,y)|xy1开区域（开圆）y22oxD2(x,y)|xy1;例1

22D3(x,y)|0yx,x02闭区域（闭圆）yyoxo开区域xD4(x,y)|x0,yx,xy1y例2

22半开区域ox对于区域D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使D全部包含在这圆内，则称D为有界区域，否则称为无界区域。⒉邻域

设P0(x0,y0)是xOy平面上的一点，是某一正数，与点P0的距离小于的点P(x,y)所成的集合，称为点P0的邻域，记作N(P0,){(x,y)|(xx0)(yy0)}在几何上，N(P0,)是xOy平面上以点P0(x0,y0)为圆心，为半径的圆内的点所成的集合。yy22·P00N(P0,)0。P0ˆ0,)N(Pxx⒊二元函数的概念

定义：设D是xOy面上的一个点集，对任意的点(x,y)D，变量z按照某个对应关系f总有唯一确定的数值与之对应，则称z是x，y的二元函数，记为zf(x,y)称x，y为自变量，z为因变量，点集D称为该函数的定义域，数集{z|zf(x,y),(x,y)D}称为该函数的值域。函数zf(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，记为f(x0,y0)，z|xx0，z|(x0,y0)yy0⒋二元函数定义域的求法

二元函数的两个要素：定义域和对应关系。对由解析式给出的函数zf(x,y)，它的定义域是使函数表达式有意义的点(x,y)的全体，可用不等式或不等式组表示；对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它的范围。例1：求下列函数的定义域并用图形表示

例1（1）

xy3⑴z22ln(4xy)解：要使该函数的表达式有意义，必须有22xy3022224xy0，即3xy44x2y21故所求函数的定义域是22yo2232xD(x,y)|3xy4y⑵zarcsinxarcsin2解：要使该函数的表达式有意义，必须有y2例1（2）

1x1，即y1121x12y2－1o－21xD(x,y)|1x1,2y2例1（3）

⑶zxy解：定义域为D(x,y)|x0,y0,x2yyoxx例2：⑴二元函数f(x,y)xy，则f(1,1)2y⑵若zx3；.1y，则z|(22,1)32y22例3：设f(xy,)xy，求f(x,y).x解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对f中的表达式作变量替换。uuvy令uxy,v，则x,y1v1vxu(1v)x(1y)，所以f(x,y)从而f(u,v).1v1y2222设例4：f(xy,xy)x3xyy3，求f(y,1).解：首先应求出函数表达式f(x,y).求函数表达的另一个常用的方法是将等号右边的表达式用f 中的表达式xy,xy来表示。2f(xy,xy)(xy)5xy3f(x,y)x5y3则2f(y,1)y53y222⒋二元函数的几何意义

设二元函数zf(x,y)的定义域为D，对(x,y)D，空间中的点(x,y,f(x,y))构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为函数zf(x,y)的图象。zM·zf(x,y)0xyy·Dx二、二元函数的极限

定义：设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，P(x,y)是该邻域内的任意一点，如果当点P(x,y)沿任意路径无限趋近于点p0时，相应的函数值f(x,y)无限地趋近于一个确定的常数A，则称当P(x,y)P0(x0,y0)时，函数f(x,y)以A 为极限，记为limf(x,y)A或xx0yy0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A.注意：⑴定义中的点P(x,y)P0(x0,y0)时，是指点P可以沿任何方向、任何途径无限地趋近于p0，而一元函数极限中的xx0是指x 沿x 轴无限趋近于x0；⑵如果点P只取某些特殊方式，函数值逼近某一确定值，并不能断定函数的极限一定存在；而当点P沿不同方式趋于点p0时，函数值逼近不同的值，则极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)不存在。例5：讨论二元函数例5

xy22,xy022f(x,y)xy220,xy0当(x,y)(0,0)时的极限。x00解：由于limf(x,y)lim2lim20,2x0x0x0x0xy0xxx1limlimf(x,y)lim222x0xxx02xx02yx2所以limf(x,y)不存在。x0y0练习

xy练习：问lim22是否存在？2x0xy(xy)y022xy0解：因为lim22lim0,x0xy(xy)2x00x2y022xyxlim22lim41,2x0xy(xy)x0x0yx224xy所以lim22不存在。2x0xy(xy)y022说明

有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的叙述，仅在后面举例说明。三、二元函数的连续性

定义：设二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果xx0yy0limf(x,y)f(x0,y0)则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。如果二元函数zf(x,y)在区域D上的每一点都连续，则称函数zf(x,y)在D 上连续。区域D 上连续的二元函数的图象是一张不间断、无裂缝的曲面。二元函数连续函数的性质

如果二元函数zf(x,y)在有界闭区域D上连续，则该函数在D上一定能取到最大值和最小值。由常数、x 或y 的基本初等函数，经过有限次的四则运算和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。四、求二元函数极限的常用方法：例6

⑴利用二元初等函数的连续性ecosy.例6：求lim2x0xy21y0xyecosy2，解：函数f(x,y)2是初等函数，它的定义域是R2xy1根据初等函数的连续性知，函数在点(0,0)处连续，因此xyecosylim2f(0,0)12x0xy1y0xy例7、8

⑵通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例7：求limx0y0xyxy11解：令uxy原式limu0ulim(u11)2u11u0221例8：求lim(xy)sin22x0xyy01解：令uxy，原式limusin0u0u22xsiny例9：求limx0xy3例9

xxsinsin1yy解：原式limlimlimxx0y3yx0xyy3y3yy11133⑶若事先已肯定f(x,y)在点P0 处极限存在，则可使P 沿一殊途径趋于P0而求出其极限。例10

例10：lim(1x0y01xy)x()（A）e （B）0 （C）y （D）1解：原式lim(1x0yx1xy)xlim(1x012xx)lim(1x01x2x2x)e10第二节偏导数一、偏导数的概念及其计算⒈偏导数的定义

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，固定yy0,得到一个一元函数f(x,y0). 若自变量x 有增量x，相应地函数z 有关于x 的增量（称为偏增量）xzf(x0x,y0)f(x0,y0)偏导数的定义

f(x0x,y0)f(x0,y0)存在，则称此极限值为函数如果limx0xzf(x,y)在点(x0,y0)处对x 的偏导数，记作zxfxx0,xyy0xx0yy0,zxxx0yy0(x0,y0),或fx等四式中的某一式。偏导数的定义（续1）

同理，函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y 的偏导数定义为f(x0,y0y)f(x0,y0)limy0y记作zyxx0yy0,fyxx0yy0,zyxx0yy0,或(x0,y0).fy如果函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数偏导数的定义（续2）

都存在，那么这样的偏导数是x、y 的函数，称为函数zf(x,y)对自变量x 的偏导函数（简称偏导数），记作z,xf,xzx或fx(x,y).类似地可以定义函数zf(x,y)对自变量y 的偏导数，记作zf,,zyyy或(x,y).fyxx0yy0(x0,y0)fx(x,y)显然，fxxx0yy0(x0,y0)fy(x,y),fy122(xy)sin,(x,y)(0,0),22xy例1：设f(x,y)求0,(x,y)(0,0),例1

(0,0).fxf(0x,0)f(0,0)解：fx(0,0)limx0xxsinlimx0212xx0limxsinx01x20.sin(2x2y2),y0,y练习（2011专插本）设f(x,y)则0,y0,练习

(0,0)fyA. -1 B. 0 C. 1 D. 2f(0,0y)f(0,0)(0,0)lim解：fyy0ysin(y)02sinyylimlim1.y0y2y0y2⒉偏导数的求法

由偏导数的定义可知，求二元函数zf(x,y)的偏导数，并不需要新的方法。对二元函数f(x,y)的某一个自变量（如x）求偏导数时，只要把另一个自变量（如y）看作常数，而对该自变量x 用一元函数的求导方法求得结果。偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。例2

例2：求函数zx3xyy在点(1,2)处的偏导数。224z解：因为2x6xy,xz233x4y.yx1y2z所以xzyx1y2(2x6xy)14,x1y2(3x4y)23x1y235.(1,0).例3：设f(x,y)(1xy)ln(1xy)，求fx分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将y22该点的坐标代入，即求出偏导函数在该点的函数值。此外，由函数在一点的偏导数定义，求fx(1,0)，可以先把y 的值代入求得f(x,0)，然后求f(x,0)关于x 在x1处的导数。解：f(x,0)ln(1x)，则22x(x,0)fx21x所以2x(1,0)fx|12x11x例4：求函数f(x,y,z)zx在点(1,1,1)处的偏导数。y例4

解：因为f(x,1,1)x,fx(x,1,1)1.所以fx(1,1,1)1.xf(x,y,z)(y1)z1因为f(1,y,1),f(1,1,z)1.y1(1,1,z)0.(1,y,1)2,fzfyy(1,1,1)1,fz所以fy(1,1,1)0.例5：求下列函数的偏导数.⑴zexyysin;2u

例5（1）

zyxy解：(e)x(sin)xx2exy(xy)x0yexy,yyzxye(xy)ycos()y22yxexy1ycos.22⑵zxy(x0,x1)例5（2）

zy1解：yx,xzyxlnx.yxy⑶zxy22例5（3）解法一

xy解法一：zyxz1yxy22xyxyx222zx1yx22yxyxy2xy⑶zxy22例5（3）解法二

z解法二：x22(xy)xxy(xy)(xy)x22xy22222222xy(xy)yxy,222xyxyz(xy)yxy(xy)(xy)y22yxy22222xy(xy)xyx.222xyxy22222⑷z(xsiny)x例5（4）

zxln(xsiny)解：[e]xxx(xsiny)[xln(xsiny)]x(xsiny){ln(xsiny)x[ln(xsiny)]x}xx(xsiny)[ln(xsiny)(xsiny)x]xsinyxx(xsiny)[ln(xsiny)]xsinyzx[(xsiny)]yyx1x(xsiny)(xsiny)yxxcosy(xsiny)x1⑸zxxy例5（5）

解：由zexylnx，得yyyzxyxy1y1xlnxlnxx)(e)xx(xlnx)xx(yxxxxyxy1(ylnx1)yzxylnxxyyxy2(e)yx(xlnx)yxxlnxy例6：设z(x,y)满足例6

1zxsiny1xyz(1,y)siny求z(x,y).(1)(2)分析：实质上这是一元函数的积分问题。当y任意给定时，求z(x,y)就是x的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有y的任意函数，要由z(1,y)siny定出这个任意函数。解：将等式⑴两边对x求积分，得11z(x,y)xsinyd(1xy)y1xy1z(x,y)xsinyln|1xy|(y)y其中(y)为待定函数。由⑵式，得例6（续）

1sinyln|1y|(y)sinyy1(y)2sinyln|1y|y故11因此，z(x,y)xsinyln|1xy|2sinyln|1y|yy11z(x,y)xsiny1d(1xy)1yy1xy(2x)sinylny1xy例7：理想气体的状态方程为PV = RT，其中R 为常数，求证：PVT1VTPRTRTPV证：由状态方程可得P,V,TVPRPRTVRTV从而2,,VTPPRVPVTRTRV故21VTPPRVdy注意：对一元函数来说，既可看作导数的整体记号，也可理dxzz)则只能看成整体解为“微商”。但对二元函数而言，(或xy记号，不能理解为z与x之商。例7

⒊偏导数存在与函数连续性

对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。xy22,xy022例如，函数f(x,y)xy220,xy0在点(0,0)处两个偏导数均存在，事实上f(0x,0)f(0,0)00(0,0)limfxlim0x0x0xxf(0,0y)f(0,0)00(0,0)limfylim0y0y0yy但f(x,y)在点(0,0)并不连续。（见§7.1 例5）偏导数存在与函数连续性（续）

又如，函数zxy在点(0,0)处是连续的（圆锥、无裂缝），但在点(0,0)的偏导数不存在。z 22o x y ⒋偏导数的几何意义

设曲面的方程为zf(x,y)，M0(x0,y0,z0)是该曲面上的一点，过点M0作平面yy0，截此平面得一条曲线，其方程为z zf(x,y)0zf(x,y0),yy0..MTxx0Ty(x0,y0)表示上述则偏导数fx曲线在点M0处的切线M0Tx 对x 轴正向的斜率。同理，偏导o y0y x (x0,y0)就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的数fy的切线M0Ty对y 轴正向的斜率。22z1xy例8：求曲线在点(1,1,3)处的切线与x 轴y1例8

正向所成的倾角。解：所给的曲线是曲面z1xy与平面y1的交线，根据偏导数的几何意义，该曲线在点(1,1,3)处的切线关于x 轴的斜率为22zKtan|x1xy1x1xy22|x1y13.3所以.6二、高阶偏导数

设函数zf(x,y)在区域D 内具有偏导数zz(x,y),(x,y)fxfyxy(x,y)、fy(x,y)都是x、y的函数。如果这两那么，在D 内fx个函数的偏导数也存在，则称它们是函数zf(x,y)的二阶偏导数。二元函数二阶偏导数的记号

二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：zzxfxx(x,y)2zxxxxzzyfxy(x,y)zxyxxy22zzxfyx(x,y)zyxyyxzzyfyy(x,y)2zyyyy22对不同自变量的二阶偏导数，称为二阶混合偏导数。

类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至n 阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三元以上的函数。高阶偏导数

例9：求函数z2x3xy5xy13的二阶偏导数。例9

42解：因为z328x3y5y,xz224x,2x2z6xy5x.y2所以z6y5,xyz6y5,yx2z6x.2y2例10：求函数zln(xy)的二阶偏导数。22z2xz2y解：因为2,2,22xxyyxy2222例10

所以z2x2(xy)2x2x2y2x()2,222x22222xxy(xy)(xy)z2y2(xy)2y2y2x2y(),y222222222yxy(xy)(xy)2222224xyz2x(2),y2222xyxy(xy)4xyz2y(2),x2222yxxy(xy)22从上例的解中可以看到，函数zln(xy)的两个混合22zz偏导数、虽然对x 和y 的求导次序不同，但它们xyyx定理

22是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数zf(x,y)是否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。定理：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。对初等函数的混合偏导数而言，一般都是连续的，这是y(x,y)fyx(x,y).就与求导次序无关，因此有fx练习：

1z2;⑴设zcos(xy)ln(1y),求2xy22练习

z.⑵设zxy,求xyyx2z11解：⑴2cos(xy)[sin(xy)]sin(2xy)x22z[sin(2xy)]ycos(2xy)xy2z.⑵设zxy,求xyyx2练习（续）

zy1xyxy1x解：yxyxylnyxy(yxlny)xzy1x[xy(yxlny)]yxy2xxy1lnxy(yxlny)xxy(1)yxy1xyx1(yxlny)y1xxy1x1y(xlnyylnxxylnxlnyxyxy)22第三节全微分一、全微分的概念（全增量）

⒈二元函数的全增量

设zf(x,y)，记zf(xx,yy)f(x,y)，称为二元函数zf(x,y)的全增量。zf(x,y)x：x y：y z：f(x,y)xxyyf(xx,yy)全微分的定义

⒉全微分的定义

设函数zf(x,y)在点(x,y)的某个邻域内有定义，且zz、存在。如果limx0xyzzz(xy)xy(x)(y)220，则y0zzxy为称函数zf(x,y)在(x,y)处可微，并称xy函数zf(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz，即zzdzxy.xy由于x、y 都是自变量，所以xdx,ydy.则全微分的概念（续）

zzdzdxdyxy如果函数zf(x,y)在区域D内每一点处都可微，则称该函数在区域D内可微。二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数如：若uf(x,y,z)存在全微分，则有uuududxdydzxyzdu(x0,y0,z0)uxu(x0,y0,z0)dxyu(x0,y0,z0)dyz(x0,y0,z0)dz例1：求函数z4xy5xy的全微分。326例1

zz36225解：因为4y10xy,12xy30xy.xy故所求的全微分dz(4y10xy)dx(12xy30xy)dy.36225例2：求函数zexy在点(2,1)处的全微分。例2

zxy解：因为ye,xz2所以，|(2,1)e,xzxyxe,yz2|(2,1)2e.y故所求全微分dze2dx2e2dy.yxx(lnylnx)例3：设f(lnx,)，求df|(1,1).xyxlnxulnx解：令y，则vx从而f(u,v)xuxeuyve2例3

e2uelnvuuuveueelnvuvuelny即f(x,y)xyexee由f(x,1)，得fx，从而fx(x,1)(1,1).24x1(x1)xxelny由f(1,y)，得1y1(1y)(elny)y(1,y)fy2(1y)例3（续）

2e(1,1)fy4所以，df|(1,1)e2edxdy.44例4

z1x.例4：已知dzedx2edy，求xyyyz1解：exy2xyxyxyxy211x11xz1(e)y2ee()y2ee2yyyxyyyyyx2e(1)yy1xyxyxyxyxy例5：求函数zxy在点(2,1)处，当x0.02,y0.01时的全增量及全微分的值.解：全增量zf(2.02,1.01)f(2,1)例5

232.02(1.01)2(1)zxy(2,1)xfy(2,1)y全微分dzfxx ：2 → 2.02(4)(0.02)-12(-0.01)y ：1 → 1.0123230.21230.20z ：f(2, -1) → f( 2.02, -1.01)误差dzz0.20(0.21)0.01二、可微、可导、连续的相互关系

关于二元函数的可微性有如下结果：设函数zf(x,y)，则zz在点(x,y)连续,xy（证明略）zf(x,y)在点(x,y)可微zf(x,y)在点(x,y)连续zz,在点(x,y)处均存在xy例6

例6：考察函数f(x,y)存在？是否可微？|xy|在点(0,0)处偏导数是否f(0x,0)f(0,0)00解：因为limlim0.x0x0xx(0,0)0.所以，fx(0,0)0.同理，fy即f(x,y)在点(0,0)处的两个偏导数存在。而x0y0lim(0,0)xfy(0,0)y]z[fx(x)(y)|x||y|(x)(y)2例6（续）

22limx0y0.2f(x,y)|xy|因为x0yxlim10,222(x)(y)|x||y|所以函数f(x,y)|xy|在点(0,0)处不可微。练习：试证函数练习

122(xy)sin,(x,y)(0,0),22xyf(x,y)(x,y)(0,0)0,的偏导数在(0,0)的邻域内均存在，但在(0,0)处它的偏导数不连续，而函数f(x,y)却在(0,0)处可微。第四节多元复合函数与隐函数的微分法一、多元复合函数的求导法则

一、多元复合函数求导法则

定理：设函数zf(u,v),u(x,y),v(x,y)复合而得复合函数zf[(x,y),(x,y)]，其复合关系图如下：zzf(u,v)uvu(x,y)v(x,y)xyxy若u(x,y),v(x,y)都在点(x,y)具有对x、y的偏导数，函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数在点(x,y)的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：zzuzvzzuzv.,xuxvxyuyvy⑴设zf(u,v),u(x),v(x)，则zf[(x),(x)]多元复合函数求导法则（续1）

是x 的一元函数。其复合关系图如下：zzf(u,v)uvu(x)v(x)xx则dzzduzdv.dxudxvdx⑵设由zf(u,y),u(x,y)得复合函数zf[(x,y),y]多元复合函数求导法则（续2）

其复合关系图如下：zzf(u,y)uyu(x,y)xy则zfuzfuf,.xuxyuyyzz,.例1：设zesinv,uxy,vxy,求xyu例1

解：zzeusinvuvuxyvxyxyxyzuuxye(sinv)yecosve[ysin(xy)cos(xy)]xzxyuue(sinv)xecosve[xsin(xy)cos(xy)]ydz.例2：设zuv,ue,vcosx,求全导数dx2x例2

dz2x解：v2eu(sinx)dx2ecosxesinx2x2xzzuvuue2xxxvvcosxzz,.例3：设zxsinv2xe,vxy,求xy2v22例3

解：zzxsinv2xe2vxvvx2y2xyzv(sinv4x)(xcosve)2x,xzv(xcosve)2y.yyzz,.例4：设函数zf(u)可导,uxy,求xxyzf(u)yuxyx例4

xy解：zuzy1f(u)(y2)y(12)f(u),xxxz1f(u)(x).yxyzz,.例5：设zf(xy,)可微,求xxy22例5

y解：令uxy,v，则zf(u,v).x22zy2xfv(2)fuxxy2f2,2xf1xzzf(u,v)uvux2y2yvxxyxyz1(2y)fvfuyx1f2.2yf1xuu,.例6：设uf(x,y,z)可微,zxy,求xy22例6

解：uuf(x,y,z)xyzzx2y2xyu2xf3,f1xu2yf3.f2y例7

例7：设uf(2xy)g(x,xy)，且f和g具有一阶连续偏导uu数，求,.xyu解：f(2xy)xg1g2(xy)xx2fg1yg2uf(2xy)yg2(xy)yyfxg2例8

1例8（2012广东专插本）设函数f(u)可微，且f(0)，则2zf(4xy)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)解：令u4x2y2，则zf(u).22.zzf(u)(2y)f(u)8x,yxzz|(1,2)f(0)(4)2|(1,2)f(0)84,yxdz|(1,2)4dx2dy.y例9：设zxf()，其中f(u)为可导函数，证明：xzzxy2z.xyy2证：令u，则zxf(u).xx2yzxf(u)uxzxuy2例9

zy22xf(u)xf(u)(2)2xf(u)yf(u),xxz12xf(u)xf(u),yxzy22xf(u)xf(u)(2)2xf(u)yf(u),xxz12xf(u)xf(u),yx则例9（续）

zzxyxyx[2xf(u)yf(u)]xyf(u)2xf(u)2z右边.2yz为可导函数，求f(u)练习：设z，其中.22yf(xy)练习1

y证：令uxy，则zf(u)22zyzf(u)yuuxy22xy2z1y12y[2f(u)](2y)2f(u).yf(u)f(u)f(u)f(u)例10

例10：设zf(xy,e)，f 具有二阶连续偏导数，求22xzz和.2xyx解：令uxy，ve，则zf(u,v).2222xzzf(u,v)uuxy22xyvvexxzx2xf2e,其中，f1,f2仍是含有中间变量u 和f1xzx,f2仍是含有中间变量u 和f12xf2e,其中，f1xv 的复合函数。其复合关系图：例10（续1）

uf1)(f2uxyvex22xyvx将上式两边对x 求偏导，并应用四则运算求导法则，得zx(f2x)(fe)1x2x2x2例10（续2）

uf1)(f2zx(f2x)(fe)1x2x2x2uxyvex22xyvxxx(f1)x2x2f1(f2)xeef2xxx(f112xf12e)2x2f1(f212xf22e)eef2x4xef12ef222f1ef2.4xf112x2xx例10（续3）

uf1)(f2类似地可得uxyvex22xyvxzx(f12x)y(f2e)yxyx)y2x(f1)ye(f2x(2y)2xf11(2y)ef21x.4xyf112yef212yz.练习设zxf(xy,)，f具有二阶连续偏导数，求xxy32练

习2

y解：令uxy,v,则zx3f(u,v).xfff(u,v)uvuxyyvxxyxyz13xf2)x4f1x2f2.x(f1yxf、f2)(f1ff(u,v)uvuxyyvxxyxy练习2（续1）

z42.xf1xf2yzz4242)x(xf1xf2)x(xf1)x(xf2xyyxf12f2xx4xf12xf2xx3422f、f2)(f1ff(u,v)uvuxyyvxxyxy练习2（续2）

f12f2xx4xf12xf2xx34yy2x[f11yf12(2)]2xf2x[f21yf22(2)]4xf1xx3442xf2yf22.4xf1xyf113二、隐函数的求导公式

1、由方程F(x,y)0所确定的隐函数yf(x)的求导公式

(x,y)0，由方程F(x,y)0确设函数F(x,y)可微，Fy定一个可导隐函数yf(x)，则一元隐函数的求导公式为：dyFx.dxFy一元隐函数求导公式的证明

事实上，在方程F(x,y)0的两边对x 求全导数，得xF(x,y)yyf(x)xFFdy0,xydx由于Fy(x,y)0，则由上式可解出FdydyFxx，即.FdxdxFyy(x,y)0，由方程F(x,y)0设函数F(x,y)可微，Fy确定一个可导隐函数yf(x)，则一元隐函数的求导公式为：dyFxdxFy例1

dy.例1：设sin(xy)xy，求dx解：令F(x,y)sin(xy)xy，则cos(xy)y,Fycos(xy)xFx从而dyFxcos(xy)y.dxFycos(xy)x例2：设uf(x,y,z)具有连续的偏导数，又函数yy(x)及例2

zz(x)分别由exyxy4和ezxz0dulnt.dt确定，求dxt分析：复合关系图uuf(x,y,z)xyyy(x)zz(x)zxx（＊）duffdyfdz解：首先dxxydxzdxdzdy.下面分别求和dxdx由exyxy4两边对x 求导，得exy例2（续）

dydydyy(yx)(yx)0,dxdxdxx又由ezz0xzlntdt两边对x 求导，得tdzln(xz)dzdzln(xz)e(1),zdxxzdxdxe(xz)ln(xz)dydz把、代入（＊）式，得dxdxdufyfln(xz)fzdxxxye(xz)ln(xz)z2、由方程F(x,y,z)0所确定的二元隐函数zf(x,y)的求导公式

二元隐函数求导公式

(x,y,z)0由方程设函数F(x,y,z)可微，FzF(x,y,z)0确定一个可求偏导数的二元隐函数zf(x,y)，则zFx,xFzFyz.yFzzzz.,,例3：设x2y3z4,求xyxy2222例3

解：令F(x,y,z)x2y3z4，则2222x,Fy4y,Fz6z.FxzFxx,3zxFz2Fyz2y,yFz3zx1xzxx2y()y()y2zy2()3zxy3z3z3z3z2xy39z例4（2011广东省大学生数学竞赛、经济管理类、本科）由方程F(cxaz,cybz)0确定了函数zz(x,y)，则例4

zzabxyF1c,FyF2c,FzF1(a)F2(b)解：FxFyzcF2zFxcF1,,aF1bF2aF1bF2yFzxFzbcF2zzacF1abc.bF2xyaF1例5：设uf(x,y,z)有连续偏导数，且zz(x,y)由方程例5

xeyeze所确定，求du.分析：复合关系图xyzuuf(x,y,z)xyzuu所以，dudxdy.xyzz(x,y)xyzuffzuffzz又..下面求,和yxxzxyyzyx设F(x,y,z)xexyeyzez，则ze(1x),Fye(1y),Fze(1z).Fxx例5

（续1）

yFy1xxzzzFx1yyz从而e,e.1zxFzyFz1z则uffzff1xxze,xxzxxz1zuffzff1yyze.yyzyyz1zuu所以dudxdyxyff1xxzff1yyz(e)dx(e)dy.xz1zyz1z例5

（续2）

练习：

练习

1、设函数zf(x,y)由方程xyzxyz2确定，求222z在点(1,0,1)处的全微分.2、设f(x,y,z)xyz，且zz(x,y)是由方程23xyz3xyz0f确定，求|(1,1,1).x222第七节多元函数的极值和最值一、多元函数的极值

定义：设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，对该邻域内异于P0的任意一点P(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大（小）值，称点(x0,y0)为函数f(x,y)的极大（小）值点。函数的极大值、极小值统称为函数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点。使二元函数的两个一阶偏导数同时为零的点叫做该函数的驻点。即若点(x0,y0)为函数f(x,y)的驻点，则定理1

(x0,y0)0,fy(x0,y0)0fx定理1（必要条件）设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处具有偏导数，且在点P0(x0,y0)处有极值，则在该点的偏导数必为零，即(x0,y0)0,fx(x0,y0)0.fy定理2（充分条件）设P0(x0,y0)为函数zf(x,y)的驻点，且在点P0(x0,y0)的某邻域内，zf(x,y)具有二阶连续偏导数，定理2

x(x0,y0),Bfxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0)，则若令Afx⑴ACB0时，函数zf(x,y)有极值，且2A0时，有极大值，A0时，有极小值；⑵ACB0时，函数zf(x,y)没有极值；⑶ACB0时，函数可能有极值，也可能没有极值。22例1：求函数f(x,y)3xyxy的极值。33例1

3x3y.3y3x,fy解：fx2fx3y3x0,得驻点(0,0),(1,1).由2fy3x3y0,226x,fxy3,fyy6y.fxx因为在点(0,0)处：(0,0)3,Cfyy(0,0)0,(0,0)0,BfxyAfxxACB0390,所以，函数在点(0,0)处没有极值。226x,fxy3,fyy6y.fxx因为在点(1,1)处：例1（续）

(1,1)6,(1,1)6,Bfxy(1,1)3,CfyyAfxxACB(6)(6)3270,所以，函数在点(1,1)处有极值，且由A60又知，函数在点(1,1)处有极大值，极大值为22f(1,1)311111.二、多元函数的最值

在第一节中已经知道，有界闭区域上的二元连续函数一定有最大值和最小值，其最大值和最小值可能在闭区域内部取得，也可能在闭区域的边界上取得。如果二元可微函数的最大值和最小值在区域内部的点取得，则该点必是函数的驻点；如果是在边界上取得，它一定也是边界上的最值点。因此，求二元函数在有界闭区域D上的最值的方法是：首先求出函数在D内各驻点的函数值及函数在D的边界上的最大值和最小值；其次比较这些值的大小，最大（小）者就是二元函数在D上的最大（小）值。但是这种做法由于要求出f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数f(x,y)的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值（最小值）。例2：要造一个容积为32m3的无盖长方体水池，应该如何设计水池的尺寸，才能使水池的表面积最小。解

设长方体水池的长、宽、高分别为x、y、z，依题意，有xyz32故例2

32zxy所以，无盖长方体水池的表面积为Axy2yz2xzxy(x0,y0)xy无盖长方体水池的表面积为Axy(x0,y0).xyAy0,x2x令解得x4,y4,从而z2.Ax0,y2y例2

（续）

根据题意可知，容积为32m3的无盖长方体水池的表面积的最小值一定存在。又函数在开区域D：x0,y0内只有唯一的驻点(4,4)，因此可断定当x4,y4时，A 取得最小值，就是说，当水池的长为4m，宽为4m，高为2m 时，水池的表面积最小。例3

例3：在曲面2xyz2xy10上求一点，使它到原点的距离最短。解：设点P(x, y, z)，它到原点的距离为d，则222dxyz又2222222z2xy2xy1，所以d3x2y2xy12226x2y0令，得驻点(0,0)（唯一），从而z = ±14y2x0依题意知，曲面上必存在到原点距离最近的点，故所求的点为(0,0,1)或(0,0,1).结束

在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由全微分的定义可知，如果函数zf(x,y)在点(x,y)可微分，那么这函数在该点必定连续。事实上，由lim得limz0，从而x0y0证明可微必连续

zzz(xy)xy(x)(y)22x0y00，可x0y0limf(xx,yy)lim[zf(x,y)]f(x,y).x0y0因此函数zf(x,y)在点(x,y)处连续。