10-11《微积分》(一)期末试卷 A答案

对外经济贸易大学 2010─2011学年第一学期

《微积分（一）》期末考试试卷（A卷）答案

课程代码及课序号：CMP101－ 0-13

序号： 姓 名： 成 绩： 学号： 课序号： 任课教师：

题号 分值 得分 一 14 二 15 三 49 四 12 五 10 合计 100 一、选择题（每小题2分，共14分）： 得分 1．当x1时,下列函数中（ B ）是与lnx等价的无穷小量.

A. 1x B．x1

C. tan(x1) D．1ex1

2. 函数f(x)在x0点可导是函数f(x)在该点连续的（ A ）. A. 充分但非必要条件

B．必要但非充分条件

C. 充分必要条件 D．无关条件 3. 设函数f(x)可微,则d[f(sinx)]=（ B ）.

A. f(x)cosxdx B. f(sinx)cosxdx C. f(sinx)cosx D. f(sinx)dx

4. 函数x在区间[1,2]上,使得拉格朗日中值定理成立的值=（ D ）.

A．-0.5 C. 0.5

B. 0 D. 1

35. 设f(x)在xa的某个领域内有定义,则f(x)在xa处可微的一个充分条件是 （ C ）.

A. limhf(a)f(a)存在

hh C. limf(a)f(asinh)h1 B. limD. limf(a2h)f(ah)hf(ah)f(ah)2h存在

h0 存在 存在

h0h0 第 1 页 共 6 页

对外经济贸易大学信息学院 微积分（一） 期末考试试卷A

6. 函数f(x)在区间[a,b]上存在原函数,是f(x)在[a,b]上连续的（ C ）. A. 充分但非必要条件

B．充分必要条件

C. 必要但非充分条件 D．无关条件

1f(x)7．已知

xf(x)dxln(x31x)C2,其中C为任意常数. 则

1dx( A ).

A.

1313(1x)2C B.

x1xC D. 221x2C

C. 11x2C

二、填空题（每小题3分，共15分） 得分 1. 函数y2ex10在(0,1)点处的切线方程为 y2x1 . sin(x-1), x1,2. 设函数f(x)且lim-f(x)a,则a 1 . x-1x1a, x1,x3．当x0时,函数f(x)e212x1与g(x)ax为等价无穷小,则ak18,k2.

4．函数f(x)f(lnx)xf(lnx)2lnx2sinxdx的可去间断点的个数为 2 . 1f(lnx)5．C.

三、计算题（每题7分，共计49分） 得分

arctanxln(1x)1x1x221. 求极限lim.

x0解：limlimarctanxln(1x)2xx22x0(1x21x) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）

2arctanxln(1x)x0 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）

1 lim1xx0211x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）

2x

第 2 页 共 6 页

对外经济贸易大学信息学院 微积分（一） 期末考试试卷A

lim141x2(1x)(1x)2 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）

x0 

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）

2. 求极限limnna2nb,其中a0,b0均为常数. nn11nn(a1)(b1)解：lim1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）

n211 enlim(an1)(bn1)2n ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）

e11n1(a1)(bn1)lim112nnn ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （4分）

1 e11nlnanlnblim12n1nn ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）

ab ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （7分）

12x3. 求函数f(x)e, x0,的导数f(x),并讨论f(x)的连续性.

0, x0，解：当x0时，f(x)2xef(x)f(0)x031x2. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）

1x21t1limx1lim2lim0.┅┅（4分） 2ttx0tte2te2exf(0)limx0limex0x当x0时，f(x)2xelimf(x)lim2xex0x031x231x2为初等函数，所以连续. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分） 2tet32limt0f(0)，故f(x)在x0亦连续. ┅（7分）

第 3 页 共 6 页

对外经济贸易大学信息学院 微积分（一） 期末考试试卷A

4. 已知f(x2y2)lnyx,其中f可导,求dy.

解：对此方程两边取微分，可得 f(x2y2)d(x2y2)dyydxx ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）

即 f(x2y2)xdxydyxy22dyydxx ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）

1dyx1y22f(xy)xxy2222f(xy)yxy22dx（或dy22222y[xyxf(xy)]x[xyyf(xy)]22222dx）┅（7分）

32dydyxacost5. 设参数方程（a为非零常数）确定了函数yf(x),求,2.

3dxdxyasintdy3asintcost解: dttant ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（4分） 2dxdx3acost(sint)dtddydx22dy2

dt(tant)dxdtsect3acost(sint)2213asectcsct ┅┅┅┅┅┅┅（7分）

46. 求不定积分解： xxsinx1cosxdxdx. sinx1cosx1cosxdx ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）

x2cos2x2x2dx1cosxd(cosx1) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分）

1 xdtanx2x2ln(1cosx) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（4分）

x22 xtantandxln(1cosx) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分） x2x2 xtan

lncosln(1cosx)CxtanC1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）

第 4 页 共 6 页

对外经济贸易大学信息学院 微积分（一） 期末考试试卷A

7. 求不定积分lnx3dx.

(1x)22解：令xtant，dxsec2tdt，则原式lntantsect3sectdt2costln(tant)dt ┅┅（1分）

(lnsintlncost)dsint ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分） sintlnsintsintdlnsintsintlncostsintdlncost ┅┅┅┅┅┅┅（3分）

sintcost2 sintlntantcostdtdtsintlntantcostdt121sint1sint1costcost2dt┅（4分）

sintlntantsectdtsintlntantxlnx1x22lnC ┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）

ln(x1x)C ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）

四、作图题 （12分） 得分 求函数yx(x1)2的导数、单调及凹凸区间、极值、拐点、渐近线. 将结果填入下表. (不必画图)

y1x(x1)3 y2(x2)(x1)4 单调增区间 单调区间 单调减区间 (,1),[1,) 14 x1时, y取极大值极值 凸区间 (,1), (1,2] 凹区间 凹凸区间 [2,) 拐点 (2,29) 渐近线 x1, y0 第 5 页 共 6 页

对外经济贸易大学信息学院 微积分（一） 期末考试试卷A

五、证明题（每题5分, 共计10分） 得分 1. 已知函数f(x)在[0,)上连续, 在(0,)内可微，且f(x)在(0,)内严格单调增加,

f(0)0. 证明:

f(x)x在(0,)内严格单调增加.

证明：对于x0，由于f在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，由拉格朗日中值定理，(0,x)，

使得 f()f(x)x. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅(2分)

f(x)x又f(x)在(0,)内严格单调增加，故f()f(x).即f(x). ┅┅┅（1分）

从而，

f(x)xdf(x)f(x)xf(x)1f(x)(f(x))0,由此可知， 2dxxxxx在(0,)内严格单调增加. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）

1a2. 设在区间[0,a]上|f(x)|试证: M58a.

, 且f(x)在(0,a)上存在最大值M, f(0)f(a)a.

证明：由已知条件，x0(0,a)，使得f(x0)M.由费马引理可知，f(x0)0. 由泰勒中值定理，,(0,a)，使得下面两式成立： f(0)f(x0)f(x0)(x0)122f()x0M122f()x0 （1）

f(a)f(x0)f(x0)(ax0)122f()(ax0)M122f()(ax0) （2）┅(2分)

2 在(1)式中，因f(0)M，x00，知f()0，从而f()f()；同理可知，

f()f(). ┅┅┅┅(3分)

注意到此事实，及f(0)f(a)a和x[0,a],|f(x)| M  121212(f(0)f(a))aa141422[f()(ax0)f()x0]

1a，由(1)+(2)可推得

22[f()(ax0)f()x0]

14a[(ax0)x0]

22 12a14aa2258a ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）

第 6 页 共 6 页