中南大学复变函数考试卷试题及答案

2008--2009学年第二学期 时间110分钟

复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 %

注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分）

z2,z01． 设fzz，则fz的连续点集合为（ ）。

0,z0（A）单连通区域 （B）多连通区域 （C）开集非区域 （D）闭集非闭区域 2． 设f(z)u(x,y)iv(x,y)，那么u(x,y)与v(x,y)在点x0,y0可微是fz在点

。 z0x0iy0可微的（ ）

A充分但非必要条件C充分必要条件B必要但非充分条件D既非充分也非必要条件

3． 下列命题中，不正确的是（ ）。

,0A如果无穷远点是fz的可去奇点,那么ResfzDz,则f在zB若fz在区域内任一点0的邻域内展开成泰勒级数 C幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.ezi(z)映射为单位圆1.D函数z将带形域0Imei4． 设c是z1it，t从1到2的线段，则 A。 argzdz（ ）

c内解析D.

4B4iC1i4z0D1i

5． 设fz在0z1内解析且limzfz1，那么Resfz,0（ ）。

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 A2iB2iC1D 1二、填空题（15分，每空3分） 1．Ln1i的主值为 。

2．函数f(z)=zRez+Imz仅在点z= 处可导。

zn23．罗朗级数的111收敛域为 。

z33n1n11

4． 映射w，将圆域z11映射为 。

z

nnn5．

1dz 。 coszz1三．(10分)求解析函数f(z)=u+iv，已知ux2y2xy,f(i)1i。四．(20分)求下列积分的值 1．

z4zz12ez2dz

2．

0xsinxdxa0 2xa五．(15分)若函数z在点z0解析，试分析在下列情形： 1．z0为函数fz的m阶零点； 2．z0为函数fz的m阶极点；

fz,z0。 求Reszfzez六．（15分）写出函数的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。

cosz七．（10分）求函数ft1tut3tsin2t傅氏变换。

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2中南大学考试试卷答案(B)

2008--2009学年第二学期 时间110分钟

复变函数与积分变换 课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班0701 总分100分，占总评成绩70 %

注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 三、单项选择题（15分，每小题3分） 1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。 四、填空题（15分，每空3分） 1．ln24i。2． i 。3． 2z33。4． 半平面Rew1R。5．0。 2三．(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。

vuvu2yx,2xyxyyx则v(x,y)0x,y0,02yxdx2xydyCy0

xdx2xydyC11x22xyy2C22四．(20分)求下列积分的值 1．23ei

2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的

xxixizedx2πiRes[R(z)e,ai]22xa

2ilim因此zee2πiπieaziazia2iza

0xsinx1x1aixdxIm(edx)e.2222xa2xa2

五．(15分)

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解:函数z在点z0解析等价于在z0的一个邻域内zzz0zz0nz0n!zz0nm

(1)z0为fz的m阶零点等价于在z0的一个邻域内fzzz0z其中z在点z0解析,z0,于是在z0的去心领域fzmzzmz0zn1mzzzmzz0zfzzz0zzz0n!zn1fz由此可知,Resz,z0mz0fzfz2与上面类似Resz,z0mz0fz六．

ez函数距原点最近的奇点,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,cosz2211即R=,收敛范围为z.由ez1z2z4z2nz,222!n!21z2nz及幂级数的除法,可设11cosz1z2z42!4!2n!ezc0c1zc2z2zcosz2注意到e与cosz均为偶函数,其展开式中不含z2n1项,可知c1c30n11111242n2242n于是1zzzc0c2z1zzz2!n!4!2n!2!z22n329比较同次系数得c01,c2,c4,224ez3294故1z2zzcosz2242七．（10分）

证明：F[1]2 F[tu(t)]212i()

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F[3t]e3i F[sin2t]i22

从而F[ft]

12e3i2i()22

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