一、选择题（20分，每题4分）
1.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=( ).
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.8 D. 1
2.设随机事件A与B互不相容，且有P(A)>0，P(B)>0，则下列关系成立的是( ).
A. A，B相互独立 B. A，B不相互独立 C. A，B互为对立事件 D. A，B不互为对立事件 3．同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为( ) A．0.125 B．0.25 C．0.325 D．0.375
4、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第2次取到的
3，则（ ） 是合格品的概率为P2，第3次取到的合格品的概率为PP3 B．P2P3 C．P2P3 D．P2与3的大小不能确定 A．P2P5．10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是（ ）．
5105511015111111666 B． C． D．6 A．二、填空题(每空4分，共12分)
1.设随机事件A，B为对立事件，P（A）=0.4，则P（B）= ．
2.观察四个新生儿的性别，设每一个出生婴儿是男婴还是女婴概率相等，则恰有2男2女的概率为______.
3、设P（AB）=P（AB），且P（A）＝p，则P（B）＝ ．
三、解答题（68分）
1. (10分)向指定目标射击三枪，分别用A1、A2、A3表示第一、第二、第三枪击中目标，试用A1、A2、A3表示以下事件：
（1）只有第一枪击中； （2）至少有一枪击中； （3）至少有两枪击中； （4）三枪都未击中.
2. (10分) 已知A，B是样本空间Ω中的两个事件，且Ω＝｛a, b, c, d, e, f, g, h｝，A＝｛b, d, f, h｝，B＝｛b, c, d, e, f, g｝，试求：（1）AB；（2）A＋B；（3）A－B；（4）A.
3. (6分)一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.
4. (9分)设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4. 如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少.
5. (10分) 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
6. (11分) 一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.
7. (12分)甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：
(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.
510510第1章 试卷（2）
一、
选择题
1、设A表示“甲种商品畅销，乙种商品滞销”，则其对立事件A表示（ ）. A、甲种商品滞销，乙种商品畅销； B、甲种商品畅销，乙种商品畅销； C、甲种商品滞销，乙种商品滞销； D、甲种商品滞销，或乙种商品畅销.
2、 设每次试验成功的概率为p(0p1)，重复进行n次试验取得r(1rn) 次成功的概为 .
r1rnrrrr1r1A、Cn； B、Cnp(1p)nr； C 、Cn(1p)nr1； D、pr(1p)nr 1p(1p)1p3、有10张奖券中含3张中奖的奖券，每人只能购买1张，则前3个购买者都中奖的概率为（ ）.
3A、C100.720.3； B、0.3； C、
71 ； D、. 401204．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是（ ）．
A．都不是一等品 B．恰有1件一等品 C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品 5、设BA，则下面正确的等式是 。
P(B|A)P(B)；A、 B、C、 D、P(AB)1P(A)；P(BA)P(B)P(A)；P(A|B)P(A)
二、填空题
1.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，那么P(A-B )=______.
2.袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片，今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中无4的概率为______.
3、设随机事件A,B互不相容，且P(A)0.3，P(B)0.6，则P(BA) . 4、一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取两个, 则第二次才取到正品的概率为 三、计算题
1. (10分)已知A，B是样本空间Ω中的两个事件，且Ω＝｛x | 1 4. (12分)面对试卷上的10道4选1的选择题，某考生心存侥幸，试图用抽签的方法答题. 试求下列事件的概率： （1）恰好有2题回答正确；（2）至少有2题回答正确；（3）无一题回答正确；（4）全部回答正确. 5. (11分) 许多体育比赛采用五战三胜制，甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6（没有和局）， 求甲方最后取胜的概率. 第2章 试卷（1） 1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数的分布列. （10分） ae2x，x02、 设随机变量的分布密度为p（x）＝，求：（1）常数a；（2）P（＞3）. 0 x03、已知随机变量的分布列为 0 1 3 71 0.37 ， 0.05 0.2 0.13 0.25（1）求＝2－的分布列； （2）求＝3＋2分布列. （10分） 24、设服从N（5，3），求P（＜10），P（210）. （10分）5、设X为总体X~N(3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,X4)的均值, 求P(1X5). （12分） 6、 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率： （1）被检验的100件中恰好有4件不合格品； （2）不合格的件数不少于4件；（3）不合格的件数在4到6之间. （12分） 7、 已知随机变量的分布密度为 1， 1x4， p(x)＝2xln20， 其他且＝2－，试求的分布密度. （12分） 8、设随机变量X服从（-2，２）上的均匀分布，求随机变量YX的 概率密度函数为fY(y).（12分） 9、公共汽车门的高度是按男子的碰头机会在1%以下来设计的，男子的身高服从正态分布，平 2均身高是170cm，标准差（即均方差）是6cm，问车门高度至少应设计多少?(Φ(0.99)=2.23) （12分） 第2章 试卷（2） 0x12x 111、 设随机变量的分布密度为p（x）＝ ，求P（x）与P（＜2）. 420 其他2、设随机变量的分布函数为 0 x0xF（x）＝ 0x1, 21 x1求P（0.3 <<0.7）（10分） cx3、连续型随机变量概率密度函数是f(x)=00x1求常数c. （10分） x0或x10x1x4、 设C、R、V、X具有概率密度f(x)Ax1x2，求（1）常数A；（2）分布函数。 0其它5、 已知随机变量的分布列为 0111126231131242951， 92（1）求＝1+2的分布列； （2）求(2)分布列. （10分） 6、设随机变量X在区间[,]上服从均匀分布，Y=tanX,试求Y的概率密度。（12分） 221的指数分布，其分布函数为 10007、 某电子元件的使用寿命服从以＝ x1000F(x)=1e，x0 0， x0（1）求随机变量的分布密度p(x)； （2）作出p(x)及F (x)的图象； （3）求这类元件使用寿命1000小时以上的概率. （14分） 8、 设服从N（0，1），试求： （1）P（1.5）； （2）P（＞2）； （3）P（≤－1.8）； （4）P（-1＜3） （5）P（||2）.（12分） 9、设某批鸡蛋每只的重量X(以克计)服从N(50，52)分布， (1)从该批鸡蛋中任取一只，求其重量不足45克的概率. (2)从该批鸡蛋中任取5只，求至少有2只鸡蛋其重量不足45克的概率. （11分） 第3章 试卷（1） 1、已知随机变量的分布列为P（＝m）＝2、 设C、R、V、的概率密度为 1， m＝2,4,…,18,20, 求E.（9分） 100x1x,f(x)2x,1x20,其它， 求期望E。(10分) 3、卖水果的某个体户，在不下雨的日子每天可赚100元，在雨天则要损失10元，该地区每年下雨的日子约有130天，求该个体户每天获利的数学期望（一年按365天计）. （10分） 4、若RV~p()，求D.（6分） 5、 对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间[a,b]内，求球体积的均值. （13分） 6、口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进行4次，记为红球出现的次数，求的数学期望E()（12分） 7、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 求射击次数的数学期望与方差分别为E()和D()（13分） 8、学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。（(1.856)0.9680）（14分） 9、设为连续型随机变量，的密度函数f()当0时恒为零，且数学期望E()存在。证明：对任意常数a(a0)，有P(a) E()（13分） a第3章 试卷（2） 1、设C、R、V、具有概率密度 1x1x0f(x)1x0x10其它， 求期望E。(9分) 2、 某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次击中为止. 求“射击次数” 的期望. （9分） 3、已知随机变量的分布列为 1 52 0 ， 0.2 0.3 0.1 0.4求E，E（2－3），E2，E（2－2+3）（12分） 224、已知,独立，EE2,EE5，求D(32)。（11分） 5、若RV~b(n,p)，求D.（10分） 6、已知随机变量的分布列为 0111126231131242951， 9（1）求E（）； （2）求D.（12分） 7、若RV~b(n,p)，且E=12，D=8，求n和p. （12分） 8、已知随机变量~N(,2)，求ab(a0,b是常数）的密度函数。（12分） 9、某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. （13分） 第4章 试卷（1） 1、设随机变量(,)的方差D()4,D()1,相关系数0.6,求 方差D(32)。（13分） 2.设随机变量(,)的联合密度函数 f(,)A00x2,yx其他 求 (1)常数A ；(2)条件密度函数f(yx)；(3)讨论,的相关性（15分） 3、设随机变量,,相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p). 试证明随机变量与相互独立. （15分） 4、 已知(,)的联合分布函数为 F(x,y)＝ 12arctanxarctany＋ 11(arctanxarctany)＋， 24试求：1）F（1,1）；2）P(0，1)；3）边缘分布函数，并考察随机变量与的独立性. （15分） 5、设与相互独立，其密度分别为 ey 0x10x11 ，p(y)＝，求＋的密度. （15分） p(x)＝0 其它0 其它6、 设随机变量~U(0,1)(均匀分布)，~E(1)(指数分布)，且它们相互独立，试求 2的密度函数f().（13分） 7、某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率. （14分） 第4章 试卷（2） 1、设随机变量(,)的联合分布律为 (,) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) P 0.4 0.2 a b ,). （12分） 若E()0.8，求cov(2、设随机变量与相互独立，，分别服从参数为,()的指数分布，试求 32的密度函数f().（15分） 1exeye(xy) 当x0,y03、已知(,)的联合分布函数为F(x,y)＝， 其它 0 试求：1）边缘分布函数； 2）联合密度、边缘密度，并考察随机变量与的独立性. （16分） xex x04、设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度为p(x)＝, x00 如果各周的需要量是互相独立的. 试求：1）两周的需要量的概率密度；2）三周的需要量的概率密度. （16分） 5、一本5万字的学生用书，按常规允许出错率为0.0001，试求该书不多于10个错误的概率. （14分） 6、 某公司电话总机有200台分机，每台分机有6%的时间用于外线通话，假定每台分机用不用外线是相互独立的，试问该总机至少应装多少条外线，才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候. （14分） 4；0.1，9；0）7、已知随机变量(,)~N(0.5，，2， )，相关系数（13分） 试求：方差D()，协方差COV(，第5章 试卷（1） 1、 设(1，2，3)是正态总体N(,)的一个样本，其中是未知量,是已知量，问下列各式哪些是统计量？（12分） 221） i133i； 2） i13i－； 3）min{1,2,3}； 4） i2； 5）1＋22－33； 6）1＋22－3. i12、 求下列各题中的常数k. （13分） 1） 设～2(24)， P(＞k)＝0.10； 2）设～2(40)， P(＜k)＝0.95； 3）设～t(6)， P(＞k)＝0.05； 4）设～F(10,10)， P(＞k)＝0.05； 5）设～t(10)， P(＞k)＝0.95 3、设10个电子管的寿命Xi(i1~10)独立同分布，且D(Xi)A(i1~10)，求10个电子管的平均寿命Y的方差D(Y).（10分） x1 0x14、 设总体的分布密度为p(x)＝，＞0为待估参数，(1，2，…，n) 0 其它为的一个样本，求的矩估计量. （12分） 5、 已知灯泡寿命的标准差＝50小时，从中抽取25个灯泡检验，其平均寿命是500小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计. （13分） 6、 化肥厂用自动打包机包装化肥．某日测得9包化肥的质量（kg）如下： 49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4． 已知每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50 kg?（＝0.05）（12分） 7、 两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径按正态分布)，从中分别抽取6个和9个产品，试比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（＝0.10）？（13分） 甲车床：34.5 38.2 34.2 34.1 35.1 33.8 乙车床：34.5 42.3 41.7 43.1 42.4 42.2 41.8 43.0 42.9. 8、 用切削机床进行金属品加工时，为了适当地调整机床，需要测定刀具的磨损速度．在一定时间（例如每隔一小时）测量刀具的厚度，得到数据如下： 试求刀具厚度y关于切削时间x的线性回归方程．（15分） 第5章 试卷（2） 1、 设总体服从泊松分布，即分布列为P(＝m)＝求样本(1，2，…，n)的联合分布列.（10分） 2、 对于给定的临界概率及自由度k（或k1,k2）,查表求符合题意的相应临界值. （12分） 1）已知＝0.0838，求u及u； 2mm!e，＞0为参数，m＝1,2，…，试 2）已知＝0.01，k＝51，求t及t； 23）已知＝0.01，k＝23，求2及1，使 P(22)＝ 2，P(1)＝； 224）已知＝0.01，k1＝8，k2＝5，求2及1，使 P(F2)＝ ，P(F1)＝. 223、 设总体的分布列为，式中0＜＜0.25为待估参数，(1，…，2，n)3 14 为样本，试求的矩估计量. （12分） 4、设X的分布律为 X 1 2 3 1 52 P 2 2(1) (1)2 已知一个样本值(x1,x2,x3)(1,2,1)，求参数的极大似然估计值。（12分） 5、 用某仪器测量某零件的温度，重复测量5次，量得温度如下（单位：℃）： 1250 1265 1245 1260 1275， 假定测量温度服从正态分布，且测量精度为11，试找出平均温度的置信区间（＝0.05）. （12分） 6、已知在正常生产情况下某种汽车零件的质量服从正态分布N(54 , 0.75)．在某日生产的零件中抽取10件，测得质量（g）如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3． 如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异？（＝0.05）（12分） 7、某种羊毛在处理前后，各抽取样本，测得含脂率如下(%)： 处理前：19 18 21 30 66 42 8 12 30 27 处理后：19 24 7 8 20 12 31 29 13 4. 若羊毛含脂率按正态分布，问处理后含脂率有无显著变化（＝0.05）（12分） 2 y（单位：cm）的实测值如下表 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 女孩年龄xi 平均身高yi 101.1 106.6 112.1 116.1 121.0 125.5 129.2 试求女孩长身高关于年龄的线性回归方程. （16分） 概率与统计试卷（1） 1、(9分) 从0，1，2，3，4，5这六个数中任取三个数进行排列，问取得的三个数字能排成三位 数且是偶数的概率有多大. 2、（9分）用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品的合格率. 3、 （11分）某机械零件的指标值在［90，110］内服从均匀分布，试求： （1）的分布密度、分布函数；（2）取值于区间（92.5，107.5）内的概率. 4、（9分）某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次击中为止.求“射击次数” 的期望. 5、（17分）对于下列三组参数，写出二维正态随机向量的联合分布密度与边缘分布密度. 1 3 1 1 2 0 1 2 1 1 0.5 1 2 1 0.5 0.5 （1） （2） （3） 0.5 0.5 0 6、（15分）求下列各题中有关分布的临界值. 22 1）0.05(6)，0.01(9)； 2）t0.01(12)，t0.05(8)； 3）F0.025(5,10)，F0.95(10,5). 7、（11分）某水域由于工业排水而受污染，现对捕获的10条鱼样检测，得蛋白质中含汞浓度（%）为 0.213 0.228 0.167 0.766 0.054 0.037 0.266 0.135 0.095 0.101， 若生活在这个区域的鱼的蛋白质中含汞浓度～N（，2），试求＝E，2＝D的无偏估计. 8、（12分）某种导线的电阻服从正态分布N(，)，要求电阻的标准差不得超过0.004欧姆. 今从新生产的一批导线中抽取10根，测其电阻，得s*＝0.006欧姆. 对于＝0.05，能否认为这批导线电阻的标准差显著偏大？ 9、 （7分）某校电器（3）班学生期末考试的数学成绩x（分）近似服从正态分布N（75，10），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？ 22 概率与统计试卷（2） 1、(9分)已知某城市中有50%的用户订日报，65%的用户订晚报，85%用户至少这两种报中的一种，问同时订两种报的用户占百分之几. 2、（9分）从4台甲型、5台乙型电脑中，任取3台，求其中至少要有甲型与乙型电脑各一台的概率。 3、（10分）在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量表示取到的次品数，试写出的分布列. 4、（11分）盒中有五个球，其中有三白二黑，从中随机抽取两个球，求“抽得的白球数” 的期望. 5、（12分）设随机变量的分布密度为 3x2， 0x2；p(x)=8 0， 其它.且＝3＋2，求E与D. 6、 （12分）一机器制造直径为的圆轴，另一机器制造内径为的轴衬，设(,)的联合分布密度为p(x)=0.51y0.532500 当0.49x0.51, 其它 0 ， 7、（13分） 设1，2，…，n是总体的样本，试求：E、D、ES*2. 1）～ N(,) ； 2）～ b(1,p). 8、 （12分）对于总体有E＝，D＝2，(1，2)是的样本，讨论下列统计量的无偏性与有效性. 2ˆ1＝1＋2，ˆ2＝1＋－2，ˆ3＝1＋2. 9、 （12分）打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100斤). 某日开工后，测得九包糖重如下(单位：斤)： 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 如果打包机装糖的包重服从正态分布，问该天打包机工作是否正常（＝0.05）？ 132313141434 概率与统计试卷（3） 1、 （8分）在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率. 21x3x的展开式中第三项的二项式系数是66，求展开式中含x3的项的系2、（9分）已知数。 3、（9分） 在一个繁忙的交通路口，单独一辆汽车发生意外事故的概率是很小的，设p＝0.0001. 如果某段时间内有1000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？ 4、（10分）设随机变量的分布密度为 n1， 1x1；2 p(x)=1x 0， 其它.求E. 5、（12分）设随机变量的分布密度为 0， xap(x)=3a2， 4， xax求E，D，E（ 22－a），D（－a）. 336、（8分）射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中二弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.甲每次射击命中率为 0.1，0.2，0.2，0.3，0.2，问他期望能得多少分？ 7、（12分）随机向量(,)的联合分布密度为 Asin(xy) 当0x,0yp(x,y)=22， 0 其它 求：1）系数A；2）(,)的边缘分布密度. 18、（12分） 设总体的分布密度为p(x)＝e2体中的一个样本，试求：E、D、ES、ES*2. 2|x|，＞0为参数，1，2，…，50是总 x e x09、（10分）设总体的分布密度为p(x)＝，>0为待估参数，现从中抽取10 x00 观察值，具体数据如下 1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150， 求的最大似然估计值. 10、（10分） 已知某一试验，其温度服从正态分布N(，2)，现在测量了温度的5个值为： 1250 1265 1245 1260 1275 问是否可以认为＝1277（＝0.05）？ 概率与统计试卷（4） 1,2,3,4,5,6,7,8,9，从中任取3个互异的数排成一个数列，求该数列为1、（10分）设集合M等比数列的概率． 2yaxbxc2、（10分）从－9，－7，0，1，2，5这6个数中，任取3个不同的数，分别作为函数 中的a,b,c的值，求其中所得的函数恰为偶函数的概率。 2 3 41 3、（10分）设随机变量的分布列为111，试求： a 824（1）常数a；（2）P（2＜4）；（3）P（＞1）. 4、（10分）射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹得15分，中二弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.甲每次射击命中率为5、（12分）设随机变量的分布密度为 3，问他期望能得多少分？ 5abx2， 0x1； p(x)=.0， 其它且E＝ 3，求常数a,b，并D. 56、（14分）随机向量(,)在矩形区域{(x,y)|axb,cyd}内服从均匀分布，求(,)的联合分布密度与边缘分布密度，又问随机变量是否独立？ 7、（12分）已知某样本值为：2.06，2.44，5.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23，18.22，22.72. 试求样本平均值、样本方差S、样本修正方差S*2. 8、（11分）设总体服从两点分布，分布列为P(＝x)＝px(1p)1x，x＝0,1，0 4.34 4.40 4.42 4.30 4.35 如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量为4.40（＝0.05）？ 《概率论与数理统计》复习大纲与复习题 2 09-10第二学期 一、 复习方法与要求 学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法，《概率论与数理统计》同样.对这些基本内容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成. 学习数学离不开作题，复习时同样.正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再找其他题目. 如开学给出的学习建议中所讲： 作为本科的一门课程，在教材中我们讲述了大纲所要求的基本内容.考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重.考试也有所侧重，期末考试各章内容要求与所占分值如下： 第一章 随机事件的关系与运算，概率的基本概念与关系，约占30分. 第二章 一维随机变量的分布， 约占25分. 第三章 二维随机变量的分布，仅要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、随机变量独立的判别与函数分布的确定. 约占10分. 第四章 随机变量的数字特征. 约占15分. 第五、六、七、八章约占20分.内容为： 第五章：契比雪夫不等式与中心极限定理. 第六章：总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与常用分布（t分布、分布）；正态总体样本函数服从分布定理. 第七章：矩估计，点估计的评选标准，一个正态总体期望与方差的区间估计. 第八章：一个正态总体期望与方差的假设检验. 二、 期终考试方式与题型 本学期期末考试类型为集中开卷考试，即允许带教材与参考资料. 三、 应熟练掌握的主要内容 1. 理解概率这一指标的涵义. 2. 理解统计推断依据的原理，即实际推断原理，会用其作出判断. 3. 理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义.掌握事件的运算律. 4. 熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件； 掌握事件的常用变形： ABAAB （使成包含关系的差），ABAB （独立时计算概率方便） ABAAB，ABABABAB（使成为互斥事件的和） AAB1AB22ABn（其中B1、B2、、Bn是一个划分） （利用划分将A转化为若干互斥事件的和） AABAB（B与B即一个划分） 若AB，则ABA,ABB,AB. 5. 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式.掌握摸球、放盒子、排队等教材所举类型概率的计算. 6. 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率. 7. 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会求简单离散型随机变量的分布律. 8. 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律. 9. 掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质. 10. 掌握随机变量分布函数的定义、性质. 11. 理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义. 12. 掌握随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布的定义，会写出X的概率密度. 13. 掌握正态分布N(,2)概率密度曲线图像； 掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理； 会查正态分布函数表； 2理解服从正态分布N(,)的随机变量X，其概率P{X}与参数和的关系. 14. 离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律. 15. 连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度. 16. 有分布律或概率密度会求事件的概率. 17. 理解当概率P(A)0时，事件A不一定是不可能事件； 理解当概率P(A)1时，事件A不一定是必然事件. 18. 掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义； 会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率； 有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立； 会确定二维离散型随机变量函数的分布. 19. 掌握期望、方差定义式与性质，会计算上述数字. 20. 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数与期望、方差的关系. 21．了解契比雪夫不等式. 22. 会用中心极限定理计算概率.理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是： 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n较大时，则 X~N(np,npq)，其中q1p 23. 了解样本与样本值的区别，掌握统计量，样本均值与样本方差的定义. 24. 了解分布、t分布的概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上分位点. 25. 了解正态总体N(,)中，样本容量为n的样本均值X与26. 掌握无偏估计量、有效估计量定义. 2近似2(n1)S22服从的分布. 27. 会计算参数的矩估计. 28. 会计算正态总体N(,2)参数与的区间估计. 29. 掌握一个正态总体N(,2)，当2已知或未知时，的假设检验，的假设检验. 30. 了解假设检验的两类错误涵义. 四、复习题 注 为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件作业题目的改造，二者相辅相成，希望帮助大家学懂基本知识点. 期终试卷中70分的题目抽自复习题. 22 （答案供参考） （一）判断题 第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间 （1）袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取1个，观察取到球的号码，样本空间为 S{1,2,3,4,5} . 正确 （2）袋中有编号为1、2、3的3个球，从中随机取2个，观察取到球的号码，样本空间为 S{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} 错误 解析 同时取2个球，不可能取到2个号码相同的球，如(1,1),(2,2),(3,3)，所以是错误的. 2. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A（取到1、2、3号球），B（取到奇数号球），C（取到3、4、5号球），D（取到4、5号球），E（取到2号球），则 （1）AB（取到1、1、2、3、3、5号球） 错误 解析 取到1号球是一个结果，即一个样本点，其含在事件A中也含在事件B中，事件AB是将A，B的样本点放到一起构成新的事件，“取到1号球”仍然是一个样本点，不能记为1、1，同理 3、3也是错误的. （2）A\\BE（取到2号球） 错误 解析 事件A\\B即AB，其由属于A而不属于B的样本点构成，只有“取到2号球”属于A，不属于B，所以A\\BE，故A\\BE是错误的. （3）CD （取到1、2、3、4、5号球） 错误 解析 事件CD由属于C且属于D的样本点构成，C（取到3、4、5号球），D（取到4、5号球），共同的样本点为（取到4、5号球），所以CD（取到4、5号球），故 CD（取到1、2、3、4、5号球）是错误的. （4）C\\D （取到3号球） 正确 解析 参照对事件A\\B的分析，可知C\\D （取到3号球）是正确的. （5）AD（取到1、2、3、4、5号球） 正确 解析 参照对事件AB的分析，可知AD（取到1、2、3、4、5号球）是正确的. （6）AD（取到1、2、3、4、5号球） 错误 解析 事件A,D没有共同的样本点，即事件A与D互斥，AD，故AD（取到1、2、3、4、5号球）是错误的. （7）A（取到4，5号球）； 正确 解析 A为A的对立事件，其由所有属于样本空间而不属于事件A的样本点组成。 （8）AB（取到2、4、5号球）. 正确 解析 先确定AB，AB由A与B共同的样本点组成，AB（取到1、3号球），AB为AB的对立事件，所以AB（取到2、4、5号球）是正确的。 （9）AC不等于样本空间S . 错误 解析 先确定AC的内容，A（取到1、2、3号球），C（取到3、4、5号球），A与C的和事件应该为（取到1、2、3、4、5号球）。而样本空间S即所有结果的集合就是（取到1、2、3、4、5号球），所以ACS。故称AC不等于样本空间S是错误的。 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设A,B分别为甲、乙命中目标，用A,B事件的关系式表示下列事件，则 （1）（甲没命中目标）AB 错误 （2）（甲没命中目标）A 正确 解析 事件（甲没命中目标），涵义为不考虑乙是否命中，仅考虑甲，故（2）（甲没命中目标）A是正确的；而AB表示事件（甲没命中目标且乙命中目标），故（1）（甲没命中目标）AB是错误的. （3）（仅甲命中目标）A；错误 AB。解析 A为甲命中目标，其不管乙是否命中，而（仅甲命中目标）意味乙没有命中目标，所以（仅甲命中目标） （4）（甲、乙均命中目标）AB 错误 （5）（甲、乙均命中目标）AB 正确 解析 因为A与B的和事件AB表示或A或B，积事件AB表示A且B.A,B分别为甲、乙命中目标，所以 AB表示或甲命中目标，或乙命中目标，AB表示甲命中目标且乙命中目标，即甲、乙均命中目标，所以（4）错， （5）正确. 4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设Ai（5件中恰有i件次品），i=0,1,2,3 叙述下列事件，则 （1）A0（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品） 正确 解析 由事件Ai的定义，显然A0（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）是正确的. （2）A0（5件中恰有1件次品） 错误 （3）A0（5件中至少有1件次品） 正确 解析 从这批产品中任取5件检查，从取到次品的数目的角度可以将样本点分为3类，没有次品，有1件次品，有2件次品，有3件次品.A0为没有次品，其对立事件为有次品，故有1件次品， 2件次品， 3件次品样本点的总和为A0的对立事件.故（2）A0（5件中恰有1件次品）是错误的，（3）A0（5件中至少有1件次品）是正确的. （4）A3（5件中最多有2件次品）正确 解析 注意该批产品中有3件次品，从取到次品数目的角度看，取5件检查次品数最多有3件.因为A3为5件中恰有3件次品，其对立事件则为没有次品，或有1件次品，或有2件次品，故A3（5件中最多有2件次品）是正确的. （5）A2A3 =（5件中至少有3件次品）错误（6）A2A3 =（5件中至少有2件次品）正确 解析 A2A3表示或A2或A3，A2则是有2件次品，故（5）A2A3 =（5件中至少有3件次品）是错误的，（6）A2A3 =（5件中至少有2件次品）是正确的. 5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？ （1）ABAAB 错误 （2）ABABABAB 正确 （3） ABAAB 正确 （4）ABAB 错误 （5）ABCABC 错误 （6）ABCABC 正确 （7） 若AB，则A（9） 若AB，则 BA；正确 （8） 若AB，则ABA； 错误 AB. 错误 （10）ABBA；正确 （11）若A,B互斥，则ABA 。正确 解析 由下面图示可见ABAABABABAB，所以（1）ABAAB是错误的， （2）ABABABAB是正确的. 由下面图可见ABAABAB，所以（3） （4）ABAB是错误的. ABAAB是正确的， （5）（6）是考察对事件运算律中德.摩根律的掌握，显然（6）ABCABC 正确， （5）ABCABC错误. （7）（8）（9） 图（a）事件AB，即事件B的样本点都是事件A的样本点，故AB仍然为A，所以ABA是正确的。 AB为事件A与B共同的样本点构成，因为事件B的样本点都是事件A的样本点，故ABB，所以ABA是 错误的。 （a） (b) (c) 图（b）红色区域为A，图（c）绿色区域为B，显然绿色区域包含红色区域，即AB，所以的. AB是错误 （10）ABBA，式的两边均为 A与B的和事件，由事件和的运算满足交换律也可知该式成立。 （11）首先应该清楚事件差的含义，AB是属于事件 A而不属于B的样本点构成的事件。看下图， A与B互斥， A的所有样本点也只有A的样本点满足属于A而不属于B，所以ABA是正确的。 6. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A（取到1、2、3号球），B（取到奇数号球），C（取到3、4、5号球），D（取到4、5号球），E（取到2号球），则 （1）P(A)3 正确 5A中含样本点数kk样本点总数nn 解析 等可能概型事件A的概率为 PA随机试验为从1、2、3、4、5的5个球中随机取一个，从取球号数角度看共有5种可能，即样本空间中含5个样本点，且取到每一个球的可能性相等，该随机试验为等可能概型.事件A（取到1、2、3号球），含三个样本点，所以P(A)3是正确的. 54 正确 5314,P(E)，所以P(BE)P(B)P(E)是正确的. 555 （2）P(BE)P(B)P(E)解析 概率有性质：互斥事件和的概率等于概率的和.事件 B（取到奇数号球），E（取到2号球），两事件没有共同的样本点，即两事件互斥. P(B)（3）P(AE)P(A)P(E)（4）P(AE)P(A)解析 方法1 事件A（取到1、2、3号球），E（取到2号球），A与E非互斥，A与E和的概率为 P(AE)P(A)P(E)P(AE)4 错误 53 正确 53113. 5555方法2 因为事件A包含事件E，故AEA，所以 P(AE)P(A)3. 543是错误的，（4）P(AE)P(A)是正确的. 55总之（3）P(AE)P(A)P(E)（5） P(AB)P(A)P(B) 错误 （6）P(AB)4 正确 5解析 事件A（取到1、2、3号球），B（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），事件A与B有共同的样本点，不是互斥的，A与B的积事件AB(取到1、3号球），故 P(AB)P(A)P(B)P(AB)3324， 55554是正确的. 5所以（5） P(AB)P(A)P(B)是错误的；（6）P(AB)312； 正确 55533（8）P(AB)P(A)P(B)0； 错误 55321（9）P(AB)P(A)P(AB)； 正确 555321（10）P(AD)P(A)P(D). 错误 555（7）P(AE)P(A)P(E)解析 （7）、（8）、（9）、（10）均为计算两个事件茬的概率，两个事件差的概率公式为： 对任意事件有 P(AB)P(A)P(AB)， 若事件事件A包含事件B，则P(AB)P(A)P(B)。 由题设A（取到1、2、3号球），B（取到奇数号球），D（取到4、5号球），E（取到2号球）。 312是正确的。 55533而事件A不包含事件B，所以（8）P(AB)P(A)P(B)0是错误的，（9） 55321P(AB)P(A)P(AB)是正确的； 555321同样事件A不包含事件D，所以（10）P(AD)P(A)P(D)是错误的. 555因为事件A包含事件E，所以（7）P(AE)P(A)P(E)（11） P(A)P(D) ； 正确 （12） P(AB)2 ；正确 5（13） P(CE)0 ；正确 （14） P(BA)2 ；正确 3 （15） P(CD)1 。正确 解析 （11）该随机试验的样本空间S（取到1、2、3、4、5号球），由题设D（取到4、5号球），显然D（取到1、2、3号球），所以AD，P(A)P(D)。 （12）由题设A（取到1、2、3号球），B（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），故事件AB(取到1、 3号球），所以P(AB)2是正确的。 5（13）由题设C（取到3、4、5号球），E（取到2号球），两事件没有共同的样本点，即两事件互斥，CE为不可能事件，故P(CE)0。 （14）P(BA)的计算有两种方法： 方法1条件概率计算公式 P(BA)P(AB) P(A)由前面的计算结果知道P(AB)23P(AB)2/52，P(A)，所以P(BA)。 55P(A)3/53方法2由条件概率的本质涵义。P(BA)为在已知事件A发生条件下事件B发生的概率，由题设A（取到1、2、3号球），B（取到奇数号球）=（取到1、3、5号球），A发生即已经知道取到的是1、2、3号球中的一个，其中只有1、3号球属于B，故A发生条件下事件B发生的概率P(BA)2。 3（15）P(CD)为在已知事件D发生条件下事件C发生的概率，由题设C（取到3、4、5号球），D（取到4、5号球），D发生了，一定是取到了4、5号球中的一个，无论取到哪一个事件C均发生，故P(CD)1。 7.（1） 设事件A,B互斥，P(A)0.2， P(B)=0.3 ，则 P(AB)0.5. 正确 （2） 设事件A,B互斥，P(A)0.2，P(AB)0.5 则P(B)=0.7 . 错误 （3） 设P(A)0.5，P(B)0.4，P(AB)0.7， 则P(AB)0.2 . 正确 （4） 设事件A,B相互独立，P(A)0.2， P(B)=0.3，则P(AB)0.5. 错误 （5） 设事件A,B相互独立，P(A)0.2， P(B)=0.3，则P(AB)0.06. 正确 （6） 设事件A,B相互独立，P(A)0.2， P(B)=0.3，则P(AB)0.44. 正确 （7）设事件A,B相互独立 ，P(A)0.5,P(B)0.2 ，则P(AB)P(AB)P(A)P(B)0.4。 正确 解析 （1）参考6（2）的解析，可知A,B互斥， P(AB)P(A)P(B)0.20.30.5 所以P(AB)0.5是正确的. （2）由上面的分析，A,B互斥， P(AB)P(A)P(B)，故 P(B)P(AB)P(A)0.50.20.3 所以P(B)=0.7 是错误的. （3）没有A,B互斥的前提，A与B两个事件和的概率 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 则 P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.40.50.70.2， 所以P(AB)0.2是正确的. （4）（5）（6）均在事件A,B相互独立条件下讨论问题，事件A,B相互独立必然满足 P(AB)P(A)P(B)，所以 P(AB)0.5是错误的，P(AB)0.06是正确的。 因为 P(AB)P(A)P(B)P(AB)，所以 P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.20.30.060.44 是正确的。 （7）参考5题中对“（4）ABAB是错误的”的分析，应该有ABAB。又当随机事件A与B相互独立时，A与B、A与B、A与B均相互独立，故P(AB)P(A)P(B)0.4，综上有 P(AB)P(AB)P(A)P(B)0.4。 8. 设事件AB,P(A)0.5,P(B)0.2 ，则 （1）P(A\\B)P(A)P(B)0.3 正确（2）P(AB)P(A)P(B)0.7 错误 （3）P(AB)P(A)0.5 正确 （4）P(AB)0.5 错误 （5）P(AB)0.2 正确 （6）P(B\\A)P(B)P(A)0.3 正确 解析 若事件AB，如图 事件AB，可见BA； 且容易得出结论ABA,ABB， 又由概率基本性质，若事件AB，则P(AB)P(A)P(B). 所以（1）P(A\\B)P(AB)P(A)P(B)0.3是正确的； （2）P(AB)P(A)P(B)0.7是错误的，（3） P(AB)P(A)0.5是正确的； （4）P(AB)0.5是错误的，（5）P(AB)P(B)0.2 是正确的； （6）因为P(B)1P(B)0.8,P(A)1P(A)0.5， P(B\\A)P(B)P(A)0.80.50.3 是正确的. 评注 题目6-8是在考核对概率基本性质（基本关系式）的理解. 9. 古典概型 (1).箱中有2件次品与3件正品，一次取出两个，则 ①恰取出2件次品的概率为 11 正确 ②恰取出2件次品的概率为 错误 C52A5211C2C3③恰取出1件次品1件正品的概率为 正确 C5211C2C3④恰取出1件次品1件正品的概率为 错误 2A5解析 这是一道等可能概率问题中的超几何概型问题，从5件产品中一次取2件共有C52种取法，即总的样本点数为C52.注意不存在次序问题，不应该用A52. 恰取出2件次品，只有一种可能2件次品全取出，即C21，所以①恰取出2件次品的概率为 21是正确的；②C52恰取出2件次品的概率为 1 是错误的. 2A51213种可能，所以③恰取出 11C2C31件次品1件正品的概率为是正确的；④恰取出12C5恰取出1件次品1件正品有CC11C2C3件次品1件正品的概率为是错误的. 2A5 (2).上中下三本一套的书随机放在书架上，则 ①恰好按上中下顺序放好的概率为 11 正确 A333211 错误 3②恰好按上中下顺序放好的概率为 ③上下两本放在一起的概率为 22 正确 3A32 错误 A33④上下两本放在一起的概率为 3解析①② 上中下三本书摆放共有A3种可能，恰好按上中下顺序放好仅有一种可能，所以①恰好按上中下顺序放好 的概率为 111是正确的，②恰好按上中下顺序放好的概率为是错误的. 3A3332122③④将上下两本书作为一个整体，与“中”排队，有A22种排法，而上下两本书又有A22种排法，故上下两本 22放在一起共有A2A2224放法，所以③上下两本放在一起的概率为 22 是正确的，④上下两本放在一起3A3的概率为 2是错误的. A33评注 题目9-10是在考核对等可能概型概率计算的理解. 111,P(B),P(AB) 则 23412（1） P(BA) 正确 （2） P(BA) 错误 233（3） P(AB) 正确 （4） P(AB)P(A) 错误 410. 若P(A)解析 若P(A)0，事件A有资格做条件，事件A发生条件下事件B的条件概率的定义为P(BA)P(AB)； P(A)若P(B)0，事件B有资格做条件，事件B发生条件下事件A的条件概率的定义为P(AB)P(AB). P(B)1P(AB)111124是正确的，由题设P(A),P(B),P(AB)，所以（1）P(BA)（2） P(BA)12343P(A)221P(AB)3是错误的.（3）P(AB)（4） P(AB)P(A)是错误的. 4是正确的， 1P(B)43 11. 已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则 （1）P(第一次取到正品)8 正确 101C2（2）P(第一次取到次品)1 正确 C1011C8C2（3）P(第一次取到正品，第二次取到次品) 正确 2A1011C8C2（4）P(第一次取到正品，第二次取到次品) 错误 2C1082 正确 10982 错误 （6）P(一次取到正品，一次取到次品)109（5）P(第一次取到正品，第二次取到次品)解析（1）（2）仅考虑第一次取到正品或次品的概率，总的样本点数为10，取到正品的样本点数为8，取到次品的 样本点数为2，所以（1）P(第一次取到正品)8是正确的， 101C22（2）P(第一次取到次品)1是正确的. C1010（4）（5）用两种方法计算（第一次取到正品，第二次取到次品）事件的概率. 2方法1 样本点总数为A（第一次取到正品，第二次取到次品）的样本点数为 1010990，11C8C28216，所以P(第一次取到正品，第二次取到次品）16. 90 方法2 设A(第一次取到正品），B(第二次取到正品），则AB(第一次取到正品，第二次取到次品）. P(AB)P(A)P(AB)8216. 1099011C8C22综上，（4）P(第一次取到正品，第二次取到次品)是错误的，错在样本点总数计为而不 C102C102是A10，没有考虑顺序.（5）P(第一次取到正品，第二次取到次品)82是正确的. 109（6）事件（一次取到正品，一次取到次品）对顺序没要求，可以是第一次取到正品，第二次取到次品，也可以是第一次取到次品，第二次取到正品. 1091145，事件（一次取到正品，一次取到次品）所含样本点数为C8C216，所216以P(一次取到正品，一次取到次品). 452方法1 样本点总数为C10方法2 设A(第一次取到正品），B(第二次取到正品） P(一次取到正品，一次取到次品)P(ABAB)P(AB)P(AB) P(A)P(BA)P(A)P(BA)所以（6）P(一次取到正品，一次取到次品)822816 1091094582是错误的. 10912．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种零件，产量分别占总产量的25%、35%、40%，每个车间的产品中，次品分别占5%，4%，2%。现在从产品中随意抽检一件，设A1、A2、A3分别为抽到甲、乙、丙车间的产品，B为抽到次品， （1）则在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作 ①P(BA1)；正确 ② P(A1B)。错误 1B)；错误 ③P(A 则在已知取到次品的条件下取到甲车间产品的概率应该记作 ①P(A1B)；正确 ②P(BA1)；错误 ③P(A1B)。错误 解析 条件概率符号的规定为：作为已知发生的事件写在括号中竖线的右侧另一事件写在括号中竖线的左侧。由题设A1（取到甲车间产品），B（抽到次品），故在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作P(BA1)，①是正确的，②、③均是错误的。 （2）则在已知取到甲车间产品的条件下，取到次品的概率P(B 则在已知取到乙车间产品的条件下，取到次品的概率P(B 则在已知取到丙车间产品的条件下，取到次品的概率P(BA1)0.05。正确 A2)0.04。正确 A3)0.02。正确 解析 首先不言而喻的是每件产品会等可能的被取到。题目中给出各车间的次品率，如甲车间的次品率为0.05，相当于甲车间的产品中次品占全部产品的5%。若已知取到甲车间的产品，此时取到次品的概率即次品占甲车间产品的比率5%=0.05，所以P(BA1)0.05是正确的。其余同理。 （3）则抽到次品B的概率为 ①P(B)0.050.040.02。错误 ② P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)0.250.050.350.040.40.02。正确 解析 抽到的次品必然属于甲、乙、丙三个车间中的某一个，A1、A2、A3即是一个完备事件组也称作划分，即事件B可以用A1、A2、A3划分为互斥的三部分，BA1BA2BA3B。所以 P(B)P(A1BA2BA3B)P(A1B)P(A2B)P(A3B) 再由乘法公式，如P(A3B)。综上分析可知②是正确1B)P(A1)P(BA1)0.250.05，同理可以计算P(A2B)、P(A的。 ①P(B)0.050.040.02，简单的将各车间的次品率相加是错误的。 （4）已经计算得抽到次品B的概率为0.0345，则在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率为 ①P(A1B)P(A1B)0.250.05。正确 P(B)0.0345 ②P(A1B)P(B)0.0345。错误 P(A1B)0.250.05在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率记为P(A1B)是对的，条件概率P(A1B)的定义式为 P(A1B) P(A1B)，所以①正确，②是错误的。 P(B)13.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则： 68 正确 101167（2）两次都取到红球的概率为 错误 1010（1）两次都取到红球的概率为 7 错误 1037（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为 错误 10116847； 正确 （5）从乙袋中取到红球的概率为10111011681011（6）已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率为 . 正确 684710111011（3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为 解析 设A(从甲袋中取到红球），B(从乙袋中取到红球）， （1）（2） P(两次都取到红球)P(AB)P(A)P(BA)其中P(BA)6848 10111108的思路是：从甲袋取到红球事件已经发生了，即将1个红球放到乙袋中，乙袋中有11个球，其中8118个红球，故此时取到红球的概率为. 116867所以（1）两次都取到红球的概率为是正确的，（2）两次都取到红球的概率为是错误的. 10111010（3）如前面所设，事件“已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球”的概率应该记为P(BA)，如上面的分析， P(BA)78，所以（3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为是错误的. 10117.所以（4）已知从11（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率是条件概率，即P(BA)，P(BA)甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为 37是错误的. 1011（5）从乙袋中取到红球有两种可能，一为从甲袋取到红球且从乙袋中取到红球，另一为从甲袋取到白球且从乙袋 中取到红球，可以用全概公式计算： P(B)P(AB AB)P(AB)P(AB)6847 P(A)P(BA)P(A)P(BA),101110116847是正确的。 10111011所以（5）从乙袋中取到红球的概率为 （6）根据所设事件，“已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率”应该表示为P(AB)，即已知事件B发生了，求在事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。由逆概公式（贝叶斯公式）有 68P(A)P(BA)P(AB)1011 P(AB)， 6847P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)10111011所以（6）是正确的。 评注 11-13是在考核对条件概率，乘法公式的理解. 14.某人打靶，命中率为0.2，则下列事件的概率为 （1）第一枪没打中的概率为0.8； 正确（2）第二枪没打中的概率为0.8； 正确 （3）第二枪没打中的概率为0.16 错误 （4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.4 错误 （5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.04 正确 2（6）第三枪第一次打中的概率为0.80.2. 正确 2（7）射击三枪中仅打中一枪的概率为0.80.2. 解析 • 题目给出“命中率为0.2”，相当于每次打靶命中与否都是相互独立的.既然各枪打中的概率为0.2，各枪没打中的概率也就均为0.8，所以（1）第一枪没打中的概率为0.8，（2）第二枪没打中的概率为0.8，都是正确的，（3）第二枪没打中的概率为0.16，是错误的. • (第一枪与第二枪全打中) 是第一枪打中且第二枪打中的积事件，又两事件相互独立， P(第一枪与第二枪全 打中)0.20.20.04 ，所以（4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.4是错误的，（5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.04是正确的. 2“第三枪第一次打中”当然是第一、二抢没打中，第三枪打中，所以（6）第三枪第一次打中的概率为0.80.2• 是正确的. • 射击三枪中仅打中一枪，可以是第一枪打中第二、三枪未打中，也可以是第二枪打中第一、三枪未打中，还 2可以是第三枪打中第一、二枪未打中，即有三种可能，所以（7）射击三枪中仅打中一枪的概率为0.80.2是错误的， 1正确的是C30.820.230.820.2。 15 .几点概率思想 （1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标. 正确 （2）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数. 正确 （3）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生. 正确 （4）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生. 错误 第二章 随机变量及其分布 116.随机变量X的分布律为13（1）p 2133，则 p12 正确 （2） p 错误 331112解析 分布律有性质：所有概率和为1.故应该有p1，所以（1）p是正确的，（2） p 3333是错误的. 17.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产品立即放回， 再取下一只，设X为5次中取出的次品数，则 （1）第3次取到次品的概率为0. 错误 （2）第3次取到次品的概率为 1. 正确 325212（3）5次中恰取到2只次品的概率PX2C523312（4）5次中恰取到2只次品的概率PX233005252 正确 错误 512（5）最少取到1只次品的概率PX11C 正确 3311（6）最少取到1只次品的概率PX1C53k12 错误 35k412（7）随机变量X的分布律为PXkC33k5k； 错误 5kk12（8）随机变量X的分布律为PXkC533,k0,1,2,,5. 正确 1，共取5 313解析 •由题设每次取出产品立即放回，再取下一只，故每次取到次品的概率相同，均为 次，每次两个结果，次品或正品，该随机试验为5重伯努利实验，5次中取到的次品数X服从二项分布B(5,)，Xk的概率，即5次中 恰取到k只次品的概率为 12PXkC5k33k5k(k0,1,2,3,4,5)， 1是正确的. 3所以（1）第3次取到次品的概率为0是错误的，（2）第3次取到次品的概率为 12（3）5次中恰取到2只次品的概率PX2C523312（4）5次中恰取到2只次品的概率PX233252252是正确的， 是错误的. （5）（最少取到1只次品）的对立事件是5次中没取到次品，（没取到次品）即{X0}的概率，故 012（5）最少取到1只次品的概率PX11C5（6）最少取到1只次品的概率是正确的， 33051PX1C3151211是错误的.C533412为5次中恰取到1只次品的概率，即{X1}的概率. 34•求随机变量X的分布律，应该将X的所有可能取值与取值的概率列出，由前面的分析知道Xk的概率为 12PXkC5k33 k5k是正确的，（7）错在没有列出k的范围，（8）是正确的。 18.某交通路口一个月内发生交通事故的次数X服从参数为3的泊松分布P(3)，则 （1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率PX31. 错误 32e3（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率PX2. 正确 2!31e3（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率PX1. 错误 1!（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为 30e331e3PX0PX1. 正确 0!1!3ke3(k0,1,2,)，例如，{X1}的概率为 解析 泊松分布P(3)的分布律为P{Xk}k!31e3P{X1}3e3.所以 1!33e333e332e3（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率为P{X3}，故PX31是错3!62误的. 32e3（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率PX2是正确的. 2!（3）（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率，即{X1}的概率， {X1}{X0}{X1}， 30e331e3P{X1}P{(X0)(X1)}P{X0}P{X1}4e3 0!1!30e331e3故（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为PX0PX1 是正确的，0!1!31e3而称交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为PX1是错误的. 1! 19. 袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令X1，取到白球令X0，则 （1）称X为服从01分布. 正确 （2）X为连续型随机变量. 错误 1（3）X的分布律为35012. 错误 （4）X的分布律为25503. 正确 5x0,0,3（5）X的分布函数为F（x）,0x1, 错误 5x1.1,x0,0,3 （6）X的分布函数为F（x）,0x1, 正确 5x1.1,解析 •由题设X仅取数0与1，且X取0与1的概率均大于0，所以（1）称X为服从01分布是正确的. •01分布是离散型随机变量的分布，X服从01分布，显然不会是连续型随机变量，所以（2）X为连续型随 机变量是错误的. 123•因为{X1}的概率即取到红球的概率，故P{X1}，P{X0}，所以（3）X的分布律为35551错误的，（4）X的分布律为2503是正确的. 502是5•随机变量X的分布函数F(x)的定义为F(x)P{Xx}xR。当x0时分布函数的函数值 F(0)P{X0}，即随机变量X取值小于或等于0的概率，应该为 33，即F(0)P{X0}，而（5）定义55F(0)0，显然（5）是错误的。再分析x1时分布函数的函数值F(1)P{X1}，即随机变量X取值小于或等于 1的概率，应该为1，（5）定义F(1)3，显然（5）也是错误的。而（6）是正确的。 50x01 0x1，则 20. 设随机变量X的分布函数为F（x）3x11 1 正确 31（3）P{X0.5}0 正确 （4）P{X0.5} 错误 32（5）P{0.5X1.5} 正确 （6）P{0.5X1.5}1 错误 31010 错误 （7）X的分布律为2 . 正确 （8）X的分布律为2113333（1）P{X0.5}0 错误 （2）P{X0.5}解析 •分布函数的定义为F(x)P{Xx}，例如F(2)就是{X2}的概率，F(2)P{X2}. 该题分布函数为分段函数，例如 当x2，因为20，所以F(2)0，即F(2)P{X2}0； 当x0.3,因为00.31，所以F(0.3)11，即F(0.3)P{X0.3}； 33当x3, 因为31，所以F(3)1，即F(3)P{X3}1. 利用上面知识分析（1）（2）P{X0.5}：由分布函数定义，P{X0.5}F(0.5)，而00.51，所以 P{X0.5}F(0.5)11，故（1）P{X0.5}0 是错误的.（2）P{X0.5} 是正确的. 331• 该分布函数值仅在x0与x1两处有变化，即当x由小于0变到等于0时，分布函数值由0增加到，增加 31111了，故增加的即X0的概率，也即P{X0}；当x由小于1变到等于1时，分布函数值由增加到1，增3333222加了，故增加的即X1的概率，也即P{X1}. 333分布函数的图像更清楚地展示了上述规律，见图 分布函数仅在x0与x1两处有跳跃，所以随机变量X的分布律为10312，3 X在其他各点的概率为0.故 （7）X31（3）P{X0.5}0是正确的， （4）P{X0.5}是错误的. 3• 由分布函数的定义F(x)P{Xx}可以知道 P{aXb}P{Xb}P{Xa}F(b)F(a) 所以P{0.5X1.5}F(1.5)F(0.5)1（5）P{0.5X1.5}0的分布律为1301 是正确的， （8）X的分布律为2231是错误的. 1312，故 332是正确的， （6）P{0.5X1.5}1是错误的. 3评注 这是一道考核分布函数概念，分布函数与分布律关系，由分布函数计算概率的题目. Ax0x121.设随机变量X的概率密度f(x) ， 则 0其它 （1）由积分 （2）由积分 1Axdx1可以计算常数A. 错误 0Axdx1可以计算常数A. 正确 （3）常数A =2 . 正确 （4）常数A =1 . 错误 解析 • 概率密度有性质 f(x)dx1，当f(x)中有未知参数A时，其即是含A的方程，故可以通过 f(x)dx1计算常数A。问题是积分f(x)dx中的f(x)在不同区间的具体内容要与定义相符，该题目f(x)的 定义为在[0,1]区间上为Ax，其他处均为0，所以应该是 其中 f(x)dx0dxAxdx0dxAxdx1， ※ 01001100dx0,10dx0，不为0的积分仅有Axdx.故（1）是错误的，（2）是正确的。 01 • 完成※式的计算， f(x)dx0dxAxdx0dxAxdx010011A2x210A1， 2所以（3）常数A=2 是正确的，（4）常数A =1是错误的. 2x0x122.设随机变量X的概率密度f(x) ， 则 其它0（1）P{0X1}（3）P{0X2}2xdx 正确 （2） P{0.5X011}2xdx 正确 0.50.51202xdx 错误 （4） P{X0.5}2xdx 错误 解析 随机变量X的概率密度f(x)与概率P{aXb}之间有如下关系 P{aXb}P{aXb}baf(x)dx， 关键在f(x)的内容要与区间对应.由题设f(x)仅在[0,1]上为2x，其他处f(x)均为0.故 （1）P{0X1}10f(x)dx2xdx是正确的. 01（2） P{0.5X1}（3）P{0X2}210.5f(x)dx2xdx是正确的. 0.512110100120f(x)dx2xdx0dx2xdx02xdx，故 P{0X2}2xdx是错误的. 0（4）P{X0.5} 0.5f(x)dx2xdx0dx2xdx，故P{X0.5}2xdx是 错误的. 0.510.50.5110223.设随机变量X的分布函数F(x)x1x00x1，则X的概率密度 x12x（1）f(x)00x1x2 正确 （2）f(x)其它00x1其它x0 错误 0（3）f(x)2xxR 错误 （4）f(x)2x10x1 错误 x1 解析 连续型随机变量的分布函数与概率密度之间有如下关系：在概率密度的可导点x，f(x)F(x).故在 (,0)内，f(x)F(x)00；在(1,)内，f(x)F(x)10；在(0,1)内，f(x)F(x)(x2)2x. 又因为概率密度在个别点的值不影响概率的计算，所以只要满足概率密度的非负性，在x0与x1处，概率密度可以任意定义. 2x综上仅有（1）f(x)00x1是正确的，其他均是错误的. 其它24.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则 （1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为 1. 正确 21. 正确 23（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为. 正确 103（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为. 错误 10解析 因为公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，所以只在0到10分钟内考虑既可.由题设乘客随机到车站等 车，相当于乘客到车站的时刻X服从(0,10)内的均匀分布. 均匀分布的概率计算公式为：设随机变量X服从(a,b)区间的均匀分布，则 P{cXd}其中(c,d)(a,b)，如图 dc ba. 当乘客在(5,10)内任意时刻到达时，乘客候车时间不超过5分钟，故 P(乘客候车时间不超过5分钟）P{5X10}所以（1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为 1051， 1002 1是正确的. 2当乘客在(0,5)内任意时刻到达时，乘客候车时间超过5分钟，故 P(乘客候车时间超过5分钟）P{0X5}所以（2）乘客候车时间超过5分钟的概率为 501， 1002 1是正确的. 2当乘客在(7,10)内任意时刻到达时，乘客候车时间才不超过3分钟，故 P(乘客候车时间不超过3分钟）P{7X10}所以（3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为 1073， 10010 3是正确的.10当乘客在(0,7)内任意时刻到达时，乘客候车时间才超过3分钟，故 P(乘客候车时间超过3分钟）P{0X7}所以（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为 25. 随机变量X~N(0,1) 则 (1) PX0707， 10010 3是错误的.1011 正确 （2） PX0 正确 22 （3）PX0PX0 正确 （4）PX0PX0 错误 解析 N(0,1)为标准正态分布，其概率密度为偶函数，概率密度图像如图 故X0的概率与X0的概率相等，均为错误的. 26. 随机变量X~N(3,22)，(x)为标准正态分布的分布函数， 则 （1） 1，所以（1）（2）（3）均是正确的，（4）PX0PX0是2X3X3~N(0,1)； 错误 （2）~N(0,1)； 正确 42(3)P2X5= (1)(1/2) ； 错误 (4) P4X10=2(3.5)1。 正确 解析 • 正态分布有定理：设X~N(,)，则故 2X~N(0,1).该题设X~N(3,22)，相当于3,2， X3~N(0,1)，所以（2）是正确的，（1）是错误的。 2X3Xx}.又标准服从标准正态分布，则(x)P{•标准正态分布的分布函数一般用(x)表示，既然 2正态分布的分布函数有性质：(x)1(x). 由题设X~N(3,2)，故 223X3531X3P2X5P1 P22222 P1111X3X31P(1)()(1)[1()](1)()1 222222所以(3)P2X5= (1)(1/2)是错误的. P4X10PX343X31033.5 P3.52222 (3.5)(3.5)(3.5)[1(3.5)]2(3.5)1 所以(4) P4X10=2(3.5)1 是正确的. x1e,x0,27. 随机变量X的概率密度为f(x) 则称X服从参数为的指数分布. 正确 0,x0,解析 其为指数分布的定义，应该记住。 28．设X~10，则 0.40.620 正确 0.40.631 正确 0.40.6（1）Y2X的分布律为（2） Y2X1的分布律为解析 求离散型随机变量的分布律即应该将该随机变量的所有取值与取值的概率列出. （1）X可以取到0，1，则Y2X只能取到0，2，且 P{Y0}P{2X0}P{X0}0.4 P{Y2}P{2X2}P{X1}0.6 所以Y2X的分布律为20是正确的. 0.40.6（2）试用列表方式求解 X的取值为 0 1 Y2X1的取值为 1 3 可见Y1的概率即X0的概率，Y3的概率即X1的概率，所以Y2X1的分布律为 29.设随机变量X的概率密度为f(x)（1）fY(y)0x12x ,则YeX的概率密度为 其它031是正确的. 0.40.6lny1ye 错误 其他02lny1ye（2）fY(y)y 正确 0其他解析 求连续型随机变量函数的概率密度应该先求分布函数，再对分布函数求导即得到概率密度. 随机变量YeX的分布函数为 FY(y)P{Yy}P{eXy}P{Xlny}FX(lny) 1fY(y)FY(y)FX(lny)(lny)fX(lny). y当y(1,e)，lny(0,1)，fX(lny)2lny，故 fY(y)FY(y)fX(lny)1122lnylny； yyy当y1，lny0，fX(lny)0，故 fY(y)FY(y)fX(lny)当ye，lny1，fX(lny)0，故 1100； yyfY(y)FY(y)fX(lny)综上 1100； yy2lny1ye fY(y)y， 0其他所以（1）错误，（2）正确. 第三章 二维离散型随机变量及其分布 30. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为 判断下述结论是否正确？ （1）P{X2,Y0}0.16 正确 （2）P{X1.5,Y0.5}0 错误 （3）Y的边缘分布律为120 错误 0.20.40.4（4）X,Y不独立 错误 （5）概率P{XY1}0.12 错误 （6）ZXY的分布律为0121 正确 0.120.320.40.16分析 要回答该题目，首先应该清楚(X,Y)联合分布律的涵义.该表表示(X,Y)的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，取各对数值的概率分别为 P{X0,Y0}0.08，P{X0,Y1}0.12，P{X1,Y0}0.16， P{X1,Y1}0.24，P{X2,Y0}0.16，P{X2,Y1}0.24. （1）P{X2,Y0}0.16 正确 解析 从前面对联合分布律表的阐述可知P{X2,Y0}0.16是正确的。 （2）P{X1.5,Y0.5}0 错误 解析 P{X1.5,Y0.5}为X1.5且Y0.5的概率，根据所给联合分布律，应该求X取0或1，且Y取0，即(X,Y)取(0,0),(1,0)的概率，故 P{X1.5,Y0.5}P{X0,Y0}P{X1,Y0}0.080.160.24， 所以（2）P{X1.5,Y0.5}0是错误的。 （3）Y的边缘分布律为120 ； 错误 0.20.40.4解析 求Y的边缘分布律，即求Y的分布律，应该先确定Y的取值，为0，1，再确定Y取各值的概率. 求{Y0}的概率，应该将上述概率中所有{Y0}无论X取任何值的概率相加，即 P{Y0}P{X0,Y0}P{X1,Y0}P{X2,Y0}， 0.080.160.160.4类似可以计算{Y1}的概率， P{Y1}P{X0,Y1}P{X1,Y1}P{X2,Y1}， 0.120.240.240.611200所以Y的边缘分布律为. 题目给出的分布律，是X的边缘分布律，非Y的边缘分布律，0.40.60.20.40.4所以是错误的. 将X,Y各取值的概率写在联合分布律的边上，各自的边缘分布律一目了然： . （4）X,Y不独立 错误 解析 解答该题目应该先清楚离散型随机变量相互独立的条件： 如果X,Y相互独立，要求X,Y取每一对数都满足积的概率等于概率的积。此题即要求 P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}，P{X0,Y1}P{X0}P{Y1}， P{X1,Y0}P{X1}P{Y0}， P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}， P{X2,Y0}P{X2}P{Y0}，P{X2,Y1}P{X2}P{Y1}. 是否满足上述6个等式，应该一一验证：例如 P{X0,Y0}0.08,P{X0}P{Y0}0.20.40.08, P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}； P{X0,Y1}0.12,P{X0}P{Y1}0.20.60.12P{X0,Y1}P{X0}P{Y1}； 对每一对取值的概率都作如上验证，可知都有积的概率等于概率的积，故X,Y是相互独立的. （5）概率P{XY1}0.12 错误 解析 由联合分布律知道(X,Y)的取值共有（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）6种可能，其中当X0,Y1与X1,Y0都使XY1，且(X,Y)取其他任何数值XY1，故 P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}0.120.160.28， 所以P{XY1}0.12是错误的。 （6）ZXY的分布律为0121 正确 0.120.320.40.160121是否正确，只能将ZXY的分 0.120.320.40.16解析 要判断ZXY的分布律为布律求出，首先确定由(X,Y)的各对取值计算的ZXY的值，不妨列表完成： Z 01再确定Z各取值的概率： 012012 101表中间的数值即是由XY算得的Z值，可知Z的取值有-1，0，1，2。 P{Z1}P{X0,Y1}0.12，P{Z0}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.32， P{Z1}P{X1,Y0}P{X2,Y1}0.4，P{Z2}P{X2,Y0}0.16， 显然ZXY的分布律为 31. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 0121是正确的。 0.120.320.40.16 则 （1）X,Y相互独立； 错误 （2）MmaxX,Y的分布律为601237 ； 正确 对 161616（3）NminX,Y的分布律为621037 。 正确 161616解析 （1）在30题（4）中已经讲过X,Y相互独立的条件，先将X与Y的边缘分布律求出列在表中，如下表 可见 P{X2,Y0}1 16，P{X2}P{Y0}61661636256， P{X2,Y0}P{X2}P{Y0}， 所以X,Y相互不独立。注意只要有一对数积的概率不等于概率的积，X,Y即相互不独立。 （2） (X,Y)为二维随机变量，每次试验有一对取值，此题目(X,Y)取值为(2,0),(2,1),(2,2),(1,0)，等等. MmaxX,Y表示M取每对数中最大的，例如当(X,Y)(2,0)时，则M0；当(X,Y)(2,1)时，则 M1；当(X,Y)(0,0)时，则M0.以此类推. 为确定M取值可以列表分析，表为 M 2100120120 12012表的中间即为对应(X,Y)的每一对取值，随机变量M的取值.由此可知M取到0，1，2三个数.M0的概率即为(X,Y)取(2,0),(1,0),(0,0)概率的和，为6N（3） minX,Y表示N16.同理可以分析M1与M2的概率，所给结果是正确的. 取每对数中最小的，例如当(X,Y)(2,0)时，则N2；当(X,Y)(1,1)时，则N1； 当(X,Y)(0,0)时，则N0.以此类推.同样可以列表分析N的所有取值，并确定N所有取值的概率.请自己分析 第四章 随机变量的数字特征 1032. 设随机变量X的分布律为1136（1）E(X)=13； 正确 211 ，判断下述结论是否正确？ 361（2）E(X2)[(1)2021222]/46/43/2 ； 错误 12121140122； 正确 363631122（4）X的方差D(X)E(X)[E(X)] . 正确 922（3）E(X)(1) 解析（1）判断E(X)1是否正确，只能通过计算E(X)。 3离散型随机变量数学期望的计算：是将分布律中所有取值与概率相乘加起来，即： E(X)1101112136361 3所以E(X)1是正确的。 3（2） 这种求X的数学期望的方法显然是错误的，应该是 22 E(X)(1)2121212184012 ， 36366322所以（2）是错误的，（3）是正确的。 （4）由方差的计算公式，X的方差D(X)E(X)[E(X)]， 由上面的分析知道 22 E(X)(1)121212184012， 363663由上面（1）的分析知道 12 E(X)1，[E(X)] ， 3922所以 D(X)E(X)[E(X)]4111 是正确的。 399 33.设随机变量X的概率密度f(x)（1）E(X)（2）E(X)2x0x1，则 0其它1012xdxx2x2xdx101； 错误 2312x0 ；正确 0331241122（3）E(X)x2xdxx0；正确 0421212（4）D(X)E(X)E(X) ；错误 23622（5）D(X)E(X)[E(X)]141.正确 2918解析 • 判断（1）、(2)一个思路，即掌握数学期望的计算方法，如果随机变量X的概率密度为f(x)(xR)，则 E(X)由题设，该题目X的数学期望计算为 xf(x)dx， E(X)1xf(x)dxx0dxx2xdx1002011x0dxx2xdx0122xdxx3032,3 所以（1）是错误的，（2）是正确的。 • 随机变量X的函数X2的期望E(X2)的计算为 E(X2)x2f(x)dxx20dxx22xdx0310011x20dxx22xdx0122xdxx404121,42 所以（3）是正确的。 • 同31题的分析，X的方差D(X)的计算公式为 D(X)E(X2)[E(X)]2， 由上面（1）的分析知道 2 E(X)2，[E(X)]3121141222所以（4）D(X)E(X)E(X) 是错误的，（5）D(X)E(X)[E(X)]是正确的。 23629181212 注 即使不计算也应该知道（4）D(X)E(X)E(X)是错误的，因为方差的定义为 2364， 9D(X)E[XE(X)]2，其不可能为负数。 34.设随机变量X10x1x的概率密度f(x)2x 1x2 ，判断下述结论是否正确？ 0其它（1）E(X)01xdx(2x)dx； 错误 12122（2）E(X)xdxx(2x)dx1； 正确 0（3）E(X)2107xdxx2(2x)dx； 正确 1632（4）E(X2)E2(X)=16 ； 正确 （5）X的方差D(X)1 。 错误 6解析 • 同33题（1）、(2)的分析，当随机变量X的概率密度为f(x)(xR)，则 E(X)xf(x)dx， 1(x2x3)3具体到这道题概率密度是分段定义的，积分也必须分段进行，正确的做法是： E(X)= 1021xxdxx(2x)dxx31310211， 所以（1）E(X)= 10（2）的计算是正确的。 xdx(2x)dx是错误的， 122随机变量X的函数X的期望E(X2)的计算为 E(X2)1x2f(x)dxx20dxx2xdxx2(2x)dx0132230122x20dx 12172xdx(2xx)dxx41(x3x4)1,0014346127232所以（3）E(X)xdxx(2x)dx是正确的。 016•因为 7E(X)1,E(X2)， 67212222所以 E(X)E(X)1，（3）E(X)E(X)=16是正确的。 66• (5) X的方差有计算式 D(X)E(X2)E2(X)， 所以D(X)1,（5）X的方差D(X)1 当然是错误的。 6635. 一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%，10%，6%，4%.若单位产品价值分别为6元，5元，4元，2元及0元，判断下述结论是否正确？ （1）单位产品的平均价值为60.750.140.120.065.22（元）；正确 （2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5 = 3.4（元）。 错误 解析 此处任取一件产品的价值显然是随机变量，它的取值有6元至0元五种可能，每种可能的概率决定于各种产品占总产品的比例。计算单位产品的平均价值即计算价值这一随机变量的数学期望。 所以（1）单位产品的平均价值为60.750.140.120.065.22（元），是正确的； 显然（2）单位产品的平均价值为（6+5+4+2+0）/5 = 3.4（元） 是错误的。 36. 设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，称X判断：E(X)0，D(X)1 是否正确？ 正确 解析 判断的过程实际是E(X)与D(X)的计算过程，当然这类结论应该记住，不必每次都重新推导。 XE(X)D(X)为X的标准化。 E(X)E[XE(X)11]E[XE(X)][E(X)E(X)]0， D(X)D(X)D(X)D(X)D[XE(X)11]D[XE(X)]D[X]1， D(X)D(X)D(X)所以E(X)0，D(X)1 是正确的。 注意 推导的过程用到数学期望与方差的性质，例如设a,b为常数，则 E(aXb)aE(X)b， D(aXb)a2D(X) 。 第五章 大数定律与中心极限定理 37. （1）设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，契比雪夫不等式为：对任意0有 P{XE(X)}D(X)2；正确 （2） 随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率不会大于19. 正确 解析 该题目应该用契比雪夫不等式分析. •设随机变量的期望为，均方差为，方差则为2，契比雪夫不等式为对于任意0有 }2 P{X2 ， 所以（1）是正确的。 • 该题目问“随机变量与其均值之差的绝对值大于3倍均方差的概率” ，相当于3，即求 P{X3}21929， 所以所给结果是正确的. 38. 独立随机变量X1,X2,,X100都服从参数λ=1的泊松分布，则 100近似（1）X1X2X100Xi~N(100,100)；正确 i1（2）X1,X2,,X100的和小于120的概率为 100100Xi100 PX120i=Pi1i1120100(0.2)； 100100错误 （3）X1,X2,,X100的和小于120的概率为 100X P100X=Pi100120ii1120100i1(2). 正确 1010解析 解该题目关键在清楚“独立同分布中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。 随机变量X1,X2,,X100相互独立，都服从参数λ=1的泊松分布，满足独立同分布中心极限定理的条件，所以 Xi1100i近似服从正态分布N(E(Xi1100i),D(Xi))。 i1100因为X1,X2,,X100都服从参数λ=1的泊松分布，则它们的期望与方差均为1，即E(Xi)1,D(Xi)1，所以 E(Xi)100,D(Xi)10010，即Xi近似服从正态分布N(100,102)，所以（1）是正确的。 2i1i1i1100100100注意，由正态分布化标准正态分布定理： 若X~N(,2)，则 X~N(0,1)， X用在此处即 i1100i100~N(0,1)，应该是 10100X100120100100i1i PXi120P(2)， 1010i1100X100120100i1i（3）是正确的。 120=P(2)是错误的， 100100100所以（2）PXii1 39. 袋装茶叶用机器装袋，每袋净重是随机变量，均值是0.1公斤，标准差为0.01公斤，一大盒内装200袋，一大盒茶叶净重超过20.25公斤的概率可以如下计算，设每袋茶叶的重量为Xi，i1,2,,200，一大盒茶叶重量为 Xi1200i， Xi1200近似i~N(20,0.02),Xi120020近似~N(0,1)，则 0.02i200X20i20020.25200.25 ； 错误 i1 （1）P)Xi20.25P(0.020.020.02i1200X2020020.25200.25 . 正确 i1i （2） PX20.25P1()i0.020.020.02i1解析 该题目是让判断一大盒茶叶净重超过20.25公斤概率的计算方法是否正确。 解该题目关键与38题相同，关键在清楚“独立同分布中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。 每袋净重是随机变量，可以看作服从相同分布且相互独立， 设每袋茶叶的重量为Xi，i1,2,,200，一大盒茶叶重量为 200i1200i1200i1Xi1200i，则 Xi近似服从正态分布N(E(X),D(X))，其中E(X)0.1公斤，D(X)0.1公斤平方， 2iiii，D(Xi)0.12200（公斤平方）=0.02（公斤平方）。 E(Xi)0.1200=20（公斤） i1i1200200即 正确的解法应该是 Xi1200近似i~N(20,0.02) 200X2020.2520200i1iPXi20.25P0.020.02i1X20i20.25200.25i11P1()0.020.020.02200 注意 若Z~N(0,1),，则(x)P{Zx}，所以（1）是错误的，（2）是正确的。 40.一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度大于或等于3m，现从这批木柱中随机取出100根，则其中至少有30根短于3m的概率可以如下计算： （1）设100根木柱中长度短于3m的根数为X，X~B(100,0.2)， PX30PX203020(2.5) ； 错误 44（2）设100根木柱中长度短于3m的根数为X，X~B(100,0.2)， PX30PX2030201(2.5)；正确 44（3）设100根木柱中长度大于或等于3m的根数为X，X~B(100,0.8) ， PX70PX807080(2.5)1(2.5) 正确 44解析 • 解该题目的关键在清楚“拉普拉斯中心极限定理”与“正态分布化标准正态分布”的定理。 拉普拉斯中心极限定理的内容是： 若随机变量X~B(n,p)，当n较大时，X近似服从正态分布N(np,np(1p))。 •既然80%的长度大于3m，说明每根长于3米的概率为0.8，短于3米的概率为0.2。取100根相当于 100次独立试验，每根或长于3米或短于3米。 设100根木柱中长度短于3m的根数为X，则X~B(100,0.2)，由拉普拉斯中心极限定理 X~N(20,16) ，再由正态分布化标准正态分布定理有 的概率，即PX30，正确的计算是 近似X20~N(0,1)，求取出的100根中至少有30根短于3m4X203020X20PX30PP2.5444 X201P2.51(2.5)4注意若Z~N(0,1),，则(x)P{Zx}，其中 X20X20~N(0,1)，则P2.5(2.5) ，不能认为44X203020（2）是正确的。 P(2.5)，所以 （1）是错误的， 44• 因为至少有30根长度短于3m的概率与至多有70根长度大于或等于3m的概率相同，所以可以通 过求至多有70根长度大于或等于3m的概率解决。故 设100根木柱中长度大于或等于3m的根数为X，X~B(100,0.8) ，则X~N(80,16)， PX70P所以（3）是正确的。 第六章 抽样分布 41. 设X1,X2,近似X807080(2.5)1(2.5)， 44,Xn为简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则 1n1n （1） XXi ；正确 （2）XXi；错误 ni1n1i11n1n22 （3）S(XiX)；错误 （4）S(XiX)2.正确 ni1n1i12这一题目查课件与书都可得到结果，它是定义. 样本均值的定义为 1n XXi， ni1样本方差的定义为 1n S(XiX)2， n1i12所以（2）（3）是错误的，（1）（4）是正确的. 242．设总体X服从正态分布N(30,3)，X1,X2,X20是来自X的样本，X为样本均值，则 32（1）X服从正态分布N(30,3)；（2）X服从正态分布N(30,)； 202（3）P{X0}0.5； （4）P{X30}0.5. 觧析 此题目用到下面知识点： 若随机变量相互独立，都服从正态分布，则它们的线性函数仍然服从正态分布； 正态总体X~N(,)，X1,X2,2Xn为样本，则样本均值X~N(,2n). 2题目告知总体X服从正态分布N(30,3)，则总体X的样本均值X服从正态分布，即 1X(X1X22032X20)~N(30,)， 20所以（1）是错误的，（2）是正确的。 32既然X~N(30,)，X的概率密度以x30对称，所以（4）P{X30}0.5是正确的，（3）P{X0}0.520是错误的。 43.由t分布表 可以查到满足（1）P{t(9)}0.05 的= 1.8331 错误 （2）P{t(9)}0.9的= 1.8331 正确 （3）P{t(9)}0.05的= 1.8331 正确 （4）P{t(9)}0.025的= 2.2622 错误 解析 回答该题目的关键在于清楚t分布表所给内容的含义，如题目所给的部分t分布表表示 P{t(9)1.8331}0.05，P{t(9)2.2622}0.025 （1）要找使P{t(9)}0.05，即 P{[t(9)][t(9)]}P{t(9)}P{t(9)}0.05 因为P{t(9)}P{t(9)}，则应该找使P{t(9)}0.025，所以2.2622. 题目所给结果是错误的. （2）要找使P{t(9)}0.9，即P{t(9)}0.1，也即 P{(t(9))(t(9))}P{t(9)}P{t(9)}0.1， 如同上面分析，应该找使P{t(9)}0.05，所以1.8331. 题目所给结果是正确的. 按上面分析，请自己判断（3）、(4)的对错. 第七章 参数估计 44.设总体为X，X为样本均值，则 （1）X是数学期望E(X)的矩估计； 正确 1n（2）(XiX)2是方差D(X)的矩估计. 正确 ni11nX是样本1阶矩，解析 矩估计的基本思路是用样本k阶矩估计总体k阶矩，E(X)是总体1阶矩，(XiX)2ni1是样本2阶中心矩， D(X)E[XE(X)]是总体2阶中心矩，所以（1）、（2）都是正确的。 21xe45.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，概率密度为f(x)0x0x0， X为样本均值，则的矩估 计=X. 正确 解析 在第四章介绍过指数分布的概率密度如题目所给时，其数学期望等于，又数学期望的矩估计为样本均值 X，所以的矩估计=X. 46. （1）样本均值X不是总体期望值E(X)的无偏估计. 错误 1n2 (XiX )2是 D (X)2的无偏估计. 正确 （2）样本方差Sn1i1解析 （1）设X1,X2,,Xn为样本，则X1(X1X2nXn)，X1,X2,,Xn与总体同分布，故 E(X1)E(X2)E(Xn)E(X)，所以 Xn)]1E(X1X2nXn)1n n1E(X)E[(X1X2n即样本均值X是总体期望值E(X)的无偏估计. n1 （2）E(S)E[ (XiX )2]= D (X)2的推导较复杂，记住这一结果即可.即 n1i12S21n2 (XiX )2是 D (X)2的无偏估计。 D (X)是n1i1 47. 设从均值为的总体中抽取容量为n的样本 X1,X2,,Xn，则对于任意常数a1,a2,,an,只要满足 a1a2an1，则a1X1a2X2anXn都是的无偏估计.正确 anXn)是否等于.因为 解析 判断a1X1a2X2anXn是否为的无偏估计，就看E(a1X1a2X2E(Xn)，故 X1,X2,,Xn是样本，其与总体同分布，即E(X1)E(X2)anXn)a1a2 E(a1X1a2X2所以所给结论是正确的。 第八章 假设检验 an(a1a2an) 48. 人的脉搏可看作服从正态分布. 正常人脉搏平均72次/分钟，方差未知，测得样本均值X与样本方差S2，要检验其脉搏与正常人有无显著差异，则 （1）应作假设检验：H0:72（次/分钟），H1:72（次/分钟）. 正确 （2）选择的检验统计量应为ZX72/n. 错误 觧析 （1）要检验的内容为“其脉搏与正常人有无显著差异”，当然指的是脉搏的期望值是否等 于72，，所以假设检验的内容“H0:72（次/分钟），H1:72（次/分钟）”是正确的. （2）“选择的检验统计量应为ZX72/n“，则不对. 因为题目说“方差未知”，即未知，当然也未知， 2 故应该选择不包含的检验统计量t X72. S/n49.某机床加工圆形零件，其直径服从正态分布，若机器工作正常，要求所生产零件的直径均值与20（mm）无明显差异. 某天抽查了9个零件，测得平均值x=19.8（mm），样本方差s=1.1（mm），要检验这天机器工作是否正常，（=0.05）. 给附表 P{t(n)>t(n)} n\\ 0.05 0.025 8 1.8595 2.3060 9 1.8331 2.2622 则 （1）假设检验内容应为 H0:20(mm) H1:20(mm) 正确 2 2 2 （2）选择的检验统计量应为：tX20 正确 S/3 （3）对给定的显著性水平=0.05，拒绝域为|t|2.2622. 错误 觧析 题目中给出“样本方差s=1.1（mm）”，言外之意“方差2未知”，由上面题目的分析应该知道（1）、（2） 2 2 2 是正确的. （3）对于给定的显著性水平=0.05，相当于确定一个点a，使P{ta}0.05，即使得 P{ta}P{ta}P{ta}0.05 也即 P{ta}0.025. 题目交待抽查了9个零件，即样本容量为9，则当20时，tX20服从自由度为8的t分布，故S/3at0.025(8)2.3060，拒绝域应该为t2.3060，故所给答案是错误的. 50. 某牌香烟生产者自称其尼古丁的含量方差为2.3，现随机抽取9只，得样本标准差为2.4. 欲通过检验判断能否同意生产者的自称.（α=0.05，设香烟中尼古丁含量服从正态分布） （1）假设检验内容应为 H0:22.32 H1:22.32 正确 （2）选择的检验统计量应为：228S22 正确 8S22~(9) 错误 （3）当H0成立，检验统计量22.32解析（1）生产者自称其尼古丁的含量方差为2.3，通过检验判断能否同意生产者的自称,当然是检验方差是否等 22222于2.3，即“2.3”或“2.3”，所以（1）是正确的. 2（2）检验方差，选择的检验统计量应该为2(n1)S22，其中n为样本容量.题目中说“随机抽取9只”，即样 本容量为9，故选择的检验统计量应为：28S22，是正确的. 8S2（3）当H0成立，也即2.3时，检验统计量应该服从自由度为8的t分布，即应该是 22.32228S22~2(8)，题目中所给是错误的. 2.32（二）选择题 注 解单项选择题，根据对题目内容的掌握可用两种方法求解.方法1找到正确答案；方法2排除法，将不正确的3个答案排除，余下的必然为正确答案. 1. 样本空间与事件关系 （1） 将一枚均匀硬币掷两次，则正面出现的次数为 （ D ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）0、1或2 （2）下列命题错误的是（ D ） （A）ABABB （B）ABAB （C）AB，且CA，则BC （D）ABCABC 解析 看（D）ABCABC的左式：ABC其等于ABC，左右显然不等. 2.概率关系式 （1） 若概率P(AB)0，则 （ D ）. （A）AB是不可能事件 （B）A与B互斥 （C）P(A)0或P(B)0 （D）AB不一定是不可能事件 解析 以几何概型为例，看下图 设随机试验为向区域D中投点，故样本空间即区域D。设事件A为点落在绿色区域与点C，事件B为点落在红色区域与点C，事件C为仅落在点C，则事件AB为C。 几何概型的概率计算公式为： P(A)面积S(C)0，所以P(C)P(AB)S(A)，其中S(A)为区域A的面积，S(D)为样本空间的面积，而点C的S(D)S(C)0，满足题目条件。 S(D) 显然投点恰落在点C是可能的，所以不能说“AB是不可能事件”，当然也不能说A与B互斥，又P(A)0且 P(B)0，所以（A）（B）（C）都是错的，只有（D）AB不一定是不可能事件是正确的。 (2) 若A,B互为对立事件，且P(A)0,P(B)0，则下列各式中错误的是（ A ）. （A）P(BA)0 （B）P(BA)0 （C）P(AB)0 （D）P(AB)1 解析 用到知识点： A,B互为对立事件的条件为A,B互斥，A,B的和事件为样本空间.用符号表示即AB,ABS，记BA，BA.条件概率定义为：若P(A)0 ，则P(BA)利用上述两点分析： P(AB)P(BA)，P(BA). P(A)P(A)（C）P(AB)P()0，是正确的； （B）P(BA)P(AB)00，是正确的； P(A)P(A)（D）P(AB)P(S)1，是正确的。 而（A）P(BA)P(AA)P(AA)P(A)1，显然P(BA)0是错误的. P(A)P(A)（3）设事件A,B相互独立 ，P(A)0.5,P(B)0.2 ，则下面计算错误的是（ A ）. （A）P(AB)0.7 （B）P(AB)0.9 （C）P(AB)0.6 （D）P(AB)0.9 解析 题目的四个选项均是和事件的概率的计算，首先应该清楚和事件的概率计算公式。对任意随机事件A、B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB)。 若计算（A），由题设有P(A)0.5,P(B)0.2，只要有P(AB)则可。题设给出事件A,B相互独立，即有 P(AB)P(A)P(B)，故P(AB)0.50.20.1，所以 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 。 0.50.20.10.6注意只有当A,B互斥或P(AB)0时，才有P(AB)P(A)P(B)0.50.20.7，该题目不满足A,B互斥的条件，所以（A）是错误的。 再看（B）P(AB)的计算，P(AB)P(A)P(B)P(AB)，P(A)1P(A)0.5，P(B)1P(B)0.8均易得，关键在P(AB)。 注意事件独立有下面性质：若事件A,B相互独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立。所以 P(AB)P(A)P(B)0.50.80.4。 故 P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.80.40.9。 同理可以判断（C）、（D）是正确的。考试时作为单选题知道了计算错误的是（A），其余可以不考虑了。 注 该题目考核了和事件的概率计算公式、事件相互独立的定义、性质、逆事件概率的计算。 3. 古典概型 （1）袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3球，则只有一个红球的概率为（ B ）. 1121212C5C5C5C5C5A5A5（A）3 （B） （C） （D） 333A10A10C10C103解析 此为超几何概型问题，样本点总数为C10个. 只有1个红球必为5个红球中取到任意1个，另外2个为3个白球2个黑球中取到任意2个.故事件只有一个红球 12的样本点数为C5C5，所以（B）是正确的. 1C5（A）3错在分母将从3个白球2个黑球中任取2个球时的不同取法作为不同的样本点，而分子没有。 C1012C5C（C）35错在分母将任取3球的不同排列作为不同的样本点，分子没考虑排列。 A1012A5A（D）35的错误在于分子仅考虑了红球自己排队以及从3个白球2个黑球中任取的2个球自己的排队，没考虑 A103个球之间的排队。 （2）袋中有形状质地相同的5个球，其中有3个白球，2个黑球，每次任取1球，取后放回，共取2 次，求恰取到2个白球的概率p，则下面计算正确的是（ ）。 32A32C32C32 （A）p2 （B）p2 （C）p2 （D）p2 5A5C5A5解析 该题目为放回式取球，即每次取球时袋内状况相同，每次都有5种可能，而每次都有3种可能取到白球，即每次取到白球的概率均为是正确的。 其实该题目给出的随机试验即是一个2重贝努利试验，如果设2次中取到的白球数为随机变量X，则X2的概率为P{X2}C2()()2333，恰取到2个白球即第一次取到白球且第二次取到白球的概率应该是，所以（A）5553522522311()2，同样（A）是正确的。 5（3）上中下三本一套的书随机放在书架上，则下面计算错误的是（ B ）. （A）恰好按上中下顺序放好的概率为 211 （B）恰好按上中下顺序放好的概率为 33A33A3 （C）上下两本不相邻的概率为 222 （D）上下两本放在一起的概率为 33A3A33 解析 上中下三本书随机摆放共有A3种可能，“恰好按上中下顺序放好”则无论从左到右还是从右到左，只要是 按上中下顺序摆放即可，所以有2种可能，故（A）恰好按上中下顺序放好的概率为 21是正确的，（B）恰好按上3A33中下顺序放好的概率为 11是错误的. 3A36 （C）上下两本不相邻，只能是中册在上下册之间。而上下册可以分别在中册的左右，故有2种可能，所以上下两 本不相邻的概率为 2是正确的。 A3322 （D）将上下两本书作为一个整体，与“中”排队，有A22种排法，而上下两本书又有A22种排法，故上下两 22本放在一起共有A2A2224放法，所以（D）上下两本放在一起的概率为 22是正确的。 A33 （4）将颜色为红白黑的3个球随机地放入4个杯子中，杯子的容量不限，则下面计算正确的是（ A ）. A43C43 （A）杯中最多有1个球的概率为3 （B）杯中最多有1个球的概率为3 44C411 （C）3个球全在一个杯子的概率为3 （D）3个球恰在指定杯子的概率为3 44解析 3个不同的球随机地放入4个杯子中，因为每个球都有4种放法，所以共有4444种放法。 “杯中最多有1个球”只能是3个球在3个不同的杯子中，注意如下图 3 图1 图2 图3 3在所有的样本点中，图1、2、3属不同的放法，所以3个球在3个不同的杯子中共有A4种放法，故（A）正确，（B） 是错误的。 1C4 “3个球全在一个杯子”，可以是4个杯子中的任意一个，有C4种可能，故3个球全在一个杯子的概率为3， 414所以（C）是错误的。而3个球恰在指定杯子的概率应该为 4．独立试验 1 ，所以（D）是错误的。 43（1）某人打靶，命中率为0.2，则下面结论正确的是（ A ）. （A）第二枪命中的概率为0.2 （B）第二枪命中的概率不一定为0.2 （C）第二枪没打中的概率为0.16 （D）第二枪没打中的概率不一定为0.8 解析 首先从题设“某人打靶，命中率为0.2”应该读出该随机试验为独立试验，即打每一枪的命中 率均为0.2，不受之前打靶命中与否的影响。因此也就知道第二枪命中的概率为0.2，没打中的概率为0.8，所以A是正确的。 注 练习读题，不言而喻的是该随机试验为独立试验。 （2）某人打靶，命中率为0.2，则下面结论错误的是（ C ）. 1（A）第三枪第一次打中的概率为0.80.2（B）第三枪第二次打中的概率为C20.80.22 21（C）三枪中仅打中一枪的概率为0.80.2（D）三枪中仅打中一枪的概率为C30.820.2 2解析 如（1）中分析该随机试验为独立试验，每一枪命中的概率为0.2，没打中的概率为0.8。“第三 枪第一次打中”即前两枪没打中第三枪命中，所以第三枪第一次打中的概率为0.80.80.20.80.2，（A）是正确的。 “第三枪第二次打中”即共命中2枪，第三枪命中，前两枪中打中一枪，一枪没打中，当然第一第二枪中哪一枪 1命中均可，故（B）第三枪第二次打中的概率为C20.80.2220.80.22是正确的。 2“三枪中仅打中一枪”，必然是命中一枪，两枪没命中，而命中的一枪可以是三枪中的任意一枪，故有3种可能， 1所以三枪中仅打中一枪的概率为C3（D）正确，（C）是错误的。 0.820.2， 5. 离散型随机变量分布律、分布函数与概率计算 x001/40x1（1） 随机变量X的分布函数为F(x)，则下列各式成立的是（ C ）. 3/41x2x213 （B）P{X2}1 43（C） P{X1.5} （D） P{X2}1 4（A）P{X1}解析 应该理解随机变量X的分布函数的定义为F(x)P{Xx}，又根据题目所给分布函数的定义式知道 F(1)33，F(1.5)，F(2)1，等等. 44F(2)P{X2}1，非P{X2}1；F(1)P{X1}33，非P{X1}.故（A）（B）都是错误的。 4433F(1.5)P{X1.5}，此处X取不到1.5，故P{X1.5}P{X1.5}，所以（C） P{X1.5}是正 44确的. P{X2}1P{X2}1P{X2}1101，所以（D）是错误的。 （2） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7，今各投2次，则两人投中次数相等的概率为（ D ）. （A）0.60.7 （B）0.40.60.30.7 （C） 0.40.3 （D）0.60.70.40.340.40.60.30.7 解析 甲、乙两人投篮，每人均投中2次或1次或0次，均为两人投中次数相等，所以两人投中次数相等的概率应该等于各投中2次、1次、0次概率的和。 ① 甲投中2次的概率为0.60.60.6，乙投中2次的概率为0.70.70.7， 甲投中2次且乙投中2次的概率为0.60.7； 222222222222② 甲投中1次的概率为20.40.6，乙投中2次的概率为20.30.7， 甲投中1次且乙投中1次的概率为20.60.420.70.3； ③ 甲投中0次的概率为0.40.40.4，乙投中2次的概率为0.30.30.3， 甲投中0次且乙投中0次的概率为0.40.3； 综上两人投中次数相等的概率为（ D ）。 6. 连续型随机变量概率密度、分布函数与概率计算 （1） 随机变量X服从区间（3，5）内的均匀分布，则概率密度为（ A ）. （A）f(x)22221/23x5 （B）f(x)2,其他03x5 （C）f(x)1,223x53x5 （D）f(x) 0其他11.注意随机变量的概532 解析 X服从区间（3，5）内的均匀分布，则在区间（3，5）内，概率密度f(x)率密度是在整个实数域上定义的，区间（3，5）之外概率密度也有定义，只不过为0.综上（A）是正确的. x（2）设随机变量X的概率密度f(x)2x00x11x2，则X的分布函数为（ B ）. 其它0x01212x0x1x0x122（A） （B）F(x)1 212x2x11x2F(x)x2x11x2221x21x212x0x1122（C）F(x)x （D）F(x) 21x22x11x22 解析 如果理解了分布函数的定义，该题目不用算也该知道（B）是正确的.因为分布函数也是在整个实数域上定义的，又由所给概率密度，在区间[0,2]之外概率密度为0，可以理解为随机变量X在区间[0,2]之外取不到，故当x0，分布函数F(x)0，当x2，分布函数F(x)1，（A），（ C），（D）显然是错误的，应该选（B）。 （3）若随机变量X的概率密度为f(x)，且f(x)f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有（ C ）. （A）F(a)F(a) （B）F(a)1（C）F(a)a0f(x)dx a1f(x)dx （D） F(a)2F(a)1 20解析 该题目是在考核对概率密度与分布函数几何意义的理解，如下图所示 应该知道当曲线为概率密度图像，分布函数F(x)P{Xx}xf(x)dx为斜线阴影区域的面积. 题目告诉概率密度为f(x)，且f(x)f(x)，说明概率密度为偶函数，图像关于y轴对称，如下图 1y轴两侧概率密度曲线与x轴所夹区域面积相等各为，两斜阴影区域面积相等； 2又 a0f(x)dx为图中横线阴影区域的面积，F(a)为图中左边阴影区域的面积，故 1af(x)dx， 20 F(a)所以（C）是正确的. （4） 正态分布性质 2设随机变量X~N(,)，记pP{X}，则随着的增大，p（ C ）. （A）增大 （B）减小 （C）不变 （D）变化与否不能确定 解析 有定理，若X~N(,2)，则 X~N(0,1). X pP{X}P{11}(1)(1) 可见经过变换后的概率与,均无关，所以（C）是正确的. 7.二维分布 （1）5件产品，其中一等品1件，二等品1件，三等品3件，随机抽取2件,设X为抽到一等品 的件数，Y为抽到二等品的件数， 则（X,Y）的联合分布律为（ B ）. （A）（B） （C） （D） 解析 共抽取两件，抽到一等品的件数X可能取值为0、1，Y为抽到二等品的件数可能取值为0、1.求（X,Y）的联合分布律，即求（X,Y）各种可能取值的概率. 例如 {X0,Y0}发生，必然是取到2件三等品，则 {X0,Y0}P(取到2件三等品）C2 P33C2， 510类似可求 P{X0,Y1}P(取到1件二等品，取到1件三等品）C1C113C23， 5101,Y0}P(取到1件一等品，取到1件三等品）C11P{X1C33C2， 510P(取到1件一等品，取到1件二等品）C11 P{X1,Y1}1C11C2， 510所以（B）是正确的. （2）设随机变量X与Y相互独立，有相同的分布律111/43/4，则（X,Y）的联合分布律为（（A） （B） （C） （D） 解析（X,Y）的取值共有4对：(1,1),(1,1),(1,1),(1,1), 应该分别确定各对取值的概率. 例如 P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}1414116, 类似可求其它各对取值的概率，得到联合分布律.（A）是正确的. ~11（3） 设随机变量X1相互独立，则（ D ） 121 , Y~121212 ， X,Y（A）XY （C）P(XY)1 （B）P(XY)0 （D）P(XY)12 解析 首先没有给出过两个随机变量相等的概念. {XY}的概率即两随机变量取值相等的概率. 余下则是计算{XY}的概率： P{XY}P{X1,Y1}P{X1,Y1} 因为X,Y相互独立，则 ）. AP{XY}P{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}P{X1}P{Y1} 1111122222所以（D）是正确的. 8.数字特征 （1）已知 E(X)=1 则E(X1)=（ D ）. （A）E(X1)=E(X)=–1 （B）E(X1)=E(X)+1=2 （C）E(X1)=E(X)=1 （D）E(X1)=E(X)10 解析 该题目的目的在于帮助理解数学期望的性质，设X为随机变量，a,b为常数，则有 E(aXb)E(aX)E(b)aE(X)b， 故 E(X1)E(X)1110， 所以（D）是正确的。 (2 ) 已知D(X)1，则D(2X1)（ A ）. （A）D(2X1)4D(X)4 （B）D(2X1)D(X)1 （C）D(2X1)4D(X)15 （D）D(2X1)2D(X)2 解析 该题目目的在帮助理解方差的性质，设X为随机变量，a,b为常数，则有 D(aXb)aD(X) 所以（A）是正确的. 2ex（3）设随机变量X的概率密度为f(x)0（A）E(X)= x0x00 则（ D ）. xedx （B）E(X)=xexdx xexdx （C）E(X)1 （D）E(X)= 0解析 连续型随机变量数学期望的计算公式为E(X)xf(x)dx，因为题目所给f(x)分段定义，作积分 xf(x)dx将f(x)代入时，应该与各区间的定义相匹配，故 E(X)xf(x)dxx0dx00xedxxexdx 0x其中 0x0dx0，所以（D）是正确的. （4）设随机变量X~N(4,9)，则X的期望、方差分别为（ C ）. （A）2，3 （B）4，3 （C）4，9 （D）2，9 若随机变量X~N(,2)，则E(X),D(X)2，题设X~N(4,9)，故E(X)4，D(X)329，所以（C）是正确的。 1ex/（5）随机变量X服从指数分布，概率密度为f(x)0 方差分别为 （ B ）. 2x0x0,则X的期望、 （A）， （B）， （C）1/，1/ （D）1/，1/ 解析 看第四章，第三节有现成答案. （6） 已知随机变量X服从二项分布，且E(X)2.4,D(X)1.44，则二项分布的参数n,p的值为（ B ）. （A）n4,p0.6 （B）n6,p0.4 （C）n8,p0.3 （D）n24,p0.1 解析 解此题的关键在清楚二项分布参数与期望方差的关系： 2np2.4,若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)np,D(X)np(1p)，题目相当于给了 np(1p)1.44,其为二元方程组，应该可以解出n,p.或验证四个选项，可得结果.（B）是正确的. （7） 设X服从（0，4）上的均匀分布，则（ D ） （A）E(X)2,D(X)2 （B）E(X)4,D(X)4 （C）E(X)2,D(X)4 （D）E(X)2,D(X)解析 看第四章，第三节有现成答案. （8）设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从（0，6）上的均匀分布，X2~N(0,22)， 4 3X3~(3) ，则D(X12X23X3)= （ B ） （A）34493 （B）34493 （C）32433 （D）32433 解析 此题涉及到的知识点有： ① 三个分布的方差：均匀分布、正态分布、泊松分布的方差，以及方差的性质. 均匀分布、正态分布、泊松分布的方差看第四章，第三节有现成答案.即 (60)2D(X1),D(X2)22,D(X3)3. 12② 方差的性质 若X,Y相互独立，则D(XY)D(X)D(Y), D(aX)aD(X). 因此 D(X12X23X3)D(X1)D(2X2)D(3X3) D(X1)4D(X2)9D(X3) 2D(XY)D(X)D(Y)； 下面结果应该由自己得出. 9. 样本、统计量的分布 （1） 设总体X~N(,2)，其中未知，已知，X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，不能为统计量的是 （ A ）. （A）X1+ （B）X1+1/3X2 （C） 2X1+3X2-X3 （D）1/2222(X12X2X3) 解析 回答该题目的关键是统计量的定义：由样本构造的函数且不含未知参数. 按这一标准衡量，仅有（A）含未知的，不能为统计量. 其余或仅含样本，或含已知的，均可为统计量. 2（2）设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(,2)的样本，则样本均值X服从的分布为 （ B ）. （A）N(0,1) （B）N(,/n) （C）N(,) （D）N(n,n) 解析 此题目考的是定理，若读了书，学了课件则应该会，其为第六章定理： 定理6.1设X1,X2,,Xn是正态总体N(,)的样本，则样本均值X~N(,关于定理的来源用到第三章最后一节，与第四章的知识. 显然答案是（B）. 22222n). 1n（3） 设X1,,Xn1是来自正态总体N(,)的一简单随机样本，XXi. ni12则 Xn1X～（ A ）. n12) n12（C）N(0,) n（A）N(0, n12) n12) （D）N(0,n1（B）N(0,1n)，XXi，为X1, 解析 上面一题已经知道X~N(,nni12,Xn的平均值，与Xn1无关，X1,,Xn与 Xn1独立，Xn1与总体同分布，即Xn1~N(,2)，所以Xn1X服从正态分布，E(Xn1X)0， D(Xn1X)D(Xn1)D(X)所以（A）是正确的. （4）设X1,,X9是来自正态总体N(,)的一简单随机样本，S为样本方差，下面错误的是（ C ）. 2222nn12， nX9S28S22~N(0,1) （B）~t(8) （C）2~(9) （D）2~2(8) （A）S33X解析 此题目在考核对正态总体的样本函数所服从分布的几个定理（见教材P155定理6.1、6.2、6.3）的掌握。 注意此处样本容量n9。 定理6.1设X1,X2,,Xn是正态总体N(,)的样本，则样本均值X~N(,22n). 则X~N(0,1)。显然（A） Xn~N(0,1)正确的。 XX~t(8)正确的。 ~t(n1)。显然（B）SSn33定理6.3 设X1,X2,,Xn是正态总体N(,2)的样本，则 定理6.2 设X1,X2,,Xn是正态总体N(,2)的样本，则 n1S22 （1） ～2n1，其中S为样本方差. 2 显然（D） 8S22~(8)是正确的。（C） 29S22~2(9)是错误的。 10. 参数估计 ˆ是总体参数的两个估计量，说ˆ比ˆ更有效，是指（ D ）. （1） 设ˆ1和212ˆ)E(ˆ),且 （A）E(1212ˆ)D(ˆ) （C）D(12ˆ)E(ˆ) （B）E(12ˆ)E(ˆ),且D(ˆ)D(ˆ) （D）E(1212解析 这道题在考核有效估计量定义，应该会自己查.有效是对两个估计量的比较，称在无偏的基础上 方差小者有效，所以应选（D）. （2） 设正态总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0.9的置信区间为 （ B ）. ( (1.96)=0.975, (1.65)=0.95 ) （A）（5-0.11.96, 5+0.11.96） （B）（5-0.11.65, 5+0.11.65） （C）（5-0.011.96, 5+0.011.96）（D）（5-0.011.65, 5+0.011.65) 解析 设X~N(,)，则2X~N(0,1)，查标准正态分布表知道 nX P{1.65}0.95， n所以 P{X1.65}0.9， n即 P{ X1.65}P{nXX1.65}P{1.651.65}nnnX1.65nn}n}0.9 P{1.65P{X1.65所以X的数学期望的置信度近似等于0.9的置信区间为 X1.65(X1.65,X1.65)(51.651,51.651)1010 （B）是正确的。 nn (51.650.1,51.650.1), 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容