七年级数学培优讲义第07讲 一元一次方程解法

第07讲 一元一次方程解法

教学目的

1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用． 2．会用一元一次方程解决实际问题 典题精析

【例１】解方程：5x＋2＝7x－8

【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．

解：移项，得 5x－7x＝－8－2 合并同类项，得 －2x＝－10 系数化为1，得 x＝5 变式练习

01．关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（ ） A．4 B．－4 C．2 D．－1

02．如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（ ） A． a－b B． －a－b C． b－a D． b＋a 03．解下列方程：

⑴2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1

【例２】解方程： 11－2(x＋1)＝3x＋4(2x－3)

【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．

解： 去括号，得 11－2x－2＝3x＋8x－12 移项，得 －2x－3x－8x＝－12－11＋2 合并同类项，得 －13x＝－21 系数化为1，得 x21 13变式练习

01．下列运算正确的是（ ）

A． －3（x－1）＝－3x－1 B． －3(x－1)＝－3x＋1 C． －3(x－1)＝－3x－3 D． －3(x－1)＝－3x＋3

02．解方程：－2(x－1)－4(x－2)＝1去括号结果，正确的是（ ） A． －2x＋2－4x－8＝1 B． －2x＋1－4x＋2＝1 C． －2x－2－4x－8＝1 D． －2x＋2－4x＋8＝1 03．方程2x＋1＝3(x－1)的解是（ ）

A． x＝3 B． x＝4 C． x＝－3 D． x＝－4 04．解下列方程：

⑴7(2x－1)－3(4x－1)＝5(3x＋2)－1 (2)3(100－2x)＝400＋15x

【例３】解方程：

2x110x12x11 364【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边

同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项 解： 去分母时，得 4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12

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去括号，得 8x－4－20x＝6x＋3－12 移项，得 8x－20x－6x＝3－12＋4＋2 合并，得 －18x＝－3 系数化为1，得 x1 6回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤： （1） 去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1． 这五个步骤要注意灵活运用． 变式练习

2xa4xb的解不是负值，那么a与b的关系是（ ） 3533A． ab B． ba C． 5a≥3b D． 5a＝3b

5501．如果关于x的方程

02．甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由B到A航速为每小时

25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程（ ）

x120120x120120 2 B．235253525x120120x120120C． 2 D．22535253546x2x103．解方程： 132A．

a22ax12x116axa04．若方程的值． x1与方程2x2x的解相同，求

a25223

【例４】解方程：

0.1x0.2x13

0.020.5【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，

注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错． 解：原方程变形为：

100(0.1x0.2)10(x1)3

1000.02100.5即 50（0．1x－0．2）－2(x＋1)＝3

去括号，得 5x－50－2x－2＝3 移项，得 5x－2x＝3＋10＋2 合并，得 3x＝15 系数化为1，得 x＝5 变式练习 01．对方程

x10.1x0.2变形正确的是（ ） 2x0.30.7永远初中培优讲义

x1x2x1x2 B． 2x20x373710x1x210x10x2C． D． 2x2x3737x1x202．解方程：1.2

0.30.5A．

【例５】解方程：

12x107x92x8x9 21201514【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算

量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．

12x108x92x7x9 2114152073525x 两边分别通分得： 4260175x 即 

612解： 移项得

解得 x＝1

变式练习 01．解方程

45(x30)7，较简便的是（ ） 5444 D． 先两边都乘以 55A．先去分母 B．先去括号 C． 先两边都除以

02．解方程：

111x2[(4)6]81 975303．解方程：

1xxxxx6 26122042

【例６】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342． （1） 小明拿到了哪3张卡片？ （2） 你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？

【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略． 解：设小明拿到的三张卡上的数字为x，x＋6，x＋12 （1） 依题意得： x＋x＋6＋x＋12＝342 合并，得 3x＋18＝342 移项，得 3x＝324 系数化为1，得x＝108

答：这三个数为108，114，120

（2） 不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是 （3） 假设 x＋x＋6＋x＋12＝86

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合并，得 3x＋18＝86 移项，得 3x＝324 系数化为1，得 x68 368． 3 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为

变式练习

01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 …

⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数； ⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？

× × × × × ×

× × ×

【例７】（河南省竞赛题）若关于x的方程9x－17＝kx的解为正整数，则k的值为k＝_____ 【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值． 解：∵ 9x－17＝kx ∴ (9－k)x＝17 ∴ x17 9k ∵ x为正整数，∴9－k为17的正整数因数 ∴ 9－k＝1 或 9－k＝17 ∴ k＝8 或 k＝－8 故k＝±8 变式练习

01．要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（ ） A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0

02．已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝___________

巩固提高

01．某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ） A． 40元 B．35元 C． 28．9元 D． 5．1元

02．汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员掀一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（ ） A． 2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×20＝4×340

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C． 2x＋4×72＝4×340 D． 2x－4×20＝4×340

03．一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A． 600×0．8－x－20 B．600×0．8＝x－20 C．600×8－x＝20 D．600×8＝x－20

04．一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）

A． 18千米/时 B． 15千米/时 C． 12千米/时 D． 20千米/时 05．已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是（ ） A．2

B．－2

C．

2 7D． 2 706．中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3．06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是（ ） A． x－5000＝5000×30．6% B．x＋5000×20%＝5000(1＋3．06%) C． x＋5000×3．06%×20%＝5000(1＋3．06%) D． x＋5000×3．06%×20%＝5000×30．6% 07．关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是（ ） A． m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2

08．若x＝2不是方程2x＋b＝3x的解，则b不等于（ ） A．1 23k2B．

1 2C．2 D．－2

09．若kx2k3是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x＝_______

10．若2x－1＝3，3y＋2＝8，则2x＋3y＝_________

xx3与式子1满足下列条件：

32xx⑴相等；⑵互为相反数；⑶式子3比式子1的值小1

3211．x为何值时，式子

12．一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解． ⑴设十位数上的数为x；⑵设个位数上的数为y．

13．国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2．01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的

3少0．34cm，求甲、乙两组同学平均身高的增长值． 4

14．某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？

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15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）

培优升级检测 01．把a千克的纯酒精溶在b千克水里，再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中含酒精的千克数为（ ） A． a

b2abB． C．

abab D．

2b ab02．下列四组变形中属于移项变形的是（ ）

y

5得y＝10 2

114C． y(32y)4则y32y4 D．3x＝4则x

553xxxx03．方程1的解是x＝____

31535200520072006200720071003A． B． C． D．

2007200610032007A． 5x＋4＝0 则5x＝－4 B．

04．若方程(m2－1)x2－mx＋8＝x是关于 x的一元一次方程，则代数式m2008－|m－1|的值为（ ） A． 1或一1 B．1 C． －1 D．2

05．如果2005－200．5＝x－20．05，那么x等于（ ） A．1814．25 B． 1824．55 C．1774．45 D．1784．45 06．若x＝0是关于x的方程x－3n＝1的根，则n等于（ ） A．1 3B．

1 3C．3 D．－3

07．五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（ ）米 A． 2070 B． 1575 C． 2000 D．1500

08．一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（ ） A．0．5小时 B．1小时 C． 1．2小时 D．1．5小时

09．光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出_________本．

10．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了______千米和_____千米．

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11．已知关于x的方程

axbx3ab的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，求代数式的值． 23ba

12．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？

13．铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3．6千米/时，骑车人速度为10．8千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？