南京市数学对口单招一调试卷(含答案).doc

南京市职业学校2013级对口单招第一次调研性统测

数学 试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．设全集UR，A{x|x0}，B{x|x1}，则AICUB= （ ） A．{x|x<0} B．{x|x>1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x<1} 2．已知复数

23i1i（i是虚数单位），它的实部与虚部的和是 （ A．4 B．6 C．2 D．3

3．已知向量ra(x,3)，rb(3,1)，若rabr，则rabr等于 （ A．1 B．8 C．22 D．43 4． 若函数f(x)(xR)的图象过点(1,1)，则函数f(x3)的图象必过点 （A．(4,1) B．(1,4) C．(2,1) D．(1,2) 5．函数y2sin(22x)是 （ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为

2的奇函数 D．最小正周期为2的偶函数

6． 等比数列x，3x3，6x6，… 的第四项等于 （ A．－24 B．0 C．12 D．24 7．(x22x3)5展开式中的常数项为 （ A．80 B．－80 C．40 D．－40 8．设双曲线的焦点在y轴上，两渐近线方程为y12x，则该双曲线的离心率为( ) A．

54 B．52 C．5 D．5

9．已知第一象限点A(a,b)在函数yx1的图象上，则ab的最大值为 （ A．1 B．14 C．2 D．2

10．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2AD，

D1C1G为CC1的中点，则直线AG与平面BCC1B1所成角的正切

A1B1GDCA第10题图B ） ）

） ）

） ） ）

值是 （ ） A．

23 B． 23C．2 D．3

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．化简AABCABCBCBC=___________． 12．如果执行右面的程序框图，那么输出的S ．

频率 组距

0.035

0.030a

0.010

O4050607080车速

第13题图

第12题图

13．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆． 14．某项工作的各项安排如下：

工作代码 A B C D E F 紧前工作 无 A B B B C、D、E 工期/天 1 2 5 2 4 7 则完成该工作的总工期为 ．

ox2x1tcos1352y1与直线15．已知椭圆相切，则实数m的值是_________．

omy1tsin135

三、解答题（本大题共8小题，共90分）

16．（本小题满分8分）求函数y162

x23x的定义域．

17．（本小题满分10分）设函数fx是定义在实数集R上的奇函数，且当x0时，

fx3x1x1m．求：

(1)实数m的值； (2)gx

18．（本小题满分12分）已知函数f(x)cosxsinxcosx． (1)求函数f(x)的最大值； (2)求函数f(x)的单调增区间；

(3)在ABC中，AB3,bcosCccosB，且角A满足f(的面积．

19．（本小题满分12分）在一次百米比赛中，甲、乙等6名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道，跑道编号为1至6，每人一条跑道．求： (1)甲在1或2跑道且乙不在5、6跑道的概率； (2)甲乙之间恰好间隔两人的概率．

20．（本小题满分12分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，且满足

22121xxm在区间1,2上的最大值和最小值． 22A325)，求ABC2810an12Sn1(nN)．

(1)求数列an的通项公式；

(2)设bnlog3an1，求数列bn的前n项和Tn； (3)设cn

21．（本小题满分10分）某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元；生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元。若该公司现有300万的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么这两种机器各生产多少台，才能使利润达到最大，最大利润是多少？

22．（本小题满分12分） 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，

1，求数列cn的前100项和R100． 2Tn

同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚。经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元(xN)．

(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； (2)求出利润的最大值．

23．（本小题满分14分）已知点M(1,y)在抛物线C:y2px(p0)上，M点到抛物线

21C的焦点F的距离为2，直线l:yxb与抛物线交于A,B两点．

2(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

南京市职业学校2013级对口单招第一次调研性统测

数学试卷 答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1 D

二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11．A+C 12．0

2 C 3 C 4 C 5 B 6 A 7 C 8 C 9 B 10 A

13．180 14．15 15．3

三、简答题（本大题共8小题，共90分） 16．（本题满分8分）

由题意162x23x0 ……………………1分

∴x23x4 ……………………2分

2x3x4………………1分 2x3x4∴1x4 ……………2分

xR1x4………………1分

即函数的定义域为{x|1x4}……………………1分 17．（本题满分10分）

解：（1）∵函数fx是定义在实数集R上的奇函数

∴f00 ……………………2分 ∴f031m0

∴m4 ……………………2分 （2）∵m4 ∴gx∴gx121xx4 2212x14 …………………2分 2∴当x1时, ymax4 …………………1分

∵当x1时, g(1)6，当x2时, g(2)∴当x1时, ymin6 ……………2分

∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为-4，最小值为-6 …………………1分 18.（本题满分12分）

解：（1）f(x)cos2xsinxcosx9 21cos2x1sin2x 22 21sin(2x)……………………………………………2分 242∵1sin(2x4)1

f(x)的最大值为（2）2k21…………………………………………1分 222423 ∴kxk,kZ ………………………………1分

883∴函数f(x)的单调增区间为[k,k](kZ)………………1分

88abc（3）∵bcosCccosB，2R

sinAsinBsinC∴sinBcosCsinCcosB

∴sin(BC)0 ∴BC

ABAC3……………………………………2分 又 ∵f(2x2k,kZ………………………………1分

A2121325)sin(A)=cosA 282222210 ∴cosA∴SABC342 ∵A(0,) ∴sinA1cosA ………………2分 55118AB•AC•sinA ……………………………………2分 2519.（本题满分12分）

解：（1）记“甲在1或2跑道且乙不在5、6跑道”为事件A ……………1分

114C2C3A41 ……………4分 P(A)6A65即甲在1或2跑道且乙不在5、6跑道的概率为

1………………………………1分 5（2）记“甲乙之间恰好间隔两人”为事件B ………………………1分

223A4A2A31 ……………4分 P(B)6A65即甲乙之间恰好间隔两人的概率为20.（本题满分12分）

1…………………………………………1分 5解：（1）∵an12Sn1(nN) ∴2Snan11(nN)

∴2Sn1an1 ∴2anan1an ……………………1分

∴ an13an ∴

an13 …………………1分 an ∴an是等比数列，公比q=3

n1n1n1 ∴ana1q133……………………………2分 n（2）∵bnlog3an1log33n，

∴Tn123....nn(n1) ………4分 2（3）∵cn1111 ………………2分 2Tnn(n1)nn111111)

2231001011100 =1 ………………2分 101101 ∴R100(1)()...(21.（本题满分10分）

解：设生产甲种机器x台，乙种机器y台，利润为z万元

30x20y300由题意5x10y110

x,y0目标函数z6x8y……………………………5分 作可行域如图，目标函数z在A处取得最大值

答21题图

30x20y300x4……………………2分 A（4,9）5x10y110y9代入得目标函数z的最大值为96（万元）………………………………2分

即应生产甲种机器4台，乙种机器9台，才能使利润达到最大，最大利润为96万元…1分 22.（本题满分12分） 解：（1）当7x20时

y2000+400（20x)(x52)

=400x12800x70000………………………2分 当x20时

2y2000100（x20)(x52)

=100x4700x28000 ………………………2分

∵100x4700x280000 ∴20x40 ………………1分

27x20,xN400x12800x70000 …………………………1分 y=220x40,xN100x4700x28000 22此函数的定义域为{x|7x40,xN}……………………………………1分 （2）当7x20时，y400x12800x70000400(x16)32400

22

即当x16时，y有最大值32400元……………………………………2分

22当20x40时，y100x4700x28000100(x23.5)27225

即当x23或24时，y有最大值27200元…………………………2分 所以当销售价格为16元时，可获得最大利润32400元。…………………………1分

23.（本题满分14分）

p2解：（1）抛物线y2px (p0)的准线为x， ……………………1分

2pp由抛物线定义和已知条件可知|MF|1()12，……………………2分

22解得p2，故所求抛物线方程为y24x. ……………………2分 1yxb（2）联立，消x并化简整理得y28y8b0. ……………………2分 22y4x依题意应有6432b0，解得b2. ……………………1分 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y28,y1y28b，

设圆心Q(x0,y0)，则应有x0x1x2yy,y0124.……………………1分 22因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r|y0|4，…………………1分 又|AB|(x1x2)2(y1y2)2(14)(y1y2)25[(y1y2)24y1y2]5(6432b) . 所以 |AB|2r5(6432b)8，

8解得b. ……………………2分

54824所以x1x22b2y12b2y24b16，所以圆心为(,4).………………1分

5524故所求圆的方程为(x)2(y4)216. ……………………1分

5方法二：

1yxb联立，消掉y并化简整理得x2(4b16)x4b20， ………………2分 22y4x依题意应有16(b4)216b20，解得b2. ……………………1分 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x24b16,x1x24b2 . 设圆心Q(x0,y0)，则应有x0x1x2yy,y0124，……………………1分 22因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r|y0|4. ……………………1分 15又|AB|(x1x2)2(y1y2)2(1)(x1x2)2[(x1x2)24x1x2]5(6432b) ，

44又|AB|2r8，所以有5(6432b)8，

8解得b， ……………………2分

5

2448，所以圆心为(,4). ……………………1分 5524故所求圆的方程为(x)2(y4)216. ……………………1分

5所以x1x2