导数压轴满分之同构式大法

秒杀秘籍：同构式问题构造xe与xlnx x 我们发现，fxx 1exex在1,，而fxxlnx在0,，在1,e，在考查同构式的类型中，构造xe来求取值范围，构造xlnx来判断零点个数及分布； 同构式模型：①axlogaxexlnalnxlnaxlnaexlnaxlnxelnxlnx1； exlnalnxaee， 1②exlnxexlnxxexxlnxelnxlnxxlnx③eaxaxlnx1x1elnx1lnx1axlnx1 专题7 指对跨阶系列二之同构式构造 【例1】对于任意的x0,不等式ax是 ． 解：axlogax(a0,且a1)恒成立，则a的取值范围

logaxexlnalnxlna,e,xlnaexlnaxlnxelnxlnx，故只需xlnalnxfelnalnx，x由于fx

lnx在0,ex

，故fxmax111eaelna，，即. ee【例2】（2018•长郡月考）已知函数f(x)aexlnx1，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是 ．

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x解：由题意得：aelnexaexexexlnexaexexelnexlnex恒成立，则需要满足ae1xlnexlnx1 ，显然x1lnx恒成立，故只需ae1，即 a1e. 【例3】对x0，不等式2ae2xlnxlna0恒成立，则实数a的最小值为（ ）

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A．2e B．12e C．2 e2xlnxxa，令a D．12e 解：由题意得：2ae2xlnxlna2xe2xxxlnaaexlnalnxat，2at lnt此时要构造过原点的切线放缩模型lnt 1t2ae，故1ae，即12e. 【例4】（2018•武邑期中）设实数0，若对任意的x(0,)，不等式ex立，则的取值范围是 ．

lnx0恒成解：e

x

lnx

0xexxlnxelnxlnx，即xlnx恒成立，

1. e a1exalnx0对任意的实数x1恒成立，【例5】（2019•衡水金卷）易知a0，不等式x则实数a的最小值是（ ） A．1 2ea1B．2e alnxxaC．11lnaaxx1 eeln1xaD．e 1xa1对x1恒xa解：由题意得：x成立，此时a exalnx0xexlnxlnx，即alnxmax e，选D. 【例6】（2019•武汉调研）已知函数fxfxexalnaxaaa0，若关于x的不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．(0,e] B．0,e2 aexalnalnx1C．[1,e2] 1exlnaD．(1,e2) xlnax1lnx1，即xlnx12lna，解：由题意可知：exalnaxa构成同构式exlnaxlnaelnx1lnx1，只需xlnalnx1ae2，故选B. 2【例7】已知方程xlnxalnaalnx有3个实根，则实数a的取值范围是 ．

解：构造xlnx存在x1a， x2aaln，根据定义域可知axx0，如图，当x1时，yxlnx0，此时，仅240 / 12

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使x1lnx1者1eaaln，此时只存在两个实根，不合题意；当0x2x2x1时，则一定存在x10,1ea或x2x11,0x31（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故xeee时，axae,，定义域要求完全覆盖，故ae1，即a12.241 / 12

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x【例8】（2019•榆林一模）已知不等式e1kxlnx，对于任意的x(0,)恒成立，则k的最大值 ．

解：要取等，看系数，exx1ex1x11kxx1kxlnx，由于取等条件不一，且并未消除常数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项1，故构造lnxx1取等条件是x1，此时取等的exex，故e1xkx，即ke1． 【例9】（2019•重庆巴蜀月考）已知fx（1）当a0时，求函数fx在0,exxalnx．

上的最小值；

（2）若0ae2，求证：fx20时，fxmin0.

xexex，当xx2解：（1）afx，故fxf1ex，fxe； x0,1时，fx，当x1,时，ex（2）思路：此题若放缩，定会遇到很多问题，所以根据“放对再放指”的原理，由于x秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键 关于指对跨阶，由于e属于递增过快，若不是存在xexxexlnxexxlnx1或者xexlnxxlnx1之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的lnx进行放缩，但在区间0,1内重点考虑切线放缩，通常放缩有：①lnx④lnx11xexex1x1；②lnxx（取等条件xe）；③lnxx1ex1lnexex1lnxln1x11xlnx11（取等条件xx1）；xlnxxxe2xe3x1；⑤lnxexexex2（取等条件x1）；⑥eex取等条件x1xe22x取等条件x2； ⑦e4e33x取等条件x327x1ex2x21x0（取等条件x0）；⑧e3exexx12xexx0（取等条件x0以及x=1，⑦和⑧根据找基友证明） fxexxe2lnx，先放lnx，由于此题无常数项，故不采用lnx2241 / 12

x1来增加常数项，由文档可能无法思考全面，请浏览后下载!

xe2exex0，此时只需于，的出现暴露了需要“降次”，故试用lnx，则可得fxe2x2e2x，此时再利用“指数找基友”即可证明不等式，或者放缩成证明ex2242 / 12

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exe22x4e2x也可以； 2e2lnx，由于2证明：0a，故fxexxexalnxxmaxe2exlnx，故只需2xlneee0，即lnxe2lnx0，令2x，故只需证egxexxlnxe2x2xgx，e21x10，当xe时gxeex2，hxex0，只需证exxemin2令hxex2xex，故hx在0,2，在2,当2时，hxh2e24 2，即证． ． exf(x),g(x)lnx1x【例10】（2018•甘肃会宁）已知函数（1）求函数f(x)的单调区间；（2）证明：x3f(x)g(x) 解（1）参考例9；（2）思路1：第（1）问不会白给，故利用“分而治之”，此过程一定要有凹凸函数的反转，构造fxexxlnx1hx，利用fxx3minehxmaxhe23e2； 32x思路2：“放对后放指”，要证明xelnx1，只需证明x2exx11xlnx1，故只需证明xex1显然失败，失败区间在0,1，故思考取等区间在0,1上的切线放缩式子，构e造lnexex1，取等条件为x1，即lnxex2，只需证x2exex1，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；构造exlnx21利用切线放缩，过原点切线xexex，e2x3lnx1x，故e2xe2exx3lnx1恒成立． x2达标训练

1．（2018•广东期末）已知函数f(x)的定义域是R，其导函数是f(x)，且f(x)0，则满足不等式f(lnt)lnt1f(1)的实数t的集合是（ ）

C．(0,e]A．[e,)

B．[1,） D．[e1,e] x2．（2019•沈阳一模）已知函数f(x)alnx2x，若不等式f(x1)ax2e在x(0,)上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．a2

B．a2 D．0a2 2mxC．a03．（2019•全国Ⅰ卷调研）设实数m0，若对任意的xe，若不等式xlnxme0恒242 / 12

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成立，则m的最大值为（ ） A．1 eB．e 3C．2e D．e 4．（2018•衡水中学）已知x0是方程2x2e2xlnx0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（ ）

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A．x0ln2

B．x0D．2ex01 elnx00 C．2x0lnx005．（2019•长沙测试）若A．12 ex0，恒有aeax12x1lnxx，则实数a的最小值为（ ）

D．2 eB．2 2eC． 1e6．（2018•南通期末）已知函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)是函数f(x)的导函数，对任意的x0，f(x)xf(x)0恒成立，则关于实数t的不等式f(t2t2)t2f(t1)的解集是 ．

x7. （2018•芮城期末）已知函数f(x)aelnx1．

（1）设x2是f(x)的极值点，求a的值并求g(x)f(x)lnx（2）若不等式f(x)0在(0,)恒成立，求a的取值范围．x的单调区间； e2243 / 12

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（2018•浙江期末）已知函数f(x)ex8.x．

（1）求函数f(x)的单调区间； （2）若a2e2，求证：af(x)lnx． 9.（2018•德阳模拟）已知函数f(x)exmx1． （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若曲线f(x)在点(0,0)处的切线垂直于直线yx2，求证：f(x)2lnx32ln2．244 / 12

当x0时，文档可能无法思考全面，请浏览后下载!

10.（2018•荆州一模）已知函数f(x)exmxlnx(m1)x，mR，f(x)为函数f(x)的导函数．

（1）若m1，求证：对任意x(0,)，f(x)0； （2）若f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围． 11.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f(x)aexlnx1．

（1）设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

1时，f(x)0．e（2）证明：当a245 / 12

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bex112.（2014•全国卷I）设函数fxaelnx，曲线yfx在点1,f1处的切线方程xx为yex12. （1）求a,b；（2）证明：fx1. 246 / 12