一、基本模型构建 常见模型 思考 圆与抛物线以及与坐标系相交,根据抛物线的解析式可求交点 坐标 ,根据交点可求三角形的 边长 ,由于圆的位置不同,三角形的形状也不同。再根据三角形的形状,再解决其它问题。 二、拔高精讲精练
探究点一:抛物线、圆和直线相切的问题
例1: (2015•崇左)如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),⊙M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.
(1)则点A,B,C的坐标分别是A (2,0) ,B (8,0) ,C (0,4) ; (2)设经过A,B两点的抛物线解析式为y=
1(x-5)2+k,它的顶点为E,求证:直线EA与⊙4M相切;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)解:连接MC、MA,如图1所示:∵⊙M与y轴相切于点C,∴MC⊥y轴,∵M(5,4),∴MC=MA=5,OC=MD=4,
∴C(0,4),∵MD⊥AB,∴DA=DB,∠MDA=90°,∴AD=5242=3,∴BD=3,∴OA=5-3=2,OB=5+3=8, ∴A(2,0),B(8,0);
199(x-5)2+k,得:k=-,∴E(5,-), 44499259225225225∴DE=,∴ME=MD+DE=4+=,EA2=32+()2=,∵MA2+EA2=52+=,
4444161616(2)证明:把点A(2,0)代入抛物线y=
ME2=
225, 16∴MA2+EA2=ME2,∴∠MAE=90°,即EA⊥MA,∴EA与⊙M相切;
(3)解:存在;点P坐标为(5,4),或(5,71),或(5,4+55);理由如下:
由勾股定理得:BC=OC2OB2=4282=45,分三种情况:①当PB=PC时,点P在BC的垂直平分线上,点P与M重合, ∴P(5,4);
②当BP=BC=45时,如图2所示:∵PD=BP2BD2=8032=71,∴P(5,71);③当PC=BC=4
5时,连接MC,如图3所示:则∠PMC=90°,根据勾股定理得:
PM=PC2MC2=8052=55,∴PD=4+55,
∴P(5,4+55);综上所述:存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形, 点P的坐标为(5,4),或(5,71),或(5,4+55).
【变式训练】(2015•柳州)如图,已知抛物线y=-(x2-7x+6)的顶点坐标为M,与x轴相交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴相交于点C.
(1)用配方法将抛物线的解析式化为顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),并指出顶点M的坐标; (2)在抛物线的对称轴上找点R,使得CR+AR的值最小,并求出其最小值和点R的坐标; (3)以AB为直径作⊙N交抛物线于点P(点P在对称轴的左侧),求证:直线MP是⊙N的切线.
12
111725(x2-7x+6)=-(x2-7x)-3=-(x-)2+,∴抛物线的解析式化为顶点式222281772525为:y=-(x-)2+,顶点M的坐标是(,);
2228811(2)解:∵y=-(x2-7x+6),∴当y=0时,-(x2-7x+6)=0,解得x=1或6,∴A(1,0),B
227(6,0),∵x=0时,y=-3,∴C(0,-3).连接BC,则BC与对称轴x=的交点为R,连接AR,
2(1)解:∵y=-则CR+AR=CR+BR=BC,根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小,最小值为BC=6232=35.设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(6,0),C(0,-3),∴6kb=0,
b=31171757k=解得∴直线BC的解析式为:y=x-3,令x=,得y=×-3=-,∴R点坐标为(,2,
222242b=3-
5); 41277x+x-3).∵A(1,0),B(6,0),∴N(,0),∴以AB2221557175为直径的⊙N的半径为AB=,∴NP=,即(x-)2+(-x2+x-3)2=()2,化简整理
2222222(3)证明:设点P坐标为(x,-得,x4-14x3+65x2-112x+60=0,(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)=0,解得x1=1(与A重合,舍去),x2=2,x3=5(在对称轴的右侧,舍去),x4=6(与B重合,舍去),∴点P坐标为(2,2).∵M(N(
725,),28777252225200,0),∴PM2=(2-)2+(2-)=,PN2=(2-)2+22==, 22284252625MN2=()=,∴PM2+PN2=MN2,∴∠MPN=90°,∵点P在⊙N上,∴直线MP是⊙N
8的切线.
【教师总结】本题是二次函数综合题目,考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识;综合性强. 探究点二:抛物线、圆和三角形的最值问题
例2:(2015•茂名)如图,在平面直角坐标系中,⊙A与x轴相交于C(-2,0),D(-8,0)两点,与y轴相切于点B(0,4).
(1)求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为E,证明:直线CE与⊙A相切;
(3)在x轴下方的抛物线上,是否存在一点F,使△BDF面积最大,最大值是多少?并求出点F的坐标。
4=c解:(1)设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,把B(0,4),C(-2,0),D(-8,0)代入得: 0=4a2bc,
0=a8bc1a=4515解得b=.∴经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式为:y=x2+x+4;
242c=4(2)∵y=
125199x+x+4=(x+5)2-,∴E(-5,-),设直线CE的函数解析式为y=mx+n,直424443m=0=2mn33334线CE与y轴交于点G,则9,解得:,∴y=x+,在y=x+中,令
34242=5mnn=42x=0,y=
33,∴G(0,), 22353252=,CG=OC2OG2=2()=,∴2222如图1,连接AB,AC,AG,则BG=OB-OG=4-BG=CG,AB=AC,
AB=AC在△ABG与△ACG中,BG=CG,∴△ABG≌△ACG,∴∠ACG=∠ABG,∵⊙A与y轴相切
AG=AG于点B(0,4),∴∠ABG=90°,∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C在⊙A上,∴直线CE与⊙A相切;
(3)存在点F,使△BDF面积最大, 如图2连接BD,BF,DF,设F(t,
125t+t+4),过F作4214=dk=FN∥y轴交BD于点N,设直线BD的解析式为y=kx+d,则,解得2.∴直线
0=8kdd=41x+4, 2111511∴点N的坐标为(t,t+4),∴FN=t+4-(t2+t+4)=-t2-2t,∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD
22424211•FN=×8×(-t2-2t)=-t2-8t=-(t+4)2+16,∴当t=-4时,S△BDF最大,最大值是16,当t=-4时,
24125t+t+4=-2,∴F(-4,-2). 42BD的解析式为y=
【变式训练】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x轴于点A,B,交y轴于点C,设过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点为D.已知点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4).
(1)求此抛物线的表达式与点D的坐标;
(2)若点M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求△BDM面积的最大值。
4a2bc=0解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-2,0),B(8,0),C(0,-4),∴a8bc=0,解
c=41a=43得b=,
2c=4∴抛物线的解析式为:y=
123x-x-4;∵OA=2,OB=8,OC=4,∴AB=10.如答图1,连接AC、42BC,由勾股定理得:AC=20,BC=80.∵AC2+BC2=AB2=100,∴∠ACB=90°,∴AB为圆的直径.由垂径定理可知,点C、D关于直径AB对称,∴D(0,4);
18kb=0k=(2)解法一:设直线BD的解析式为y=kx+b,∵B(8,0),D(0,4),∴,解得 2,
b=4b=4113x+4.设M(x,x2-x-4),如答图2-1,过点M作ME∥y轴,交24211131BD于点E,则E(x,-x+4).∴ME=(-x+4)-(x2-x-4)=-x2+x+8.∴
224241111S△BDM=S△MED+S△MEB=ME(xE-xD)+ME(xB-xE)=ME(xB-xD)=4ME,∴S△BDM=4(-x2+x+8)
2224∴直线BD解析式为:y=-=-x2+4x+32=-(x-2)2+36.∴当x=2时,△BDM的面积有最大值为36;
311m-4),∵S△OBD=OB•OD==16,222111311313S梯形OBMN=(MN+OB)•ON=(m+8)[-(m2-m-4)]=-m(m2-m-4)-4(m2-m-4),
2242242421113113S△MND=MN•DN=m[4-(m2-m-4)]=2m-m(m2-m-4),∴S△BDM=S△OBD+S梯形
22422421131311313m(m2-m-4)-4(m2-m-4)-2m+m(m2-m-4)=16-4(m2-m-4)OBMN-S△MND=16-2424224242解法二:如答图2-2,过M作MN⊥y轴于点N.设M(m,m2--2m=-m2+4m+32=-(m-2)2+36;∴当m=2时,△BDM的面积有最大值为36.
14
【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式,在解答此类问题时要注意构造出辅助线,利用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- efsc.cn 版权所有 赣ICP备2024042792号-1
违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务