2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)5：数列

2013年高考解析分类汇编5：数列

一、选择题

错误！未指定书签。 ．（2013年高考大纲卷（文7））已知数列an满足3an1an0,a423,则an的前10项和等于（ ）

A．-61-3-10

B．

191-3-10 C．31-3-10

D．31+3-10

【答案】C

由3an11n1an0，所以

aa，

所以aa142a1q，所以1a2q3(3)4，n34[1(1)10所以S10103]3(13)，故选11C. 3错误！未指定书签。 ．（2013年高考安徽（文））设

Sn为等差数列an的前n项

和,S84a3,a72,则a9= A．6

B．4 C．2 D．2

【答案】A

Sa1a8)84a38(24a3a3a6a3a0

6d2,a2d6，选A.

9a7错误！未指定书签。 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文6））设首项为1,公比为错误！未找到引用

源。的等比数列{an}的前n项和为Sn,则

（ ） A．Sn2an1

B．Sn3an2

C．Sn43an

D．Sn32an

【答案】D

12a在等比数列中，an12n1aqanna1q(3n3)，S1n1q32a，选D. 12n3错误！未指定书签。 ．（2013年高考辽宁卷（文4））下面是关于公差d0的等差数列an的

四个命题:

p1:数列an是递增数列； p2:数列nan是递增数列；

）（

a p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；n其中的真命题为 A．p1,p2

【答案】D

（ ）

B．p3,p4

C．p2,p3

D．p1,p4

设ana1(n1)ddnm，所以P则1正确；如果an3n12nan3n212n并非递增所以P2错；如果若ann1，则满足已知，但

递减数列，所以P3错；an3nd4dnm，所以是递增数列，P4正确

二、填空题

an11，是nn错误！未指定书签。 ．（2013年高考重庆卷（文12））若2、a、b、c、9成等差数列,则

ca____________.

【答案】

7 2

本题考查等差数列的基本运算与性质。因为2,a,b,c,9成等差数列，所以924d，即公差d777，所以ca2d2。 442错误！未指定书签。 ．（2013年高考北京卷（文11））若等比数列an满足

a2a420,a3a54,0则公比q=__________;前n项Sn=_____.

【答案】2,2n12

a3a5q(a2a4)q2，代回得a12，根据等比数列求和公式

a2a4a2a4a1(1qn)2(12n)Sn2n12.

1q12错误！未指定书签。 ．（2013年高考广东卷（文））设数列{an}是首项为1,公比为2的等比

数列,则a1|a2|a3|a4|________

【答案】15

因为ana1qn1(2)n1，所以a1|a2|a3|a4|124815。

错误！未指定书签。 ．（2013年高考江西卷（文12））某住宅小区计划植树不少于100棵,若

第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____________. 【答案】6

本题考查等比数列的求和以及在实际生活中的应用。由题意可知，植树棵树，构成一个

2(12n)n100等比数列，其中a12,q2，所以Sn由Sn2212n12，

12得，

Sn2n1102，因为26,27124，所以n17，即n6，所以最少6天。

错误！未指定书签。 ．（2013年高考辽宁卷（文14.））已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和,若a1，a3是方程x5x40的两个根,则S6____________.

【答案】63

2a1a35,a1a34由递增，a11,a34，所以q2公式得S663.

a34，q2代入等比求和a1错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（文13））观察下列等式:

(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135

照此规律, 第n个等式可为________.

【答案】(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)

考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。 第n个等式可为:

(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)

错误！未指定书签。．（2013年上海高考数学试题（文科2））在等差数列an中,若

a1a2a3a430,则a2a3_________.

【答案】15

a1a2a3a42(a2a3)30a2a315

三、解答题

错误！未指定书签。．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列{an}的公差d1,前n项和为

Sn.

(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1; (2)若S5a1a9,求a1的取值范围.

【答案】解:(1)因为数列{an}的公差d1,且1,a1,a3成等比数列,

所以a121(a12),

即a12a120,解得a11或a12. (2)因为数列{an}的公差d1,且S5a1a9, 所以5a110a128a1;

即a123a1100,解得5a12

错误！未指定书签。．（2013年高考大纲卷（文））等差数列an中,a74,a192a9,

(I)求an的通项公式; (II)设bn1,求数列bn的前n项和Sn. nan【答案】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则ana1(n1)d

a16d4a74因为,所以.

a2aa18d2(a8d)91119解得,a11,d1. 2n1. 2所以{an}的通项公式为an(Ⅱ)bn1222, nann(n1)nn1所以Sn()()(212222232n22n. )n1n1错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（文））已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2a3a418. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正整数n,使得Sn2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.

【答案】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,则a10,q0. 由题意得

232S2S4S3S2,a1qa1qa1q, 即  2aaa18,aq(1qq)18,3421a3,解得1

q2.故数列{an}的通项公式为an3(2)n1. 3[1(2)n](Ⅱ)由(Ⅰ)有 Sn1(2)n.

1(2)若存在n,使得Sn2013,则1(2)n2013,即(2)n2012. 当n为偶数时,(2)n0, 上式不成立;

当n为奇数时,(2)n2n2012,即2n2012,则n11.

综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{nn2k1,kN,k5}.

错误！未指定书签。．（2013年高考湖南（文））设

Sn为数列{an}的前项和,已知

a10,2ana1S1Sn,nN

(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.

【答案】解: (Ⅰ) S1a1.当n1时，2a1a1S1S1a10,a11.

2ana12an1a12an2an1an2an1- S1S1当n1时，ansnsn1{an}时首项为a11公比为q2的等比数列，an2n1,nN*.

(Ⅱ)

设Tn1a12a23a3nanqTn1qa12qa23qa3nqan

qTn1a22a33a4nan1

上式左右错位相减:

(1q)Tna1a2a3annan1Tn(n1)2n1,nN*.

1qna1nan12n1n2n

1q错误！未指定书签。．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问

6分)

设数列an满足:a11,an13an,nN. (Ⅰ)求an的通项公式及前n项和Sn;zhangwlx

(Ⅱ)已知bn是等差数列,Tn为前n项和,且b1a2,b3a1a2a3,求T20.

【答案】

错误！未指定书签。．（2013年高考天津卷（文））已知首项为

3的等比数列{an}的前n项和为2Sn(nN*), 且2S2,S3,4S4成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 证明Sn【答案】

113(nN*). Sn6

，an.错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（文））本小题共13分)给定数列a1，a2，，an的最小对i1,2,,n1,该数列前i项的最大值记为Ai,后ni项ai1，ai2，值记为Bi,diAiBi.

(Ⅰ)设数列an为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;

，an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10.证明: (Ⅱ)设a1，a2，d1,d2,,dn1是等比数列;

(Ⅲ)设d1,d2,,dn1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,,an1是等差数列

【答案】解:(I)d12,d23,d36.

，an是递增数列. (II)因为a10,公比q1,所以a1，a2，因此,对i1,2,,n1,Aiai,Biai1.

于是对i1,2,,n1,diAiBiaiai1a1(1q)qi1.

因此di0且

di1q(i1,2,,n2),即d1,d2,,dn1是等比数列. di(III)设d为d1,d2,,dn1的公差. 对

1in2,因为

BiBi1,

d0,所以

Ai1Bi1BiddidBidi=Ai. i又因为Ai1maxAi,ai1,所以ai1Ai1Aiai.

，an1是递增数列,因此Aiai(i1,2,,n2). 从而a1，a2，又因为B1A1d1a1d1a1,所以B1a1a2an1. 因此anB1. 所以B1B2Bn1an. 所以aiAi=Bidiandi.

因此对i1,2,,n2都有ai1aidi1did,即a1,a2,,an1是等差数列.

错误！未指定书签。．（2013年高考山东卷（文））设等差数列an的前n项和为Sn,且

S44S2,a2n2an1

(Ⅰ)求数列an的通项公式 (Ⅱ)设数列bn满足

【答案】

bb1b21n1n,nN* ,求bn的前n项和Tn a1a2an2

错误！未指定书签。．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,

且a1,2a2+2,5a3成等比数列.

(Ⅰ)求d,an; (Ⅱ) 若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a22)25a1a34(a1d1)250(a12d)(11d)225(5d)

d4d112122dd12525dd3d40或an4n6an11n22;

(Ⅱ)由(1)知,当d0时,an11n,

①当1n11时,

n(1011n)n(21n)an0|a1||a2||a3||an|a1a2a3an22

②当12n时,

an0|a1||a2||a3||an|a1a2a3a11(a12a13an)11(2111)n(21n)n221n2202(a1a2a3a11)(a1a2a3an)2222

n(21n),(1n11)2所以,综上所述:|a1||a2||a3|; |an|2n21n220,(n12)2错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（文））在等比数列{an}中,a2a12,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.

【答案】解:设an的公比为q.由已知可得

a1qa12,4a1q3a1a1q2,

所以a1(q1)2,q24q30,解得 q3 或 q1, 由于a1(q1)2.因此q1不合题意,应舍去, 故公比q3,首项a11.

3n1所以,数列的前n项和Sn

2错误！未指定书签。．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,

满足4Snan14n1,nN,且a2,a5,a14构成等比数列. (1) 证明:a2

24a15;

(2) 求数列an的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n,有

【答案】(1)当n1时,4a1a25,a24a15,an0a22221111. a1a2a2a3anan124a15 22(2)当n2时,4Sn1an4n11,4an4Sn4Sn1an1an4 22an1an4an4an2,an0an1an2

2当n2时,an是公差d2的等差数列.

2a2a14,a28a2a224,解得a23, a2,a5,a14构成等比数列,a52由(1)可知,4a1a25=4,a11

2a2a1312 an是首项a11,公差d2的等差数列.

数列an的通项公式为an2n1.

(3)

1111111 a1a2a2a3anan11335572n12n11111111112335572n12n11111.22n12

错误！未指定书签。．（2013年高考安徽（文））设数列an满足a12,a2a48,且对任

意nN*,函数 f(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sinx 满足

f'()0 2(Ⅰ)求数列an的通项公式;



(Ⅱ)若bn（2an【答案】解:由a11,求数列bn的前n项和Sn. ）2an2 a2a48

f(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sinx x）f（an-an1an2-an1sinx-an2cosx f'()an-an1an2-an10 2所以,2an1anan2

an是等差数列.

而a12 a34 d1

an2（n-1）1n1

(2)bn（2an111 ）（2n1）（2n1）2an2n12n11（1-n）（22n1）n22 Sn121-212n 1n23n1-n2=（nn3）1-错误！未指定书签。．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列{an}的公差不为零，

a125，且a1,a11,a13成等比数列。

（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求a1a4+a7a3n2；

【答案】

错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（文））正项数列{an}满足an(2n1)an2n0.

2(1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn1,求数列{bn}的前n项和Tn.

(n1)an2（1）由an(2n1)an2n0得（an-2n)(an+1）=0 【答案】解:

由于{an}是正项数列,则an2n. (2)由(1)知an2n,故bn11111()

(n1)an(n1)(2n)2n(n1)11111111n Tn(1...)(1)2223nn12n12n2错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（文））

设Sn表示数列{an}的前n项和.

(Ⅰ) 若{an}为等差数列, 推导Sn的计算公式;

1qn(Ⅱ) 若a11,q0, 且对所有正整数n, 有Sn. 判断{an}是否为等比数列.

1q【答案】解:(Ⅰ) 设公差为d,则ana1(n1)d

Sna1a2an1an2Sn(a1an)(a2an1)(an1a1)(ana1)Snanan1a2a1n(a1an)n12Snn(a1an)Snn(a1d).

22

，q0,由题知q1. (Ⅱ) a111qn1qn11qnqnqn1nN，Snan1Sn1Snqn

1q1q1q1q*1ann1qn1n2anqn1，nN*.

所以,数列{an}是首项a11,公比q1的等比数列.

错误！未指定书签。．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3

分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.

已知函数f(x)2|x|.无穷数列{an}满足an1f(an),nN*. (1)若a10,求a2,a3,a4;

(2)若a10,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值;

(3)是否存在a1,使得a1,a2,a3,,an成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.

【答案】

错误！未指定书签。．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{an}的前n项和Sn满足

S30,S55.

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{1}的前n项和.

a2n1a2n1【答案】(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1n(n1)d. 23a13d0,解得a11,d1.由已知可得5a110d5, 故an的通项公式为an=2-n.

(2)由(I)知

11111(),

a2n1a2n1(32n)(12n)22n32n1从而数列11111111n. )的前n项和为（-+-++2-11132n32n112na2n1a2n1