浙教版数学八年级下学期期中测试卷三(含答案及解析)

浙教版数学八年级下学期期中测试卷三

一、精心选一选（每题 3 分，共 30 分）

1．（2 分）式子

在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）

A．x＞1

B．x≥1

C．x＜1

D．x≤1

2．（2 分）在一次献爱心的捐赠活动中，某班 45 名同学捐款金额统计如下：

金额（元） 20 30 35 50 100 学生数 5 10 5 15 10 （人） 在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ）

A．30，35

B．50，35

C．50，50

D．15，50

3．（2 分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（

）

A． B． C． D．

4．（2 分）用配方法解方程 x2﹣4x﹣6＝0 时，下列变形正确的是（

）

A．（x﹣2）2＝6

B．（x﹣2）2＝10

C．（x﹣4）2＝6

D．（x﹣4）2＝10

5．（2 分）下列运算中，正确的是（ ）

A． B．

C． D．

6．（2 分）平行四边形的两条对角线分别为 6 和 10，则其中一条边 x 的取值范围为（

A．4＜x＜6

B．2＜x＜8

C．0＜x＜10

D．0＜x＜6

）

7．（2 分）某城市 2013 年底有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，要求到 2015 年底增加到 363 公顷．设绿化面积平均每年的增长率为 x，由题意列方程正确的是（

）

A．300（1+x）＝363

B．300（1+x）2＝363 D．363（1﹣x）2＝300

）

C．300（1+2x）＝363

8．（2 分）关于 x 的方程 x2+2kx+k﹣1＝0 的根的情况描述正确的是（ A．k 为任何实数，方程都没有实数根

B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

9．（2 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是（

）

A．10 B．8 C．6 D．5

10．（2 分）如图，△ABC 的周长为 26，点 D、E 都在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P．若 BC＝10，则 PQ 的长是（

）

A．1.5 B．2 C．3 D．4

二、认真填一填（每小题 3 分，共 30 分．）

11．（3 分）二次根式

中字母 x 的取值范围是

． ．

．

12．（3 分）一组数据 4，0，1，﹣2，2 的标准差是

13．（3 分）用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥b”，应假设

14．（3 分）若 y＝

，则 x+y＝

．

．

．

15．（3 分）如果方程 x2+bx+c＝0 的两个根分别是 2 和﹣5，那么 2b﹣c＝

16．（3 分）若 E 是▱ ABCD 内任意一点，若▱ ABCD 的面积是 6，则阴影部分面积是

17．（3 分）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB＝90°，若 AB＝5，BC＝

8，则 EF 的长为

．

18．（3 分）在等腰△ABC 中，三边分别为 a、b、c，其中 a＝4，b、c 恰好是方程 x2﹣（2k+1）x+5 （k﹣ ）＝0 的两个实数根，则△ABC 的周长为

．

19．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB＝AD＝6，∠DAB＝60 度，F 为 AC 上一点，E 为 AB 中点，则 EF+BF 的最小值为

．

20．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，有 A（3，2），B（﹣1，﹣4），P 是 x 轴上的一点，Q 是 y 轴上的一点，若以点 A，B，P，Q 四个点为顶点的四边形是平行四边形，则 Q 点的坐标是

三、全面答一答（共 60 分） 21．（10 分）计算：

．

（1）| ﹣4|﹣22+

．

（2）

﹣ +（ ﹣1）0+2 22．（8 分）解下列一元二次方程

（1）x2﹣4x＝1

（2） x2﹣3x﹣6 ＝0

（3）（2y﹣1）2+2（2y﹣1）﹣3＝0

（4）2x2﹣5x﹣8＝0．

23．（10 分）如图，在▱ ABCD 中，AE、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，交 CD 于点 E、F，AE、BF 相交于点 M．

（1） 试说明：AE⊥BF；

（2） 判断线段 DF 与 CE 的大小关系，并予以说明．

24．（10 分）一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以 40 海 里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到 A 处时测得台风中心移到位于点 A 正南方的 B 处，且 AB＝100 海里．若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理 由．

25．（10 分）选取二次三项式 ax2+bx+c（a≠0）中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如

①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2

②选取二次项和常数项配方：x2﹣4x+2＝（x﹣ （ +4）x

x﹣ ）2﹣x2

）2+（ ﹣4）x，或 x2﹣4x+2＝（x+

）2﹣

③选取一次项和常数项配方：x2﹣4x+2＝（ 根据以上材料，解决下面问题：

（1） 写出 x2﹣8x+4 的两种不同形式的配方；

（2） 已知 x2+y2+xy﹣3y+3＝0，求 xy 的值．

26．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点 P 从点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 C 从点 B 出发，沿射线 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动．以 CP，CO 为邻边构造▱ PCOD，在线段 OP 延长线上取点 E，使 PE＝ AO，设点 P 运动的时间为 t 秒．

（1） 当点 C 运动到线段 OB 的中点时，求 t 的值及点 E 的坐标；

（2） 当点 C 在线段 OB 上时，求证：四边形 ADEC 为平行四边形；

（3） 在线段 PE 上取点 F，使 PF＝2，过点 F 作 MN⊥PE，截取 FM＝

，FN＝1，且点 M，N 分

别在第一、四象限，在运动过程中，当点 M，N 中，有一点落在四边形 ADEC 的边上时，直接写出所有满足条件的 t 的值．

浙教版数学八年级下学期期中测试卷三

参与试题解析

一、精心选一选（每题 3 分，共 20 分）

1．（2 分）式子

在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ B．x≥1

C．x＜1

） D．x≤1

A．x＞1

【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x﹣1≥0， 解得 x≥1． 故选：B．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

2．（2 分）在一次献爱心的捐赠活动中，某班 45 名同学捐款金额统计如下：

金额（元） 学生数 （人） 在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ）

D．15，50

20 5 30 10 35 5 50 15 100 10

A．30，35

B．50，35

C．50，50

【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．

【解答】解：捐款金额学生数最多的是 50 元， 故众数为 50；

共 45 名学生，中位数在第 23 名学生处，第 23 名学生捐款 50 元， 故中位数为 50； 故选：C．

【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义．

3．（2 分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

A．

B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：

A：是轴对称图形，而不是中心对称图形； B、C：两者都不是；

D：既是中心对称图形，又是轴对称图形． 故选：D．

【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．

轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的部分可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180°后会与原图重合． 4．（2 分）用配方法解方程 x2﹣4x﹣6＝0 时，下列变形正确的是（

）

D．（x﹣4）2＝10

A．（x﹣2）2＝6

B．（x﹣2）2＝10

C．（x﹣4）2＝6

【分析】先将常数项移到等号的右边，然后配方将方程左边配成一个完全平方式即可．

【解答】解：移项得 x2﹣4x＝6， 配方得 x2﹣4x+4＝6+4， 即（x﹣2）2＝10， 故选：B．

【点评】本题考查了配方法解一元二次方程的运用，解答时熟练运用配方法的步骤是关键，此题难 度一般．

5．（2 分）下列运算中，正确的是（ ）

B．

A． D．

C．

【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据同类二次根式的即可判定；

C、利用完全平方公式计算即可判定；D、利用二次根式的性质化简即可判定．

【解答】解：A、 表示 36 的算术平方根，因而值是 6，故选项错误； ，故选项错误；

，故选项误； ，故选项正确．

B、3 ﹣ ＝2 +

C、（ ）2＝5+2

D、 故选：D．

【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，合并同类二次根式，以及完全平方公式，对于这些性 质的利用是解题关键．

6．（2 分）平行四边形的两条对角线分别为 6 和 10，则其中一条边 x 的取值范围为（

）

A．4＜x＜6

B．2＜x＜8

C．0＜x＜10

D．0＜x＜6

【分析】平行四边形的两条对角线相交于平行四边形的两边构成三角形，这个三角形的两条边是 3，5，第三条边就是平行四边形的一条边 x，即满足

，解得即可．

【解答】解：∵平行四边形 ABCD

∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5

∴在△AOB 中，OB﹣OA＜x＜OB+OA 即：2＜x＜8 故选：B．

【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，确定所求边所在三角形其他两边 的长度，进而应用三边关系确定范围是解题的关键．

7．（2 分）某城市 2013 年底有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，要求到 2015 年底增加到 363 公顷．设绿化面积平均每年的增长率为 x，由题意列方程正确的是（

）

A．300（1+x）＝363

B．300（1+x）2＝363 D．363（1﹣x）2＝300

C．300（1+2x）＝363

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平 均每年的增长率为 x，根据题意即可列出方程． 【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为 x， 根据题意即可列出方程 300（1+x）2＝363． 故选：B．

【点评】本题为增长率问题，一般形式为 a（1+x）2＝b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．

8．（2 分）关于 x 的方程 x2+2kx+k﹣1＝0 的根的情况描述正确的是（

）

A．k 为任何实数，方程都没有实数根

B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

【分析】先计算判别式的值得到△＝（2k﹣1）2+3，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式 的意义进行判断．

【解答】解：△＝4k2﹣4（k﹣1）

＝（2k﹣1）2+3，

∵（2k﹣1）2≥0，

∴（2k﹣1）2+3＞0， 即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 9．（2 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是（

）

A．10 B．8 C．6 D．5

【分析】平行四边形 ADCE 的对角线的交点是 AC 的中点 O，当 OD⊥BC 时，OD 最小，即 DE 最小，根据三角形中位线定理即可求解．

【解答】解：平行四边形 ADCE 的对角线的交点是 AC 的中点 O，当 OD⊥BC 时，OD 最小，即 DE 最小．

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

∴OD∥AB， 又∵OC＝OA， ∴CD＝DB，

∴OD 是△ABC 的中位线，

∴OD＝ AB＝3，

∴DE＝2OD＝6． 故选：C．

【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一 半，正确理解 DE 最小的条件是关键．

10．（2 分）如图，△ABC 的周长为 26，点 D、E 都在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P．若 BC＝10，则 PQ 的长是（

）

A．1.5 B．2 C．3 D．4

【分析】首先判断△BAE、△CAD 是等腰三角形，从而得出 BA＝BE，CA＝CD，由△ABC 的周长为 26，及 BC＝10，可得 DE＝6，利用中位线定理可求出 PQ． 【解答】解：∵BQ 平分∠ABC，BQ⊥AE，

∴△BAE 是等腰三角形， 同理△CAD 是等腰三角形，

∴点 Q 是 AE 中点，点 P 是 AD 中点（三线合一），

∴PQ 是△ADE 的中位线，

∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，

∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，

∴PQ＝ DE＝3．

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定 PQ 是△ADE 的中位线． 二、认真填一填（每小题 3 分，共 30 分．）

11．（3 分）二次根式

中字母 x 的取值范围是 x＞ ．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．

【解答】解：由二次根式 ，得

2x﹣1＞0．

解得 x＞，

故答案为：x＞ ．

【点评】考查了二次根式的意义的条件，式子 方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开

12．（3 分）一组数据 4，0，1，﹣2，2 的标准差是 2 ．

【分析】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．

【解答】解：数据 4，0，1，﹣2，2 的平均数为 ＝[4+0+1﹣2+2]＝1

方差为 S2＝[（4﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（2﹣1）2]＝4 ∴标准差为 2． 故填 2．

【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：

（1） 计算数据的平均数 ；

（2） 计算偏差，即每个数据与平均数的差；

（3） 计算偏差的平方和；

（4） 偏差的平方和除以数据个数． 标准差即方差的算术平方根， 注意标准差和方差一样都是非负数．

13．（3 分）用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥b”，应假设 a 不平行 b 或 a 与 b相交

．

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据即可解答．

【解答】解：用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥b”，应假设：a 不平行 b 或 a 与 b 相交．

故答案是：a 不平行 b 或 a 与 b 相交．

【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤是：

（1） 假设结论不成立；

（2） 从假设出发推出矛盾；

（3） 假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以 了，如果有多种情况，则必须一一否定． 14．（3 分）若 y＝

，则 x+y＝ 7 ．

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x、y 的值，再代入 x+y 进行计算即可．

【解答】解：∵原二次根式有意义，

∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，

∴x＝3，y＝4，

∴x+y＝7．

故答案为：7．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于

0． 15．（3 分）如果方程 x2+bx+c＝0 的两个根分别是 2 和﹣5，那么 2b﹣c＝ 16

．

【分析】根据根与系数的关系得到 2+（﹣5）＝﹣b，2×（﹣5）＝c，然后求出 b 和 c 的值，进而求出 2b﹣c 的值．

【解答】解：根据题意得 2+（﹣5）＝﹣b，2×（﹣5）＝c， 所以 b＝3，c＝﹣10．

即 2b﹣c＝2×3﹣（﹣10）＝16， 故答案为 16．

【点评】本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c＝ 0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ，此题难度不大．

16．（3 分）若 E 是▱ ABCD 内任意一点，若▱ ABCD 的面积是 6，则阴影部分面积是 3 ．

【分析】过 E 作 MN⊥BC，交 BC 于 M，交 AD 于 N，△EBC 的面积+△EAD 的面积＝AD• EN+ BC•EM＝ BC•MN＝ 平行四边形 ABCD 的面积，即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：过 E 作 MN⊥BC，交 BC 于 M，交 AD 于 N，如图所示：

∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴EN⊥AD，

∵S△AED＝ AD•EN，S△BCE＝ BC•EM，

∴S△ADE+S△BCE＝ AD•EN+ BC•EM＝ BC•MN＝ 平行四边形 ABCD 的面积＝×6＝3， ∴阴影部分的面积＝3； 故答案为：3．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、阴影部分面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质， 关键是掌握平行四边形的面积公式＝底×高．

17．（3 分）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB＝90°，若 AB＝5，BC＝ 8，则 EF 的长为 1.5 ．

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出 DF 的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出 DE 的长，进而求出 EF 的长 【解答】解：∵DE 为△ABC 的中位线，∴AD＝BD，

∵∠AFB＝90°，

∴DF＝ AB＝2.5， ∵DE 为△ABC 的中位线，

∴DE＝ BC＝4，

∴EF＝DE﹣DF＝1.5， 故答案为：1.5．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一 半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

18．（3 分）在等腰△ABC 中，三边分别为 a、b、c，其中 a＝4，b、c 恰好是方程 x2﹣（2k+1）x+5 （k﹣ ）＝0 的两个实数根，则△ABC 的周长为 9 或 10.5 ．

【分析】根据等腰△ABC 中，当 a 为底，b，c 为腰时，b＝c，得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×5（k﹣ ）＝4k2+4k+1﹣20k+15＝4k2﹣16k+16＝0，解方程求出 k＝2，则 b+c＝2k+1＝5；当 a 为腰时，则 b＝4 或 c＝4，然后把 b 或 c 的值代入计算求出 k 的值，再解方程进而求解即可．

【解答】解：等腰△ABC 中，当 a 为底，b，c 为腰时，b＝c，若 b 和 c 是关于 x 的方程 x2﹣ （2k+1）x+5（k﹣ ）＝0 的两个实数根，

则 △＝[﹣（2k+1）]2﹣4×5（k﹣ ）＝4k2+4k+1﹣20k+15＝4k2﹣16k+16＝0， 解得：k＝2， 则 b+c＝2k+1＝5，

△ABC 的周长为 4+5＝9；

当 a 为腰时，则 b＝4 或 c＝4，

若 b 或 c 是关于 x 的方程 x2﹣（2k+1）x+5（k﹣）＝0 的根， 则 42﹣4（2k+1）+5（k﹣）＝0，

解得：k＝ 解方程 x2﹣

，

x+10＝0，

解得 x＝2.5 或 x＝4，

则△ABC 的周长为：4+4+2.5＝10.5． 故答案为为 9 或 10.5．

【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的性质及三 角形三边关系定理，综合性较强，难度中等．

19．（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB＝AD＝6，∠DAB＝60 度，F 为 AC 上一点，E 为 AB 中点，则 EF+BF 的最小值为 3

．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点 B 关于 AC 的对称点是点 D，连接 ED，EF+BF 最小值＝ED，然后解直角三角形即可求解．

【解答】解：∵在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 互相垂直平分，

∴点 B、D 关于 AC 对称，

连接 ED，则 ED 就是所求的 EF+BF 的最小值的线段，

∵E 为 AB 的中点，∠DAB＝60°，

∴DE⊥AB，

∴ED＝ ＝ ＝3 ，

∴EF+BF 的最小值为 3． 故答案为：3 ．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到三角形中位线定理和解直角三角形，熟知 “两点之间，线段最短”是解答此题的关键．

20．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，有 A（3，2），B（﹣1，﹣4），P 是 x 轴上的一点，Q 是 y 轴上的一点，若以点 A，B，P，Q 四个点为顶点的四边形是平行四边形，则 Q 点的坐标是 （0， ﹣6）或（0，﹣2）或（0，6） ．

【分析】如图，当 AB 为边，①当四边形 ABQ2P2 是平行四边形，所以 AB＝P2Q2，AP2＝BQ2，② 当四边形 QPBA 是平行四边形，所以 AB＝PQ，QA＝PB，当 AB 为对角线，即当四边形 P1AQ1B 是平行四边形，所以 AP1＝Q1B，AQ1＝BP1，结合图形分别得出即可． 【解答】解：如图所示，

当 AB 为边，①即当四边形 ABQ2P2 是平行四边形，所以 AB＝P2Q2，AP2＝BQ2，

∴Q2 点的坐标是：（0，﹣6），

②当四边形 QPBA 是平行四边形，所以 AB＝PQ，QA＝PB，

∴Q 点的坐标是：（0，6），

当 AB 为对角线，即当四边形 P1AQ1B 是平行四边形，所以 AP1＝Q1B， AQ1＝BP1，

∴Q1 点的坐标是：（0，﹣2）．

故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．

【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合 AB 的长分别确定 P，Q 的位置是解决问题的关键．

三、全面答一答（共 60 分）

21．（10 分）计算：

（1）| ﹣4|﹣22+

．

（2）

﹣ +（ ﹣1）0+2 【分析】（1）根据绝对值的意义和二次根式的性质化简得到原式＝4﹣ 可；

﹣4+2 ，然后合并即

（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再利用零指数幂的意义得到原式＝4 然后合并即可．

﹣2 +1+ ，

【解答】解：（1）原式＝4﹣ ﹣4+2

＝ ；

（2）原式＝4 ﹣2 +1+

＝3 +1．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除 运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂． 22．（8 分）解下列一元二次方程

（1）x2﹣4x＝1

（2） x2﹣3x﹣6

＝0

（3）（2y﹣1）2+2（2y﹣1）﹣3＝0

（4）2x2﹣5x﹣8＝0．

【分析】（1）根据配方法，可得方程的解；

（2） 根据公式法，可得方程的解；

（3） 根据因式分解法，可得方程的解；

（4） 根据公式法，可得方程的解．

【解答】解：（1）配方，得

（x﹣2）2＝5， 开 方 ， 得 x﹣2＝ x1＝2+ ， ，x2＝2﹣ ；

，

）＝81＞0，

（2）a＝ ，b＝﹣3，c＝﹣6

△＝b2﹣4ac＝9﹣4× ×（﹣6

x＝ ＝

，

x1＝ ＝2 ，x2＝ ＝﹣ ；

（3）因式分解，得[（2y﹣1）+3][（2y﹣1）﹣1]＝0． 于是，得 2y+2＝0 或 2y﹣2＝0， 解得 y1＝﹣1，y2＝1； （4）a＝2，b＝﹣5，c＝﹣8，

b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣8）＝＞0，

x＝ ＝

，

x1＝ ，x2＝ ．

【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式 法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

23．（10 分）如图，在▱ ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝ BC，连接 DE， CF．

（1） 求证：四边形 CEDF 是平行四边形；

（2）若 AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求 DE 的长．

【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知 AD∥BC，且 AD＝BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形 CEDF 的对边平行且相等（DF＝CE，且 DF∥CE），即四边形 CEDF 是平行四边形；

（2） 如图，过点 D 作 DH⊥BE 于点 H，构造含 30 度角的直角△DCH 和直角△DHE．通过解直角

△DCH 和在直角△DHE 中运用勾股定理来求线段 ED 的长度．

【解答】证明：（1）在▱ ABCD 中，AD∥BC，且 AD＝BC．

∵F 是 AD 的中点，

∴DF＝ ． 又∵CE＝ BC， ∴DF＝CE，

∵DF∥CE，

∴四边形 CEDF 是平行四边形；

（2）解：如图，过点 D 作 DH⊥BE 于点 H． 在▱ ABCD 中，∵∠B＝60°，AD∥BC， ∴∠B＝∠DCE，

∴∠DCE＝60°．

∵AB＝4，

∴CD＝AB＝4，

∴CH＝ CD＝2，DH＝2 ．

在▱ CEDF 中，CE＝DF＝AD＝3，则 EH＝1．

∴在 Rt△DHE 中，根据勾股定理知 DE＝＝ ．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有 4 种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

24．（10 分）一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以 40 海 里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到 A 处时测得台风中心移到位于点 A 正南方的 B 处，且 AB＝100 海里．若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理 由．

【分析】假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为 th，此时轮船位于 C 处，台风中心移到 E 处， 连接 CE，由题意得：AC＝20t，AE＝AB﹣BE＝100﹣40t，EC＝20，根据勾股定理可得（20t）2+ （100﹣40t）2＝202，方程无解，进而可得不会受影响．

【解答】解：不会受影响，

假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为 th，此时轮船位于 C 处，台风中心移到 E 处，连接 CE，

则 AC＝20t，

AE＝AB﹣BE＝100﹣40t， AC2+AE2＝EC2．

（20t）2+（100﹣40t）2＝202，

整理得：5t2﹣20t+24＝0

∵△＝（﹣20）2﹣4×5×24＜0

∴方程无实数根，

∴不会受影响．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示 意图．领会数形结合的思想的应用．

25．（10 分）选取二次三项式 ax2+bx+c（a≠0）中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如

①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2

②选取二次项和常数项配方：x2﹣4x+2＝（x﹣ （ +4）x

x﹣ ）2﹣x2

）2+（ ﹣4）x，或 x2﹣4x+2＝（x+

）2﹣

③选取一次项和常数项配方：x2﹣4x+2＝（ 根据以上材料，解决下面问题：

（1） 写出 x2﹣8x+4 的两种不同形式的配方；

（2） 已知 x2+y2+xy﹣3y+3＝0，求 xy 的值．

【分析】（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为 1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可．

（2）根据配方法的步骤把 x2+y2+xy﹣3y+3＝0 变形为（x+y）2+ （y﹣2）2＝0，再根据 x+y＝ 0，y﹣2＝0，求出 x，y 的值，即可得出答案．

【解答】解：（1）x2﹣8x+4

＝x2﹣8x+16﹣16+4

＝（x﹣4）2﹣12；

x2﹣8x+4

＝（x﹣2）2+4x﹣8x

＝（x﹣2）2﹣4x；

（2）x2+y2+xy﹣3y+3＝0，

（x+y）2+ （y﹣2）2＝0， x+ y＝0，y﹣2＝0， x＝﹣1，y＝2，

则 xy＝（﹣1）2＝1；

【点评】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2 进行配方是解题的关键，是一道基础题．

26．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点 P 从点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 C 从点 B 出发，沿射线 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动．以 CP，CO 为邻边构造▱ PCOD，在线段 OP 延长线上取点 E，使 PE＝ AO，设点 P 运动的时间为 t 秒．

（1） 当点 C 运动到线段 OB 的中点时，求 t 的值及点 E 的坐标；

（2） 当点 C 在线段 OB 上时，求证：四边形 ADEC 为平行四边形；

（3） 在线段 PE 上取点 F，使 PF＝2，过点 F 作 MN⊥PE，截取 FM＝

，FN＝1，且点 M，N 分

别在第一、四象限，在运动过程中，当点 M，N 中，有一点落在四边形 ADEC 的边上时，直接写出所有满足条件的 t 的值．

【分析】（1）当 C 运动到 OB 的中点时，根据时间 t＝路程/速度即可求得，进而求得 E 的坐标；

（2） 证明△AOC≌△EPD，则 AC＝DE，∠CAO＝∠DEP，则 AC 和 DE 平行且相等，则四边形

ADEC 为平行四边形；

（3） 分两种情形分别求解即可．

【解答】解：（1）BC＝ OB＝3，则 ，

OP＝ ，则 OE＝OP+PE＝OP+OA＝+3＝ ， 则 E 的坐标是（，0）；

（2）∵四边形 PCOD 是平行四边形，

∴OC＝PD，

在△AOC 和△EPD 中，

，

∴△AOC≌△EPD（SAS），

∴AC＝DE，∠CAO＝∠DEP，

∴AC∥DE，

∴四边形 ADEC 是平行四边形；

（3）C 的坐标是（0，6﹣2t），P 的坐标是（t，0），则 F 的坐标是（t+2，0），E 的坐标是 （t+3，0），D 的坐标是（t，2t﹣6）． 设 CE 的解析式是 y＝kx+b， 则 ，

解得：

，

则 CE 的解析式是 y＝

x+6﹣2t，

同理 DE 的解析式是 y＝﹣ ．

当 M 在 CE 上时，M 的坐标是（t+2，则

•（t+2）+6﹣2t＝ ，

），

解得：t＝21﹣12 ．

•（t+2）﹣ （9﹣t2）＝﹣1，

当 N 在 DE 上是，N 的坐标是（t+2，﹣1），则

解得：t＝ ．

当点 C 在 y 轴的负半轴上时，

如果点 M 在 DE 上时，如果点 N 在 CE 上时，总之：t1＝21﹣12

＝

，可得 t＝3+

，

＝1，可得 t＝9．

，t4＝9．

，t2＝ ，t3＝3+

【点评】本题考查了平行四边形的判定与待定系数法求函数解析式，正确求得 CE 和 DE 的解析式是关键．