2013年常州市中考数学试题及答案

2013年江苏省常州市中招考试数学试卷

一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）

1．在下列实数中，无理数是（ ）

A．2 B．3.14 C． D．3 2．如图所示圆柱的左视图是（ ）

12 A． B． C． D．

3．下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（ ） A．y B．y

1x122 C．y D．y xxx4．下列计算中，正确的是（ ）

A．（a3b）2=a6b2 B．a•a4=a4 C．a6÷a2=a3 D．3a+2b=5ab 5．已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差S甲2下列结论中正确的是（ ）

A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．乙组数据的比甲组数据的波动大

11，乙组数据的方差S乙2，1210C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较 6．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断

7．二次函数yax2bxc（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

x y

﹣3 12

﹣2 5

﹣1 0

0 ﹣3

1 ﹣4

2 ﹣3

3 0

4 5

5 12

给出了结论：

（1）二次函数yax2bxc有最小值，最小值为﹣3； （2）当（3）二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ）

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A．3 B．2 C．1 D．0

8．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）

A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b

二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，） 9．（4分）计算3_______，3_______，3_________，3_________． 10．已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是__________，点P关于原点O的对称点P2的坐标是__________．

11．已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k=__________，b=__________．

12．已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是__________cm，扇形的面积是__________cm2（结果保留π）．

13．函数yx3中自变量x的取值范围是__________；若分式__________．

14．我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：

最高气温（℃）

天数

25 1

26 1

27 2

28 3

122x3的值为0，则x= x1则这组数据的中位数是__________，众数是__________．

15．已知x=－1是关于x的方程2x2axa20的一个根，则a=__________．

16．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=__________．

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1

的图象上，第x

2k

二象限内的点B在反比例函数y的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，

2x

17．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数y

则k=__________．

三、解答题（本大题共2小题，共18分）

18．（ 8分）化简

（1）（4分）420132cos600 （2）（4分）

02x1 2x4x219．（10分）解方程组和分式方程： （1）解方程组（5分）

四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤）

x2y075 （2）（5分）解分式方程．

x223x4y620．（ 7分）为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．

（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整； （2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为__________．

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21．（8分）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．

（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？

（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．

五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）

22．（6分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．

23．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA． 求证：四边形ABCD是菱形．

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六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）

24．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：

∠ABC=__________，∠A′BC=__________，OA+OB+OC=__________．

25．（7分）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含千克A种果汁，含千克B种果汁；每千克乙种饮料含千克A种果汁，含千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．

（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；

（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？

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七．解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

26．（6分）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则Sab1（史称“皮克公式”）．

小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：

12

根据图中提供的信息填表：

格点多边形各边格点边多边形内格点多边形的面上的格点的个数 部的格点个数

多边形1 多边形2 … 一般格点多边形

8 7 … a

1 3 … b

积 … S

则S与a、b之间的关系为S=__________（用含a、b的代数式表示）．

27．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为__________；

（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．

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（3）连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA． （1）写出A、C两点的坐标；

（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；

（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．

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2013年江苏省常州市中招考试数学试卷

答案

一、选择题 题号 答案

二、填空题 9．3，3，

1 D 2 C 3 A 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D 1，9 3

10．（－3，2），（－3，－2） 13．x3，x16．23

11．2，﹣2 14．27，28 17．12．5π，15π 15．﹣2或1

三、解答题

3 2

1 218．（1）原式=212（2）解：原式=

12 22xx2x21

x2x2x2x2x2x2x2x2y0①19．（1）解：，

3x4y6②由①得x=﹣2y ③

把③代入②，得3×（﹣2y）+4y=6，解得y=﹣3 把y=﹣3代入③，得x=6

x6∴原方程组的解为

y3（2）解：去分母，得14=5（x﹣2）， 解得，

检验：当时，2（x﹣2）≠0， ∴原方程的解为

20．解：（1）总人数是：20÷40%=50（人），

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则打乒乓球的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人）。 补图如下：

（2）72°

21．解：（1）∵共有3个球，2个白球， ∴随机摸出一个球是白球的概率为（2）根据题意画出树状图如下：

2。 3

∵一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种， ∴P（两次摸出的球都是白球）21 6322．∵C是AB的中点，∴AC=BC。

在△ACD和△BCE中，∵AD=BE，CD=CE．AC=BC， ∴△ACD≌△BCE（SSS） ∴∠A=∠B

23．∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形 ∴AB=BC，∠ACB=60° ∴∠FAC=∠ACE=120° ∴∠BAD=∠BCD=120° ∴∠B=∠D=60°

∴四边形ABCD是平行四边形

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∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 24．作图如下：

30°，90°，7

25．（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，

0.6x0.2650x300①根据题意得，，

0.3x0.4650x240②由①得，x≤425，由②得，x≥200， ∴x的取值范围是200≤x≤425。

（2）设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得，

y3x4（650x）3x26004xx2600，即y=﹣x+2600，

∵k=﹣1＜0，

∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元 26．解：填表如下：

格点多边形各边上格点边多边形内部格点多边形的面积 的格点的个数

多边形1 多边形2 … 一般格点多边形

a+2（b﹣1） 27．（1）45°或135°

源-于-网-络-收-集 8 7 … a

的格点个数

1 3 … b

8 11 … S

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（2）当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大 过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C， 如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长， ∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=2OA=62 ∴OE=

1AB=32 2∴CE=OC+CE=3+32 ∴△ABC的面积CEAB121（332）629218 2∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为

9218

（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F， ∵OD⊥OC，OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90° ∴∠DOA+∠DAO=90°

∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO ∴Rt△OCF∽Rt△AOD。，

CFOCCF33，即，解得CF

ODOA36233在Rt△OCF中，OFOC2CF2，

2∴

333∴C点坐标为2, 2

②直线BC是⊙O的切线 理由如下：

3333OF3在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴cosCOF 22OC32∴∠COF=30°

∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°

OCOD∵在△BOC和△AOD中，BOCAOD，

BOAO∴△BOC≌△AOD（SAS）

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∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC ∴直线BC为⊙O的切线

28．（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2， ∴A（﹣1，0），C（0，2）

（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如图1， ∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线 ∴MC=MP

又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2） 设直线l与y=2x+2交于点D， 令y=m，则x=

m1m1，∴D（，m） 22设直线DP的解析式为y=kx+b，则有

b2m2k2，解得： m2b2m2kbm2∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2 令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）

已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ， ∴OA2OP22OP2OQ2，即122m22整理得：m1解得：m=∴m=

222m22m1，

21 16553（＞1，不合题意，舍去）或m= 4443 4（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE， 依题意画出图形，如图2，

由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2， 由勾股定理得：PQ5m1

∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0）， ∴AQ=m，AB=a+1

∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=5 源-于-网-络-收-集

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∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB ∴

CDCA DEABCDPQ DEAQ又∵CD•AQ=PQ•DE，∴

∴

5m1CAPQ5a1，即，解得：m ABAQa1ma∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m若0＜a≤1，则m不存在

a1 aa1，使CD•AQ=PQ•DE； a

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