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平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版

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平面向量奔驰定理与三角形四心的应用 ,DAOC,DAOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：定理：已知O是DABC内的一点，DBOCSA·OA+SB·OB+SC·OC=0 证明：如图2延长OA与BC边相交于点D则；BDSDABDSDBODSSDABD-SDBODSDC=S===C； DACDSDCODACD-SDCODSB OD=DCOBBDSBSCBC+BCOC=SB+SOB+CSOC B+SC  ODOA=SBODS=SCOD=SBOD+SCODSAS= BOASCOABOA+SCOASB+SC \\ OD=-SAOA； \\CS-SAOA=SBS B+SSOB+SCSB+SCB+SCB+SOCCSA·OA+SB·OB+SC·OC=0 推论 O是DABC内的一点，且x·OA+y·OB+z·OC=0，则S::DBOCSDCOASDAOB=x:y:z 有此定理可得三角形四心向量式 O是DABC的重心ÛS::1DBOCS:DCOAS=1:1DAOBÛOA+OB+OC=0 O是DABC的内心 [三角形的内心在向量AB+AC所在的直线上. ] ABACÛS:S:SDBOCDCOADAOB=a:b:cÛa·OA+b·OB+c·OC=0 O是DABC的外心ÛOA=OB=OC ÛSDBOC:SDCOA:SDAOB=sin2A:sin2B:sin2CÛsin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0O是DABC的垂心[OA×OB=OB×OC=OC×OAÛO为△ABC的垂心.] ÛS:S:StanA:tanB:tanCDBOCDCOADAOB=ÛtanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0 1 \\ COADB CDAD,tanB=证明：如图O为三角形的垂心，tanA=CDÞtanA:tanB=DB:AD DB SDBOC:SDCOA=DB:AD； B \\SDBOC:SDCOA=tanA:tan同理得SDCOA:SDAOB=tanB:tanC，SDBOC:SDAOB=tanA:tanC \\SDBOC:SDCOA:SDAOB=tanA:tanB:tanC P是DABC内一点，AP=例1 例2 若DABC接于以O为圆心， 1 为半径的圆，且3OA+4OB+5OC=0 ，则该DABC 的面积为（）的面积为（ 21SAB+AC，则DABP= . 55SDABC 5P为DABC内部一点，且满足PB=2PA=2，ÐAPB=例3 ，且2PA+3PB+4PC=0，则DABC的面6积为（）积为（ p94A． B． C．1 83 6D． 5奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：四心的概念介绍： (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 2 Ø 与“重心”有关的向量问题

1 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA+GB+GC=0，则G是△ABC的( )．

A．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心．垂心

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+l(AB+AC)，2已知O是平面上一定点，A+¥)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ). lÎ(0，A．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心．垂心

æöABACç÷(Î(0+¥))3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足OP=OA+l+，，则动ç÷lABsinBACsinCèø点P的轨迹一定通过△ABC的（的（）

A．内心．内心 B．重心．重心 C．外心．外心 D．垂心．垂心

变式1 在△ABC中，O为平面上任意一点，证明：OG=

_. 变式2 已知△ABC中,G是重心,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且56aGA+40bGB+35cGC=0，则∠B=__

1(OA+OB+OC)ÛG为△ABC的重心. 3

Ø 与“垂心”有关的向量问题

3 P是△ABC所在平面上一点，若PA×PB=PB×PC=PC×PA，则P是△ABC的( )

A．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心

4，B，已知O是平面上一定点，AC是平面上不共线的三个点，动点P满足=OPæ++OAABlççABcosBèö． AC÷+¥)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )÷，lÎ(0，ACcosCøA．重心．重心 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心 5若H为△ABC所在平面内一点，且HA+BC=HB+CA=HC+AB则点H是△ABC的( ) 222222A．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心 Ø 与“内心”有关的向量问题 PAbPBcPC6已知P为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a ．若a++的( ). 则P是△ABC=0，A．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心．垂心，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 7已知O是平面上一定点，A满足 æöABACç÷+，lÎ(0，． +¥)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )OP= OA+lçABAC÷èøA．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心．垂心变式已知非零向量AB与AC满足(1 ABAB+ACAC)×BC=0,且ABAB×ACAC=1，则△ABC为（） 2A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形等边三角形直角三角形等腰非等边三角形三边均不相等的三角形 4 8若O在△ABC所在的平面内：则O是△ABC的（的（） A．垂心．垂心 B．重心．重心 C．内心．内心 D．外心．外心 Ø 与“外心”有关的向量问题 =，8已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2=OB2=OC2，则O是△ABC的( )． A．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足9 已知O是平面上的一定点，A+OBO+CæABç=+OPl2çABcoBsACèAö÷C，lÎ(0，。 +¥)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )Co÷scøA．重点．重点 B．外心．外心 C．内心．内心 D．垂心．垂心变式1 已知点O，N,P在△ABC所在平面内，且OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，PA×PB=PB×PC=PA×PC，则点O，N，P依次是△ABC的（） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心重心、外心、垂心重心、外心、内心外心、重心、垂心外心、重心、内心变式1 已知点P是△ABC的内心、外心、重心、垂心之一，且满足2AP×BC=AC-AB，则点P22一定是△ABC的（的（） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心内心外心重心垂心 5 Ø 四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是OH=OA+OB+OC。 2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是OG=1(OA+OB+OC)

33.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且OG=12GH。