一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（ ） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．设i是虚数单位，复数A．第一象限
B．第二象限
，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
C．第三象限 D．第四象限
3．已知直线2x﹣y﹣3=0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ ） A． B． C． D．
4．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），若（k+）∥（﹣3），则实数k的取值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
5．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：y=Asin（ωx+φ）+B．则中午12点时最接近的温度为（ ）
A．26°C B．27°C C．28°C D．29°C 6．设a，b，c均为正数，且b，c大小顺序为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c
5
7．在（2x+a）的展开式中，含x2项的系数等于320，则
，，．则a，
等于（ ）
A．e2+3 B．e2+4 C．e+1 D．e+2
8．如图所示，运行流程图，则输出的n的值等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线﹣
=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，
且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．x±11．
y=0
B．
x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
的
（k＞1）所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则
最小值为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．64
12．设定义域为R的函数，
，关于x的方程f2（x）﹣
（2m+1）f（x）+m2=0有7个不同的实数解，则m的值为（ ） A．2
二、填空题曲线y=x3﹣2x+m在x=1处的切线的倾斜角为 ．
14．已知△ABC的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的面积为 ．
15．一个四面体的所有棱长都等于a，则该四面体的外接球的体积等于 ． 16．设双曲线
的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支
B．6
C．2或6 D．﹣2或﹣6
于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值等于 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知数列{an}中，a1=1，a4=7，且an+1=an+λn． （1）求λ的值及数列{an}的通项公式an； （2）设
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
18．（12分）中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计表如表：
份（x） 水上狂欢节届编号x 外地游客人数y（单位：十万） （1）求y关于x的线性回归方程=x+；
（2）旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元
2011年 1 0.6 2012年 2 0.8 2013年 3 0.9 2014年 4 1.2 2015年 5 1.5 左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多少？
=， =﹣x．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点． （1）证明：AB⊥平面BEF；
（2）设PA=kAB，若平面EBD与平面BDC的夹角是大于45°的锐角，求k的取值范围．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（0），B（﹣
，0），直线PA与PB的斜率之积为定值﹣．
，
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx．a∈R （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的最小值．
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线l的参数方程是
（t为参数），曲
线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为
，求|PM|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3
（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．
2016-2017学年广西柳州市高三（上）10月月考数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（ ） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B即可． 【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}， 集合B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}， 所以A∩B={x|x＞2}=（2，+∞）． 故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．设i是虚数单位，复数A．第一象限
B．第二象限
，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z所对应点的坐标得答案． 【解答】解：∵
=
，
∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限． 故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．已知直线2x﹣y﹣3=0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ ） A． B． C． D． 【考点】直线的倾斜角．
【分析】首先根据直线斜率求出θ的正切值，然后利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：由直线2x﹣y﹣3=0方程，得直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2， ∵直线2x﹣y﹣3=0的倾斜角为θ， ∴tanθ=2， ∴sin2θ=故选：C．
【点评】本题考查直线斜率的意义，同角三角函数关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），若（k+）∥（﹣3），则实数k的取值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【考点】平行向量与共线向量；平面向量坐标表示的应用．
【分析】根据题目给出的两个向量的坐标，运用向量的数乘和加法运算求
，然后运用向量共线的坐标表示列式求k的值．
【解答】解：由=（1，2），=（﹣3，2），得﹣3，2k+2），
=（10，﹣4），
则由故选A．
【点评】本题考查了平行向量及平面向量坐标表示的应用，解答的关键是掌握向量共线的坐标表示，即
，
，则
⇔x1y2﹣x2y1=0．
，得（k﹣3）×（﹣4）﹣10×（2k+2）=0，所以k=﹣．
===．
和
=（k
5．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：y=Asin（ωx+φ）+B．则中午12点时最接近的温度为（ ）
A．26°C B．27°C C．28°C D．29°C
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图象可知B=20，A=10， =14﹣6=8，从而可求得ω，6ω+φ=2kπ﹣（k∈Z）可求得φ，从而可得到函数解析式，继而可得所求答案． 【解答】解：不妨令A＞0，B＞0， 则由
得：A=10，B=20°C；
又=14﹣6=8， ∴T=16=∴|ω|=
， ，不妨取ω=
．
（k∈Z）， ．
x+
）+20，
×12+
）+20°C=10sin
由图可知，6×∴φ=2kπ﹣
+φ=2kπ﹣
，不妨取φ=
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（+20°C=20+10sin故选B．
=5
+20°C≈27°C．
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定A，B，ω，φ是关键，考查综合分析与转化运用知识的能力，属于中档题．
6．设a，b，c均为正数，且b，c大小顺序为（ ）
，，．则a，
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c 【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a＞0，∴∵b＞0，∴∵c＞0，∴0＜综上可知：a＜b＜c． 故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
5
7．在（2x+a）的展开式中，含x2项的系数等于320，则
=
，∴
，∴，∴
．
．
，∴1＜c＜2．
等于（ ）
A．e2+3 B．e2+4 C．e+1 D．e+2 【考点】二项式系数的性质． 【分析】（2x+a）5的展开式中，Tr+1=
a5﹣r（2x）r=
，令r=2，可得
a=2．再利用微积分基本定理即可得出． 【解答】解：（2x+a）5的展开式中，Tr+1=令r=2，则T3=4∴4
=320，
，
a5﹣r（2x）r=
，
解得a=2． 则故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
=
=
=e2+4﹣（1+0）=e2+3．
8．如图所示，运行流程图，则输出的n的值等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时及继续循环的条件是否满足，当继续循环的条件不满足时，即可得到输出结果． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： 当m=2，n=0，a=4，b=5时，执行循环 第1次循环：m=3，n=1，a=4，b=5， 第2次循环：m=4，n=1，a=4，b=5， 第3次循环：m=5，n=2，a=4，b=5， 第4次循环：m=6，n=3，a=4，b=5， 第5次循环：m=7，n=4，a=4，b=5， 第6次循环：m=8，n=4，a=4，b=5， 第7次循环：m=9，n=4，a=4，b=5， 第8次循环：m=10，n=4，a=4，b=5，
此时不满足循环条件，退出循环，输出n的值为4． 故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．
9．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，
且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，
把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项．
【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B正确； 故选B
【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．
10．已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，
且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．x±
y=0
B．
x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，代入双曲线的方程
（a＞0，b＞0），从而得到关于a，b 的
方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由于双曲线
（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共
的焦点F，且抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0）， 故双曲线的半焦距c=2，又|PF|=5，设P（m，n）， 由抛物线的定义知|PF|=m+2， ∴m+2=5，m=3， ∴点P的坐标（3，±
）．
∴，解得：，
则双曲线的渐近线方程为故选：B．
．
【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a，b的值是解题的关键，是中档题．
11．（k＞1）所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则的
最小值为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．64 【考点】简单线性规划．
【分析】由题意推出约束条件表示的可行域，是一个直角三角形，求出y=﹣kx+4k在两坐标轴上的截距，求出区域的面积，代入表达式，然后换元，利用基本不等式求出最值．
【解答】解：由不等式组可知围成的平面区域为直角三角形 分别将x=0，y=0代入方程y=﹣kx+4k 可知三角形面积S=将S=8k代入
得
令k﹣1=t∈（0，+∞）
原式=8t++16≥32 所以
最小值为32
故答案为：32．
【点评】本题考查简单的线性规划，基本不等式，换元法等知识，是中档题．
12．设定义域为R的函数，
，关于x的方程f2（x）﹣
（2m+1）f（x）+m2=0有7个不同的实数解，则m的值为（ ） A．2
B．6
C．2或6 D．﹣2或﹣6
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】作出函数f（x）的图象，由图象判断要使方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2=0有7个不同的实数根，即要求对应于f（x）的取值即可求出m的值． 【解答】解：设f（x）=t，作出函数f（x）的图象，由图象可知， 当t＞4时，函数图象有两个交点， 当t=4时，函数图象有3个交点， 当0＜t＜4时，函数图象有4个交点， 当t=0时，函数图象有两个交点， 当t＜0，函数图象无交点．
要使原方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2=0有7个不同的实数根， 则要求对应方程t2﹣（2m+1）t+m2=0中的两个根t1=4或0＜t2＜4， 且t1+t2∈（4，8），即4＜2m+1＜8，解得当t=4时，它有三个根． ∴42﹣4（2m+1）+m2=0， ∴m=2或m=6（舍去）， ∴m=2． 故选A．
．
【点评】本题主要考查复合函数的根的取值判断，利用数形结合作出函数f（x）的图象是解决本题的关键，综合性较强．
二、填空题（2016秋•柳州月考）曲线y=x3﹣2x+m在x=1处的切线的倾斜角为 45° ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求曲线y=x3﹣2x+m在x=1处的切线的倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．
【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°． 故答案为45°．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
14．已知△ABC的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的面积为 ．
【考点】三角形的面积公式；等差数列的通项公式．
【分析】因为三角形三边构成公差为2的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+2，最小的边为x﹣2，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣2，x，x+2， 则cos120°=
=﹣，
解得x=5，
所以三角形的三边分别为：3，5，7 则△ABC的面积S=×3×5sin120°=故答案为：
．
．
【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
15．一个四面体的所有棱长都等于a，则该四面体的外接球的体积等于 πa3 ．
【考点】球内接多面体．
【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．
【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为角线长为
a，
a，正方体的对
∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， ∴四面体的外接球的体积为π•（故答案为：
πa3．
a）3=
πa3．
【点评】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于基础题．
16．设双曲线
的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支
于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值等于 16 ． 【考点】双曲线的简单性质．
a=3，b=【分析】根据双曲线的标准方程可得：
，再由双曲线的定义可得：|AF2|
=12，﹣|AF1|=2a=6，|BF2|﹣|BF1|=2a=6，所以得到|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）再根据A、B两点的位置特征得到答案．
【解答】解：根据双曲线，得：a=3，b=，
由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|=2a=6…①， |BF2|﹣|BF1|=2a=6…②，
①+②可得：|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=12，
∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点， ∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小． ∴|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=|AF2|+|BF2|﹣|AB|=12． |BF2|+|AF2|=|AB|+12≥故答案为：16．
【点评】本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2016秋•柳州月考）已知数列{an}中，a1=1，a4=7，且an+1=an+λn．
+12=+12=16．
（1）求λ的值及数列{an}的通项公式an； （2）设
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
【考点】数列的求和；数列递推式．
an+1=an+λn，a3=1+3λ，a4=1+6λ，【分析】（1）由a1=1，可得a2=1+λ，由a4=7=1+6λ，
解得λ．可得an+1﹣an=n．利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出．
（2）即可得出．
==，利用“裂项求和”方法与数列的单调性
【解答】解：（1）∵a1=1，an+1=an+λn，∴a2=1+λ，a3=1+3λ，a4=1+6λ， 由a4=7=1+6λ，解得λ=1．∴an+1=an+n．∴an+1﹣an=n． ∴a1=1，a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，‥‥an=an﹣1+（n﹣1），
以上各式累加得：an=1+1+2+3+4+…+（n﹣1）==．
（2）==，
∴Tn=b1+b2+b3+b4+…+bn==
∴bn＜2．
，
【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•柳州月考）中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计表如表：
份（x） 水上狂欢节届编号x 外地游客人数y（单位：十万） （1）求y关于x的线性回归方程=x+；
（2）旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多少？
2011年 1 0.6 2012年 2 0.8 2013年 3 0.9 2014年 4 1.2 2015年 5 1.5 =， =﹣x．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）由所给数据计算、，代入公式求出回归直线方程的系数，写出
回归方程；
（2）利用回归方程计算x=7时的值，即可预测结果． 【解答】解：（1）由所给数据计算得： =×（1+2+3+4+5）=3，…（1分）
=×（0.6+0.8+0.9+1.2+1.5）=1，…（2分）
，…
=2.2，… ==﹣
=0.22，…
=1﹣0.22×3=0.34，…
所求的回归方程为： =0.22x+0.34；…（8分） （2）由（1）知，当x=7时， =0.22×7+0.34=1.88…（10分）
于是预测2017年第七届中国柳州国际水上狂欢节到柳州的外地游客可达18万8千人，
由188000×100=18800000（元），
预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达1880万元．…（12分）
【点评】本题考查了线性回归方程的计算与应用问题，是基础题目．
19．（12分）（2014秋•葫芦岛期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点． （1）证明：AB⊥平面BEF；
（2）设PA=kAB，若平面EBD与平面BDC的夹角是大于45°的锐角，求k的取值范围．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AB⊥平面BEF；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，表示出二面角的大小即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD， ∴AB⊥面APD， 又∵BF∥AD，EF∥PD， ∴面APD∥面BEF， ∴AB⊥面BEF．
（2）以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=1，
则 B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，k），E（1，1，）， 则
=（﹣1，2，0），
=（0，1，），
=（x，y，z），
设平面CBD法向量∴
，
=（0，0，1），平面BDE的法向量
∴即
令y=1
=（2，1，﹣），
设二面角E﹣BD﹣C大小为θ，
即cosθ=|cos＜，＞|==，
解得k＞．
【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．
20．（12分）（2011•郑州二模）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（
，0），B（﹣
，0），直线PA与PB的斜率之积为定值﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）用坐标表示直线PA与PB的斜率因为直线PA与PB的斜率之积为定值﹣，可得
即轨迹方程为
．
（Ⅱ）讨论斜率为0与斜率不存在时不合题意，设直线方程为y=k（x﹣1），利用根与系数的关系表示MN的中点m的方程为
则直线m与y轴的交点
±1，即直线l的方程为y=±（x﹣1）． 【解答】解：（Ⅰ）由题意整理得
，所以所求轨迹E的方程为
，
， 又
可解得k=
，则线段MN的中垂线
（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意； 当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时线的正方形的另外两个顶点坐标为
，不合题意；
，以MN为对角
当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x﹣1）（k≠0），
M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点
，
由
消y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
由得
所以，
则线段MN的中垂线m的方程为：整理得直线
则直线m与y轴的交点
，
，
，
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上， 当且仅当RM⊥RN， 即
，①
，
由②
将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x﹣1）， 综上，所求直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．
【点评】有关三角形的问题是高考的一个重点，多与三角形的周长，面积，形状等问题相关，解决此类问题关键是抓住曲线与三角形的特性灵活找出问题的所在．
21．（12分）（2016春•丰城市校级期末）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）
﹣2lnx．a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的最小值． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；
（2）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx， 则
，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）． （Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2﹣令则
恒成立．
，x∈（0，），
，
再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则
，
，
故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数， 所以l（x）＜
，
故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2016秋•柳州月考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ． （1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为
，求|PM|的值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；
（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．
【解答】解：（1）因为直线的参数方程是（t为参数），
消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y+3=0…（2分） 由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ， 得ρ2cos2θ=2ρsinθ，…
所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．… （2）由
，消去y得x2﹣2x﹣6=0…
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点因为 x1+x2=2，∴M（1，4）…（8分） 又点P的直角坐标为（1，1），…（9分） 所以
…（10分）
．
【点评】本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2016•孝义市模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3
（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）若a=﹣1，由绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集． fx）（2）由条件利用绝对值的意义求得函数（的最小值为|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a的值．
【解答】解：（1）若a=﹣1，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、﹣1对应点的距离之和，
而﹣1.2和 1.5 对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3， 故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤﹣1.5，或 x≥1.5}． （2）由于∀x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2
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