广西柳州市高三1月模拟考试
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上） 1.已知集合A.
B.
C.
D.
，则
（ ）
【答案】A 【解析】求出直线由题意故答案为A. 2.已知复数
（ ） A. 1 B. 【答案】D
【解析】由共轭复数的概念可以得到.由题意得，故答案为D. 3.关于函数A. 关于直线C. 最小正周期【答案】C
【解析】由辅助角公式可得断C正确，将由题意，
故A、B都不正确，
，然后将
代入可排除A、B，由
可判
，下列叙述正确的是（ ）
对称 B. 关于点
D. 图象可由
对称
的图像向左平移个单位得到
，解得
，
，解方程即可得到，进而可以求出，则
，
.
C.
D.
与
为共轭复数，其中
，为虚数单位，则
与，解得
，
的交点，即可得到答案。 ，故
.
的图像进行平移变换即可判断D错误。
，当
时，
，不等于最值，也不等于0，的图像向左平移个单位得到
，选项C正确，
,故选项D不正确。
答案为C.
4.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表： 身高（cm） 体重（kg） （2）
，则拟合效果最好的回归方程是
给出两个回归方程：（1）
通过计算，得到它们的相关指数分别为（ ） A.
B.
C. 两个一样好 D. 无法判断 【答案】A 【解析】两个变量
的回归模型中，它们的相关指数越接近1，这个模型的模拟效果越好，
比较、，即可得到答案。 因为两个变量以5.设方程
的回归模型中，它们的相关指数越接近1，这个模型的模拟效果越好，所
更好。
的根为
表示不超过的最大整数，则
=（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】构造函数值范围，从而得到答案。 构造函数由于函数故由则函数故选B. 6.在区间
内任取两个实数与，则满足
的概率等于（ ）
与
，
在定义域上都是单调递增函数，
，则它的零点为，结合
的单调性即可判断的取
在定义域上单调递增，
，
的零点在（2，3）之间，故
，
，
，
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】点
在边长为1的正方形内部（含边缘），满足
的点在图中阴影部分，运用
定积分方法即可求出阴影部分面积，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案。 【由题意，点
在边长为1的正方形内部（含边缘），正方形面积为1，满足
，则
.
的点在
图中阴影部分，阴影部分面积为
7.已知数列恒成立，则A.
B.
的首项为，第2项为，前项和为，当整数等于（ ） C.
D.
时，
【答案】D 【解析】由即可求出由题意，
. 时，，故数列
.
故答案为D.
8.如图，网格纸上正方形小格边长为，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
，则
，即
，又，
，可以得到
，从而可以证明
是等差数列，
是以1为首项，2为公差的等差数列，
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，作出图形即可求出表面积。 该几何体为四棱锥
，如图.
.
选C.
9.某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种。已知台大型货车与台小型货车的运费之和少于万元，而台大型货车与台小型货车的运费之和多于万元.则台大型货车的运费与台小型货车的运费比较（ ） A. 台大型货车运费贵 B. 台小型货车运费贵 C. 二者运费相同 D. 无法确定 【答案】A
【解析】设大型货车每台运费万元，小车每台运费万元，可得到规划知识，得到目标函数
过
，利用线性
时，最小，从而可判断最小为0，即可得出答
案。设大型货车每台运费万元，小车每台运费万元，
依题意得
过
时，最小. ，即
，选A.
10.已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，则该圆被轴
截得的弦长的最小值为（ ） A.
B.
C. D.
【答案】D
【解析】先设出圆心坐标
，然后由圆被轴截得的弦长为可以表示出半径，进而可
以表示出圆的方程，然后可以将该圆被轴截得的弦长的表达式表示出来，进而求最小值即可。设圆心
，而
，
圆的方程为：，
当时，得
.
故选D. 11.已知
三点都在表面积为
的球的表面上，若
.则球内的
三棱锥A.
B.
的体积的最大值为（ ）
C.
D.
【答案】C
【解析】先求出外接球的半径，
的外接圆半径，即可求出球心到平面
的距离，从而可.
的距离，得，
，然后利用余弦定理及基本不等式可以得到
以求出
面积的最大值，即可求出三棱锥
，在
，设
的角
中，
所对的边分别为
（当且仅当，
故三棱锥
体积的最大值为
的解集为
，选C. ，且
体积的最大值
球心到平面，由
时取“=”），即
12.若关于的不等式
则实数的取值范围是（ ） A. C. 【答案】D
【解析】不等式可化为求导可判断函数围。不等式令当当当则因为
时，时，时，的最小值为
，，
为增函数，
为减函数， ，记，
，
B. D.
内只有一个整数，
，从而构造函数，，
的单调性，进而画出函数
，即，
的图象，利用数形结合即可求出的取值范
，
，
过点
，
，记，
所以当故选D.
时，不等式在内只有一个整数解为，满足题意。
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题.
13.已知向量与是互相垂直的单位向量，设的值为_____. 【答案】 【解析】由由题意，
，
，
则所以14.设【答案】
【解析】由定积分可以求出，然后写出二项展开式的通项，即可求出常数项的值。
，则
，展开式的通项为
，
.
，则
的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
，
得
，代入计算即可。
， ，若
，则实数
当时得到常数项为，故答案为60.
15.已知双曲线的离心率为，左焦点为，点（为半焦距）.
是双曲线的右支上的动点，且【答案】【解析】由
，可知
的最小值为.则双曲线的方程为_____.
，而的最小值为，
结合离心率为2，联立计算即可。 设双曲线右焦点为，则
的最小值为
又
，解得
在函数，数列
【答案】
的通项公式，代入
，即可得到等差数列
的通
，于是
，所以
，所以
，故双曲线方程为的图象上（
）.数列
最小值为.
的前项和为，设
，而
，
16.已知点
的前项和为.则的最小值为____
【解析】先求出等比数列
项公式，然后利用等差数列的性质求前项和的最值即可。 点
在函数
图象上，
,
是首项为，公比的等比数列，，
则当
，即
，是首项为，公差为2的等差数列，
.
时，最小，即最小值为
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列.
（1）求角； （2）若解：（1）由正弦定理得：
，
，
即因为又（2）在
， ，所以，中，
.
，
， 为
中点，求
的长.
， ，
成等差数列，则
，
即
或在
中，
，
（舍去），故
，
在中，.
，
18.我市为改善空气环境质量，控制大气污染，政府相应出台了多项改善环境的措施.其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染.从2018年起大力推广使用新能源汽车，鼓励市民如
果需要购车，可优先考虑选用新能源汽车.政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴，同时为了地方经济发展，对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高.所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高.有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的
户，其中有户购买使用本市企业生产的新能源
分，将
汽车，对购买使用新能源汽车的满意度进行调研，满意度以打分的形式进行.满分分数按照
分成5组，得如下频率分布直方图.
（1）若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有户满意度得分不少于分，把得分不少于分为满意.根据提供的条件数据，完成下面的列联表. 购本市企业生产的新能源汽车户数 购外地企业生产的新能源汽车户数 总计 并判断是否有
满意 不满意 总计 的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关？
（2）以频率作为概率，政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是：购买本市企业生产的每台补贴
万元，购买外地企业生产的每台补贴万元.但本市本年度所有购买新能源汽车
万元.则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元？ ，其中
.
的补贴每台的期望值不超过附：
解：（1）根据样本频率分布直方图可知： 满意度得分不少于分的用户数：
，
又因为本市企业生产用户有户满意， 所以外地企业生产的用户有户满意， 得如下列联表： 购买本市企业生产的新能源汽车户数 购买外地企业生产的新能源汽车户数 总计 则故没有
满意 ，
的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关。
或
，
不满意 总计 （2）设政府对购买新能源汽车的补贴每台为万元，则
，
随机变量的分布列为： 则解得
，由，又因为
，即，故
，
，即
，
，
所以，购买外地产的新能源汽车每台最多补贴万元。 19.已知四棱锥丄底面
.
中，底面
为等腰梯形，
，
，
，
（1）证明：平面（2）过
的平面交
平面；
把四棱锥
分成体积相等的两部分，求二
于点，若平面
面角
的余弦值.
，
，
（1）证明：在等腰梯形易得在则有又即
（2）解：在梯形
平面中，
，故，平面
，
， 平面，故平面
， ，
，而
，
,
，
丄平面
， .
中，设
即
以点为坐标原点，空间坐标系，则设平面
的法向量为
，.
所在直线为轴，
，
，
所在直线为轴，建立如图的
所在直线为轴，，
由得，
取，得，的法向量为的平面角为，
， ，
同理可求得平面设二面角
则，
所以二面角的余弦值为.
20.已知点，直线
.
为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且
（1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线取值范围. 解：（1）设动点由所以化简得
.
.
轴， ， ，
当直线当直线设
的斜率为0时，
轴，同理得
， 的方程为：
，
，则，则，
，
， 与
分别交轨迹于
四点.求
的
故点的轨迹的方程为（2）当直线可设
的斜率不存在时，
的斜率存在且不为0时，设为，则直线
，由
得:
，
则
所以，
则，
直线的方程为：，
同理可得：，
所以令
，则
， ，
由
在
，得
；
，得
； 上单调递增
上单调递减，在
，
又综上所述，21.已知函数（1）讨论
的单调性；
的取值范围是
，故
. ，
.
.
（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数
存在不动点，求实数的取值范围.
解：（1）对于函数①当
时，即
在
的定义域为
，
时，恒成立.
在
恒成立. ，
在②当当
，即时，由
为增函数；
或
时，
或
，
，
，得
在为增函数，减函数.
为增函数，
当时，由在
为增函数。 时，
在
在恒成立，
综上，当为增函数，减函数，
为增函数；当时，在为增函数。
（2）
存在不动点，
方程
有实数根，即
有解，
，
令令当当
，得时，时，
，
当
时，的范围为
，
，，
单调递减； 单调递增；
有不动点，
.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程； （2）若直角坐标.
分别为曲线，上的动点，求
的最小值，并求
取得最小值时，点的
解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去，得由即
，
，
， ，即
的参数方程为
，
（为参数）.
，则点到直线的距离： ,
（2）设曲线上动点为Qd=
当时，即时，取得最小值，即的最小值为，
，.
23.已知函数.
；
的解集非空，求实数的取值范围.
或或
或
的解集非空，
，
（1）解关于的不等式（2）设
解：（1）原不等式可化为：即：由由
或得得
综上原不等式的解为（2）原不等式等价于令
，即
由所以
.
，所以
，
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