您的当前位置：首页正文

广西省柳州市2015届高中毕业班3月份模拟(梧州二模)考试数学(理)试卷

来源：筏尚旅游网

柳州市2015届高中毕业班3月份模拟考试题

理科数学参考答案

一、选择题题号答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 C 11 B 12 C 4.C 【解析】当α⊥β，m∥α时，有m⊥β，m∥β，m⊆β等多种可能情况，所以①不正确；当m∥α，n∥β，且m∥n时，α∥β或α，β相交，所以④不正确，故选C.

kπ

6．B 【解析】由正切函数y＝tan x的一个对称中心是k∈Z，由函数y＝tan ω2，0，πωkππ*

x (ω∈N)的一个对称中心是，0，所以＝(k∈Z)，因此ω＝3k(k∈Z)，故ω的

626最小值为3.

7．C 【解析】由题设，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＝30

a5＋a6

所以a5＋a6＝6，又因为等差数列{an}各项都为正数，所以a5a6≤2＝9，当且仅当a5＝a6＝3时等号成立，所以a5·a6的最大值等于9，故选C. P（AB）33317

8．A 【解析】P(AB)＝3＝，P(A)＝1－3＝，所以P(B|A)＝＝. 2828P（A）710．C 【解析】由|a＋b|＝|c|，得|a＋b|＝|c|，即a＋b＋2a·b＝|c|，又因为|a|＝|b|＝

|c|，

所以a·b＝－

|a|

2π1

＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－，故〈a，b〉＝. 223

11．B 【解析】因为函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，所以他们的函数图象关于直线

y＝x对称，要使|PQ|最小，则必有P，Q两点的切线斜率和y＝x的斜率相等，对于曲线y1

＝ln x，令y′＝＝1，得x＝1，故Q(1，0)．同理，对于曲线y＝ex，令y′＝ex＝1，得x＝0，

x所以P点坐标为(0，1)，综上，|PQ|最小值为1＋1＝2，选B.

12．C 【解析】双曲线的左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0)，渐近线l1：y＝x，l2：

y＝－x，因为点P在第一象限内且在l1上，所以设P(x0，y0)，x0>0，因为l2⊥PF1，l2∥PF2，

ab221b2222所以PF1⊥PF2，即|OP|＝|F1F2|＝c，即x0＋y0＝c，又y0＝x0，代入得x0＋ax0＝c，解

2abbbb得x0＝a，y0＝b，即P(a，b)．所以kPF1＝，l2的斜率为－，因为l2⊥PF1，所以·－

aa＋ca＋ca＝－1，即b2＝a(a＋c)＝a2＋ac＝c2－a2，所以c2－ac－2a2＝0，所以e2－e－2＝0，解得e

＝2，所以双曲线的离心率e＝2，故选C.

二、填空题 13．6 14．99

【解析】an＝＝n＋1－n，可得前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2－1

n＋1＋n

＋3－2＋4－3＋…＋n＋1－n＝n＋1－1，所以n＋1－1＝9，则n＝99.

15．42

19π16. 3

【解析】由题意知正三棱柱底边长为2，高为1，则根据球的性质可得：

121231919192

2sin 60°×＝＋R＝＋＝，球的表面积S＝4πR＝4π×＝π. 343122123

三、解答题

17．【解析】(1)甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33.2分 (2)设a为乙公司员工B投递件数，则

当a＝34时，X＝136元，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7元， X的可能取值为136，147，154，189，203.4分 X的分布列为： X P 136 1 10147 3 10154 2 10189 3 10203 1 1013231

E(X)＝136×＋147×＋154×＋189×＋203×＝165.5(元).10分

1010101010

(3)根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4 860元，乙公司被抽取员工该月

收入4 965元.12分

sin Csin A＋sin B

18．【解析】(1)由＝得，sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin

cos Ccos A＋cos BB，

即sin (C－A)＝sin(B－C)，所以C－A＝B－C，即2C＝B＋A，得C＝.6分

3πππππ

(2)由C＝，可设A＝－α，B＝＋α其中－<α<.

33333所以a2＋b2＝(2Rsin A)2＋(2Rsin B)2＝4(sin2A＋sin2B)，则： a2＋b2＝4

1－cos 2A1－cos 2B2π2π

＝4－2cos＋2α＋cos－2α＝4＋2cos 2α. ＋

2233

ππ2π2π1

由－<α<得－<2α<，所以－33332故a2＋b2的取值范围是(3，6].12分 19．【解析】(1)过C作CE∥AB且CE＝AB，连BE，PE. ∵AC2＋AB2＝BC2，∴AC⊥AB，所以四边形ABEC是矩形．又AC⊥CE，PC⊥AC，∴AC⊥面PEC，

所以∠PCE是二面角P－AC－B的平面角，∴∠PCE＝60°. ∵PC＝CE＝4，∴△PCE为正三角形． ∵BE∥AC，∴BE⊥面PEC，

∴BE⊥PE，∴PB＝PE2＋BE2＝5＝BC. 而H是PC的中点，∴BH⊥PC，

∵G、H是△PAC的中位线，∴GH⊥PC， ∵GH∩BH＝H，∴PC⊥平面BGH.7分

(2)以CE的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，－2，0)，P(0，0，23)，C(0，－2，0)．易求得面PAB的法向量为n＝(23，0，3)， →

而平面BGH的法向量为PC＝(0，－2，－23)， 37→所以cos〈n，PC〉＝14.

37故二面角P－BG－H的余弦值是.12分

c6x2y222

20．【解析】(1)依题意有c＝2，＝，可得a＝6，b＝2.所以所求椭圆的方程为＋

a362＝1.4分

y＝k（x－2），22

(2)直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组xy消去y并整理得(3k2＋1)x2

6＋2＝1.12k2－612k2

－12kx＋12k－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得x1＋x2＝2，x1x2＝2，所以|AB|

3k＋13k＋1

26（k2＋1）

＝1＋k|x1－x2|＝.

3k2＋1

26k22k1

设AB的中点M(x0，y0)，得x0＝2，y0＝－2.得直线MP的斜率为－，又xP

k3k＋13k＋1＝3，所以|MP|＝3

＝|AB|，即2

11＋2·|x0－xP|＝k

k2＋13（k2＋1）

·.当△ABP为正三角形时，|MP|k2（3k2＋1）

k2＋13（k2＋1）326（k＋1）

·＝·.解得k＝±1.即直线l的方程为x－yk2（3k2＋1）23k2＋1

－2＝0或x＋y－2＝0.12分

21．【解析】(1)若f(x)≤－1对定义域内的x恒成立，则f(x)max≤－1. 于是f(1)＋1＝－a－a＋1＋1≤0⇒a≥1.

当a≥1时，f′(x)＝

－（ax＋a－1）（x－1）1

＝0⇒x＝1，x＝－1＋. 2xa

因为x＝－1＋≤0，则当x∈(0，1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上单调递增，

a当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝1－2a≤－1，即f(x)≤－1恒成立．故实数a的取值范围为[1，＋∞).5分

(2)由(1)知，实数a的取值范围为[1，＋∞).

f(1＋sin θ)－f(1－sin θ)＝ln(1＋sin θ)－a(1＋sin θ)－

a－1

－

1＋sin θln（1－sin θ）－a（1－sin θ）－a－1＝ln(1＋sin θ)－ln(1－sin θ)－2asin θ－1－sin θ

11sin θ(a－1)1＋sin θ－1－sin θ＝ln(1＋sin θ)－ln(1－sin θ)－2asin θ＋2(a－1)2＝

cosθ1sin θln(1＋sin θ)－ln(1－sin θ)－2asin θ1－cos2θ－22＝ln(1＋sin θ)－ln(1－sin θ)

cosθsin3θsin θsin3θsin θ＋2a2－22≥ln(1＋sin θ)－ln(1－sin θ)＋22－22＝ln(1＋sin θ)－

cosθcosθcosθcosθsin θln(1－sin θ)＋22(sin2θ－1)＝ln(1＋sin θ)－ln(1－sin θ)－2sin θ.

cosθ令h(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(0≤x<1)，则 112

h′(x)＝＋－2＝－2≥2－2＝0，

1＋x1－x1－x2∴h(x)在区间[0，1)上单调递增，∴h(x)≥h(0)＝0.

由题意知，sin θ∈[0，1)，于是ln(1＋sin θ)－ln(1－sin θ)－2sin θ≥0， ∴f(1＋sin θ)≥f(1－sin θ)．

故对任意的θ∈0，，f(1－sin θ)≤f(1＋sin θ)成立.12分

222．【解析】(1)解：由A，B，C，D四点共圆，得∠CDE＝∠ABE， ABBEAE

又∠DEC＝∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是＝＝.①

CDDECEBEAE2

设DE＝a，CE＝b，则由＝，得3b2＝2a2，即b＝a

DECE3代入①，得

AB3b

＝＝6.5分 CDa

(2)证明：由EF∥CD，得∠AEF＝∠CDE.

∵∠CDE＝∠ABE，∴∠AEF＝∠EBF.又∠BFE＝∠EFA，

FAFE

∴△BEF∽△EAF，于是＝，故FA，FE，FB成等比数列.10分

FEFB23．【解析】(1)由曲线C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，得x2－y2＝1 ①5分

(2)把直线参数方程化为标准参数方程得：



1x＝2＋t

(t为参数) ② 3y＝t2

把②代入①得：

2＋1t－3t＝1 22

整理，得t2－4t－6＝0 设其两根为t1，t2，

则t1＋t2＝4，t1·t2＝－68分

从而弦长为|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝42－4（－6）＝40＝210.10分 24．【解析】(1)当a＝4时，|2x＋1|－|x－1|≤2， 11x<－时，－x－2≤2，得－4≤x<－

22112

－≤x≤1时，3x≤2，得－≤x≤3分 223x>1时，x≤0，此时x不存在 2

∴不等式的解集为x|－4≤x≤35分





－x－2，x<－2

1(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝ 3x，－≤x≤1

x＋2，x>133

－，＋∞，即f(x)的最小值为－8分故f(x)∈22故a≥

10分 4

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文