一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：
=1，点A，B是它的两个焦
点，当静止的小球放在点A处，从A点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最长路程是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
参考答案：
C
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆的光学性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和4a，进而根据椭圆的定义可求得小球经过的最长路程．
【解答】解：依题意可知=1中，a=4，b=3，c=，设A，B分别为左、右焦点，
则当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后， 再回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）=2（2﹣
）；
射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）=2（2+
）；
小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16， 小球经过的最长路程16， 故选C．
2. 已知则 （ ）
A． B．
C．
D．
参考答案：
B
3. 经过点M（1，5）且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D
【考点】QJ：直线的参数方程． 【分析】根据直线参数方程的定义可求．
【解答】解：根据直线参数方程的定义，得，即，
故参数方程为：，
故选D．
4. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，棱BB1所在直线上的动点M满足，AM与侧面
BB1C1C所成的角为θ，若λ∈[]，则θ的取值范围是（ ） A．[
，
] B．[
]
C．[
，
] D．[
，
]
参考答案：
B
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】取BC中点O，连接AO，MO，可得∠AMO是AM与侧面BB1C1C所成的角，从而可得
=
，结合条件，即可得到结论．
【解答】解：取BC中点O，连接AO，MO，则 ∵棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴AO⊥侧面BB1C1C，
∴∠AMO是AM与侧面BB1C1C所成的角 ∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，，
∴
，AM=
∴=
∵λ∈[]，
∴ ∴ ∴θ∈[]
故选B．
【点评】本题考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定线面角是关键． 5. 函数f (x) = log (x 2 +２x－３) 的单调增区间是（ ）
A．(－￥,－３) B．(－￥,－３] C．(－￥,－１) D．(－３,－１)
参考答案：
A
6. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（A． B． C．
D．
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e=
，即c=2a，
点A在双曲线上， 则|F1A|﹣|F2A|=2a， 又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c， 则由余弦定理得
cos∠AF2F1===
．
故选：A．
7. 如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】几何概型．
【分析】利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或
＜∠AOB＜π，即可求出△AOB
的面积小于的概率．
）【解答】解：∵OA=1，△AOB的面积小于， ∴
＜，
∴sin∠AOB＜， ∴0＜∠AOB＜
或
＜∠AOB＜π ∴△AOB的面积小于的概率为=．
故选：A．
8. 函数在定义域R内可导，若
，且当时，，设
则( )
A． B． C．
D．
参考答案： B
9. 已知下列命题：①二次函数有最大值；②正项等差数列的公差大于零；③函
数的图象关于原点对称．其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C 2
D. 3
参考答案：
B 【分析】
根据命题真假的判断条件，按涉及到的知识进行判断，对于①，没有给出a的值，结合二次函数的图象，判断二次函数的最值与a的取值关系，从而判断该命题的真假；对于②，举特例，例如递减的每项为正的等差数列，根据公差的值做出判断；对于③，根据幂函数的性质判断图象是否关于原点对称. 【详解】解：①假命题，反例：当
，抛物线开口向上，有最小值；
②假命题，反例：若数列为递减数列，如数列20，17,14,11,8,5,2，它的公差是-3；
③真命题，是奇函数，所以其图象关于原点对称.
故选B.
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，需根据所学的知识进行判断，相对不难.
10. 若直线过点
(1,0)与双曲线
只有一个公共点，则这样的直线有
A．4条 B．3条 C． 2条 D．1条 参考答案：
B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数
，若
，则的值为
参考答案：
略
12. 左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球.若从左口袋里取出1个球后装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为＿＿（结果用数值表示）．
参考答案：
13. 如图，把椭圆
的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于
P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= ．
参考答案：
35
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的定义可求得|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=×2a，结合椭圆的标准
方程即可求得答案． 【解答】解：∵椭圆的方程为+=1，
∴a=5，b=4，c=3．
∵F是椭圆的一个焦点，设F′为椭圆的另一焦点， 依题意|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P4F′|， ∴|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P4F|=2a=10，
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=×2a=7a=35． 故答案为：35．
14. 命题：“存在x∈R，使x2
+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
﹣16≤a≤0
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
分析： 将条件转化为x2
+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围． 解答： 解：命题：“存在x∈R，使x2
+ax﹣4a＜0”为假命题， 即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0， 即：a2
+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，
故实数a的取值范围为．
故答案为：﹣16≤a≤0．
点评： 本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化的数学思想，属中档题．
15. 已知椭圆
的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于
两点，且斜率分别为
，若点
关于原点对称，则的值
为 。
参考答案：
16. 若不等式≤对于任意实数恒成立,则实数的取值范围是_______
参考答案：
略
17. 已知x＞0,y＞0，且
，则x+2y的最小值为______________．
参考答案：
8
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分10分）
已知为等比数列，；数列的前n项和
满足． （1） 求
和
的通项公式；（2） 设
=
，求
．
参考答案：
（1） 设
的公比为,由
,得
所以
， （2）
①
②
19. （共14分）.已知椭圆C的中心为坐标原点，离心率为，直线与椭圆C相切于M
点，F1、F2为椭圆的左右焦点，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线m过F1点，且与椭圆相交于A、B两点，，求直线m的方程。
参考答案：
(1) (2)y=±(x+1)
略
20. 已知过点
的直线l的参数方程是
（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极
点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，试问是否存在实数a，使得？若存在，求出
实数a的值；若不存在，说明理由.
参考答案：
（1），
；（2）
【分析】
（1）消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式 ，即
可得到曲线
的直角坐标方程；
（2）由题可得
，利用圆的弦长公式即可求得实数的值
【详解】（1）消由 直线的普通方程为
由，
曲线
的直角坐标方程为
（2）由于，
，故
；
由于曲线
的直角坐标方程为
，则圆心（3,0），
，所以圆心到直线的距离
，根据垂径定理可得
，即
，
可求得 实数
.
【点睛】本题考查把参数方程、极坐标方程转化为普通方程，考查向量的加减运算，圆的弦长公式，
属于基础题。
21. 已知函数f（x）=x2﹣alnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；
（Ⅱ）若存在x∈[2，e]，使得f（x）≥（a﹣2）x成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ）a=4时，f（x）=x2﹣4lnx， ∴f（x）的定义域为x＞0，
，
由
=0，得x=
，或x=﹣
（舍），
∵f（1）=1﹣4ln1=1， f（
）=1﹣4ln
=1﹣2ln2，
f（e）=1﹣4lne=﹣3，
∴函数f（x）在[1，e]上的最小值为﹣3，相应的x的值为e．
（Ⅱ）f（x）≥（a﹣2）x等价于a（x+lnx）≤x2+2x， ∵x∈[2，e]，∴x+lnx＞0，
∴a≤，x∈[2，e]，
令g（x）=，x∈[2，e]，
=
当x∈[2，e]时，x+1＞0，lnx≤1，x﹣2+2lnx＞0，
，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[2，e]上为增函数， 故g（x）的最小值为g（2）=略
22. （本题8分）已知(1)求的方程；(2)求点
的顶点
、
、
，
边上的中线所在直线为.
，所以a的取值范围是[
，+∞）．
关于直线的对称点的坐标.
参考答案：
(1)线段
的中点为
，于是中线方程为
；
(2)设对称点为，则，解得，即.
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