高中圆锥曲线离心率和焦半径公式结论

(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−c,0)和

F2(c,0)(c>0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点, 且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|. (1)求椭圆的离心率； (2)求直线AB的斜率；

例2：（2009天津理22）已知椭圆

(a>b>0)的左右焦点分

别为F1， F2(c,0)(c>0), 过点E(3c,0) 的直线与椭圆相交于 A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|，求直线AB的斜率；

例3：设F1,F2分别为椭圆 的焦点，点A,B在椭圆上，若 ,则点A的坐

标

知识点

离心率：

椭圆离心率：

双曲线离心率：

焦半径公式： 焦半径坐标形式 焦点在 轴上： 椭圆焦半径公式： 焦点在 轴上：： 焦点在 轴上： 双曲线焦半径公式： 焦点在 轴上： 焦半径倾角型： 焦点在 轴上： 焦点在 轴上： 椭圆焦半径倾角形式： 焦点弦 焦点弦 为弦 直线倾角 焦点在 轴上： 焦点在 轴上： 双曲线焦半径倾角形式： 焦点弦 焦点弦 3.焦点分弦长公式：F1A= F1B| e= e= (焦点在x轴上) k为AB弦所在直线斜率 焦点在y轴上） k为AB弦所在直线斜率 重要结论1：

.已知椭圆

(a>b>0)的左右焦点分别为F1 F2 (c>0)

.过点E(,0)的直线l与椭圆相交于A,B两点 .F1A∥F2B,|F1A|= |F2B|.

结论1：直线l必过（0，b）或（0，-b）

重要结论2：

.已知椭圆

(a>b>0)的左右焦点分别为F1 F2 (c>0)

.直线l与椭圆相交于A,B两点, 点A(x1,y1) 点B(x2,y2)且x1= x2

（ ） （ ） 结论2：

一元二次方程（a,b,c为系数，x1,x2为两根） （

例1：已知椭圆

(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−c,0)和

F2(c,0)(c>0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点, 且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.

(1)求椭圆的离心率？

|F1A|=2|F2B|，又 F1A∥F2B（已知量）

F2B是 的中位线（通过两个已知量组合得出新的内容） 即：F1F2=F2E（得出我们想要的内容） F2E= , F1F2=2c

得：

故：e=

(2)求直线AB的斜率； 方法1：延长AF1交椭圆于点C 由椭圆的对称性可知：CF1=BF2 即：AF1=2CF1 设直线AB斜率为k 方法2：由 e= , e= (由1)可知） k= cos = , AF1= ,由1）可知：c= a,b= , 代入得：AF= 1 ，点A（0， ） 故： k= = 重要结论1可知；直线AB必过（0，b）或（0，直线AB的斜率k= 由1）可知：c= a,b= 所以：k= -b） 例2：（2009天津理22）已知椭圆

(a>b>0)的左右焦点分

别为F1， F2 (c>0), 过点E(3c,0) 的直线与椭圆相交于A,B 两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B| 求直线AB斜率；

方法1：因为：F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B| 设点A(x1,y1) 点B(x2,y2)

所以：

得

(这样的操作造成运算量比较大) 解得：

A(0, ) 直线AB斜率：k=

方法2：延长AF1交椭圆于点C,由椭圆的对称性可知： CF1=BF2 即：AF1=2CF1 设直线AB斜率为k e= , e=(由已知可知) 方法3： k= AF 1= ,a= c,b=c, 代入得：AF 1= ，点A（0， ） 直线AB斜率为： k= 设AB直线为x=my+3c 整理得：（2m2+3）y2+12mcy+12c2=0 韦达定理得： 由 得： 故：m2= 总结：

1.通过这两道题我们可以得出以下两个重要结论 .已知椭圆

(a>b>0)的左右焦点分别为F1 F2 (c>0)

.过点E(,0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,且 .F1A∥F2B,|F1A|= |F2B|.

结论：1.直线l必过（0，b）或（0，-b） 2.通过对例1和列2可以得出离心率e2= 2. .已知椭圆

(a>b>0)的左右焦点分别为F1 F2 (c>0)

.直线l与椭圆相交于A,B两点, 点A(x1,y1) 点B(x2,y2)且x1= x2

（ ） （ ） 结论2：

一元二次方程 （ （a,b,c为系数，x1,x2为两根）

3.已知直线与x轴交点（a,0）时：设直线方程：x=my+a(斜率k=)

例3：(2011浙江理15)设F1,F2分别为椭圆 的焦点，点A,B

在椭圆上，若 ,则点A的坐标 分析

1. 分解成这样两个量， 写成向量形式其实就是这两方面考虑问题

离心率

准线方程 ，与 轴交点

2.

3.将条件1+条件2我们联想到上面两道题（经验问题）， 我们先猜想一下

的值是多少？

，我们直接可以求出 点坐标

我们猜想结果：

，我们只能用常规方法延长

5，所以点A坐标为（0, 1）（重要结论1）

小结：

通过这两道高考题，不难发现其实各个地区出题其实都是一样的，只要我们抓住基础知识点及演变，稍加总结就可以应对多变的题型。 例如:例3题，我们可以将它进行改变就可以出现一道新题 (2011浙江理15改编)椭圆

的左右焦点F1(- 0),F2( 0)，

过准线方程与x焦点E(

,0)的直线l与椭圆交A,B两点，若

,则椭圆离心率e= 分析

方法1：利用准线方程x=，求出椭圆方程：

然后利用之前的解题方法解决问题

方法2:过准线方程与x轴交点  F1A∥F2B,|F1A|=5|F2B| 满足这两条就可以知道e2=

=

(通过自己总结)

这也是通过自己的总结，可以达到自己改变题的效果，这样才是真正的讲一个类型题学习明白。

这用通过两道例题，相近地方进行总结+上知识点的扩展。这样当做到第三题的时候我们就可以应对自如，如果挖掘的完全的话，完全我们可以自己的改编题。也说明一个事情只要知识点学习透彻，加之学习方法清晰的话，有一定总结归纳的，我们学习是越来越轻松也可能达到举一反三的目的。

大家好本期，敦敏老师来跟大家聊聊关于圆锥曲线当中非常重要的一个内容就是焦半径。首先我们先了解一下什么是焦半径。

椭圆C:

中F为椭圆一个焦点,椭圆有一点P，连接PF，这

条线段PF就叫做椭圆的焦半径

双曲线和抛物线同理都是曲线上一点连接焦点为圆锥曲线焦半径 在圆锥曲线里，常用的两种表示方式：坐标表示和倾角表示