双等边三角形

如图，C为线段AB上一动点（不与点A，B重合），在AB同侧分别作正三角形ABD和正三角形CBE，AE与BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与CE交于点N，连结MN．以下五个结论：

①三对全等三角形（内含丰富的等量关系）： △ACE≌△DCB； △ACM≌△DCE；△MCE≌△NCB ②△MCN是等边三角形； ③MN∥AB； ④∠AOD=60°； ⑤ AO=DO+CO； ⑥OC平分∠AOB；

111； MNACBC11AB； ⑧

MN4⑦

⑨若P、Q分别为AE、BD的中点，则△CPQ是等边三角形；

DQPONEMACB如图A是CD上一点，ABC、ADE都是正三角形，求证CE=BD 题2：如图，ABD、ACE都是正三角形，求证CD=BE

题3：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE

题4：如图，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC

题5：如图，P是正方形ABCD内一点，ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP’重合，若PB=3，求PP’

如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,BD交AC于点N， 证明:（1）BD=CE.（2）BD⊥CE. BE

A

N

MC

D

(3)当△ABC绕A点沿顺时针方向旋转如下图（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请选择其中的一个图加以说明. EEE BCB

C

CDAADBA

图(3) 图(1) 图(2)

证明：(1) △BAD≌△CAE,得BD=CE.………………(4分)

(2)∠CMN=180°-∠NCM-∠MNC=180°-∠ABD-∠ANB=∠BAN=90° ∴BD⊥CE.………………(7分)

(3)结论仍成立,证法同上.………………(8分) 证明过程完整

D

题目 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P679题） D

A

解 ∵ △ABD是等边三角形， ∴ AB = AD，∠BAD = 60． 同理AE = AC，∠EAC = 60．

B ∴ 以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60 就得到△CAD， C ∴ △ABE≌△ADC，从而 BE = DC．

另法 ∵ △ABD，△AEC都是等边三角形， ∴ AB = AD，AE = AC，∠BAD =∠EAC = 60，

于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB． 从而有 △CAD≌△EAB， ∴ DC = BE．

点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．

演变

E 变式1 如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，

A △EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？ 说明理由．（人教课本P805题）

B 说明：如上题图，去掉BC，把D，A，E放在一直线上即得． C

A E 本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．

（1）△ABC与△CDE在BC的异侧．

E （2）点C在BD的延长线上．

（3）C点在BD外． B D

C （4）△ACD与△BDE在BD的异侧，

B D 且D点在BC的延长线上． A （5）△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC，CE = DE，∠BAC =∠CED． E E E E G A A A D

B C D

B F C D

B A

C

D

B C

E

D

C

变式2 如图，四边形ABCD，ACFG都是正方形，则BG 与CE有什么关系？说明理由．

变式3 如图，△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，则 BE与DC有什么关系？

D A E

B C

（2011广东河源）如图9,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之生取最小值时，AP=___________；（直接写结果）

（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；

（3）如图10，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

（2010广西桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上

的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设

EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．

FGEACPDB

【答案】3

(2007年黄冈市)如图，分别以RtABC的直角边AC，BC为边，在RtABC外作两个等边

三角形ACE和BCF，连结BE，AF. 求证：BE=AF.

F C EE

B A

.(08广东东莞/中山/汕头市)21.（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别

以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC． 求∠AEB的大小；

D

O 图7

A

D B

C

B

C

E A

O 图8

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转

（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.

解：（1）如图7.

∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点，

∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ……1分 ∴ ∠4=∠5.

又∵∠4+∠5=∠2=60°,

∴ ∠4=30°.…………………………2分 同理，∠6=30°.…………………………3分 ∵ ∠AEB=∠4+∠6,

∴ ∠AEB=60°.………………………4分

C7E85B13 2O图86A4D（2）如图8.

∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，………5分 又∵OD=OA,

∴ OD＝OB，OA＝OC，

∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. …………………6分 ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3,

∴∠DOB=∠AOC. …………………………………7分 ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°, ∴ 2∠5=2∠6,

∴ ∠5=∠6.………………………………………………8分 又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，

∴ ∠AEB＝60°.…………………………………………9分

（08山东滨州）17．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． （1）（2）（3）（5）

A

P C

B O D Q E

（2008，滨州）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把

B你认为正确的序号都填上）。

OPACQDE

（2008，广东汕头）如图6，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同

侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC． 求∠AEB的大小；

D

（2）如图7，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转某一个角（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小。

（2007，湖北武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，

AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；

(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系

B C 图①

D

A F C E B E B C 图② (第24题图)

F D A E

B C 图③

E C B

B

C

E A O 图6

A

D O 图7

是________________。请你任选其中一个结论证明。

D D A F A F A F D

B 图④

C (第24题图)

图⑤

E

（2008，湖北襄樊）如图12，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．

（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

（2008，怀化）如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．

求证：（1）AECG；

（2）ANDNCNMN.

（2008，浙江义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D

不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，

第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=

（2008，滨州）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

（深圳3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为

A.

1，求BE2DG2的值． 2BOPACQED3:1 B. 2:1 C.5:3 D.不确定

【答案】A。

【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】连接AO，DO。设等边△ABC的边长为a，等边△ABC的边长为b。 ∵O为BC、EF的中点，∴AO、DO是BC、EF的中垂线。∴∠AOC=∠DOC=900，∴∠AOD=1800—∠COE。又∵∠BOE=1800—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。

又由AO、DO是BC、EF的中垂线，

得OB=

3311a，OD=b。 a，OE=b，OA=222233abOAODOAOD22从而3 , 3 ,  。 AOD∽BOE。∴AD：

11OBOEOBOEab22BE=

（河源9分）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=___________；（直接写结果） （2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明 理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小

是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

3:1。故选A。

【答案】解：(1) a。

（2）α的大小不随点P的移动而变化。理由如下： 设AD与CP相交于点S。 在△APD和△CPB中， ∵AP=CP，∠APD=∠CPD+600=∠CPB，DP=BP，

∴△APD≌△CPB（SAS）。∴∠PAD=∠PCB，即∠SAP=∠SCQ。 在△SAP和△SCQ中，∵∠SAP=∠SCQ，∠ASP=∠CSQ， ∴△SAP∽△SCQ。∴α=∠AQC=∠APC=600。 即α的大小不随点P的移动而变化，总等于60。

（3）若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小不会发生变化，总等于600。

【考点】三角函数，二次函数的最小值，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

0

质，旋转的性质。

【分析】(1)设△APC与△PBD的面积之和为S，AP=x，PB=2a—x， 则△APC的高为

33x，△PBD的2ax。 22131332 S=xx2ax2ax=2x3ax322222 ∴当x=a时，S有最小值。

3a=2x23a2。 a2 （2）要证∠AQC=α不变化，只要证∠AQC=∠APC=600，只要△SAP∽△SCQ。在△SAP和△SCQ中，一方面∠ASP和∠CSQ是对顶角，是相等的；另一方面∠SAP和∠SCQ是三角形△APD和△CPB的对应角，由已知易证它们是全等的。从而得证。

（3）考虑到图形旋转后，大小和形状都不发生变化，基于（2）同样的理由可以证明。

（2010 山东东营）如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动(不与点A，B重合)，连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（ ）

（A）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小

【答案】C

（2010黑龙江绥化）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE＝BD ②AG＝BF ③FG∥BE ④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（ ） A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】D

（2010广西桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上

的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设

EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．

FGEACPDB

【答案】3

（2010辽宁丹东市）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在

直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； ．．．． （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．

AAA

DEDNED ·E·

BMNFCBM· B FC· F

C

图① 图②

第25题图

图③

【答案】（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， ····· 3分

（说明：答对一个给2分） （2）成立． ······························ 4分 证明：

法一：连结DE，DF． ·························· 5分

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点，

∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE． ··························· 7分 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，

∴△DMF≌△DNE． ·························· 8分 ∴MF=NE． ·························· 9分

A A

D E D E

N N

法二：

延长EN，则EN过点F． ······················· 5分 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN． ···························· 7分 又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，

∴△DBM≌△DFN． ··························· 8分 ∴BM=FN．

∵BF=EF， ∴MF=EN． ························· 9分 法三：

连结DF，NF． ····························· 5分 ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC．

又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF=

11AC=AB=DB． 22又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN． ··························· 7分 在△DBM和△DFN中，DF=DB，

DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．

∴∠B=∠DFN=60°． ·························· 8分 又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°． ∴可得点N在EF上，

∴MF=EN． ·························· 9分 （3）画出图形（连出线段NE）， ····················· 11分

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． ·············· 12分

BMDNA

EFC

如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。 （1）求证：AE=CD；(4分)

（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论。(6分)

（2010 福建晋江）（13分）如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线. 动点D

在直线．．AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连结BE.

(1) 填空：ACB______度；

(2) 当点D在线段．．AM上(点D不运动到点A)时，试求出

A M B

C

D N E

AD的值； BE(3)若AB8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长. B

AA

DA

CMEB C B C

【答案】26.（本小题13分） (2)∵ABC与DEC都是等边三角形

备用图(1) 备用图(2)

(1)60；…………………………………………（3分） ∴ACBC，CDCE，ACBDCE60 ∴ACDDCBDCBBCE

∴ACDBCE……………………………（5分） ∴ACD≌BCESAS

AD1.………………………（7分） BE(3)①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由(2)可知ACD≌BCE，则

∴ADBE，∴

CBECAD30，作CHBE于点H，则PQ2HQ，连结CQ，则CQ5.

在RtCBH中，CBH30，BCAB8，则CHBCsin308在RtCHQ中，由勾股定理得：HQ14. 2CQ2CH252423，则APQ2HQ6.………………………（9分） ②当点D在线段AM的延长线上时，∵ABC与DEC都是等边三角形 ∴ACBC，CDCE，ACBDCE60 ∴ACBDCBDCBDCE ∴ACDBCE

∴ACD≌BCESAS BPMC∴

CBECAD30，同理可得：DQEPQ6.…………………………（11分） ③当点D在线段MA的延长线上时， ∵ABC与DEC都是等边三角形 ∴ACBC，CDCE，ACBDCE60 ∴ACDACEBCEACE60 ∴ACDBCE ∴ACD≌BCESAS ∴CBECAD ∵CAM30

∴CBECAD150 ∴CBQ30. 同理可得：PQ6.

综上，PQ的长是6. ………………………（13分）

DAEBMPCQ（2010 福建晋江）（13分）如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线. 动点D

在直线．．AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连结BE.

(1) 填空：ACB______度；

(2) 当点D在线段．．AM上(点D不运动到点A)时，试求出

AD的值； BE(3)若AB8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长. B

【答案】26.（本小题13分） (1)60；…………………………………………（3分） (2)∵ABC与DEC都是等边三角形

∴ACBC，CDCE，ACBDCE60 ∴ACDDCBDCBBCE

∴ACDBCE……………………………（5分） ∴ACD≌BCESAS

AA

DA

CMEB C B C

备用图(1) 备用图(2)

AD1.………………………（7分） BE(3)①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由(2)可知ACD≌BCE，则

∴ADBE，∴

CBECAD30，作CHBE于点H，则PQ2HQ，连结CQ，则CQ5.

在RtCBH中，CBH30，BCAB8，则CHBCsin308在RtCHQ中，由勾股定理得：HQ14. 2CQ2CH252423，则APQ2HQ6.………………………（9分） ②当点D在线段AM的延长线上时，∵ABC与DEC都是等边三角形 ∴ACBC，CDCE，ACBDCE60 ∴ACBDCBDCBDCE ∴ACDBCE

∴ACD≌BCESAS BPMC∴

CBECAD30，同理可得：DQEPQ6.…………………………（11分） ③当点D在线段MA的延长线上时， ∵ABC与DEC都是等边三角形 ∴ACBC，CDCE，ACBDCE60 ∴ACDACEBCEACE60 ∴ACDBCE ∴ACD≌BCESAS ∴CBECAD ∵CAM30

∴CBECAD150 ∴CBQ30. 同理可得：PQ6.

综上，PQ的长是6. ………………………（13分）

（09年湖南常德）26．如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，

易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

DAEBMPCQ

图9 图10 图11

（09年湖南常德26题解析）解：（1）CD=BE．理由如下: ··1分 ∵△ABC和△ADE为等边三角形

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o ∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60－∠EAC，

o

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD ···············································3分 ∴CD=BE ··································································4分 （2）△AMN是等边三角形．理由如下： ··························5分

∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD． ∵M、N分别是BE、CD的中点， ∴BM=

N D

E C

11BECDCN 22 ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN． ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． ····································· 6分 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60 设AD=a，则AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．

∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120， ∠ADE=60，

o

o

o

M A 图11

B

∴△AMN是等边三角形． ·········································· 7分

∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o． ······················································ 8分 ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD=3a．

∵N为DC中点， ∴DN3a， ∴ANDN2AD2(3a)2a27a． ························ 9分 222∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMNa2:(2a)2:(7a)21:4:74:16:7 ··························10分

24解法二：△AMN是等边三角形．理由如下： ·································································· 5分

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60

o

∴△AMN是等边三角形 ·························································································· 7分 设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a

22易证BE⊥AC，∴BE=ABAE(2a)2a23a，

∴EM3273a)a2a a ∴AMEM2AE2(222∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMNa2:(2a)2:(7a)21:4:74:16:7······························10分

24

21. （2008年广东省中山市）（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别

以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和

BD，相交于点E，连结BC．

求∠AEB的大小； D

C

B

B

C

E A O 图7

A

D O 图8

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转

（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧作等边△ABD、△ACF、△BCE， 求证：△BDE≌△EFC