2014考研数学备考重点解析——如何求二元函数的极值和最值

2014考研数学备考重点解析——如何求二元函数的极值和最值

极值和最值问题共分三类题型，即无约束极值、条件极值和有界闭区域上连续函数的最值. 做题时第一步是要确认类型，然后对应相应的解决方法进行求解.

（一）无约束极值

求二元函数zf(x,y)无约束极值的步骤是：

fx(x,y)0,⑴解驻点方程得驻点(x0,y0)；

f(x,y)0,y⑵求驻点处的二阶偏导数Afxx(x0,y0),Bfxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0)；

⑶判别：若ACB0，则f(x0,y0)是极值，且A0时f(x0,y0)是极小值，A0时f(x0,y0)是极大值；若

2ACB20，则f(x0,y0)不是极值.

【例1】设zz(x,y)是由x6xy10y2yzz180确定的医学考研论坛函数，求zz(x,y)的极值

222点和极值.

【解析】分析：极值结合隐函数求导 方程两边对x求导，得2x6y2yzz2z0，⑴ xxzz2z0，⑵ yy方程两边对y求导，得6x20y2z2y令

x3y0,x3y,zz 即 0，0，得yx3x10yz0,zy,222代入方程x6xy10y2yzz180，解得

x9,x9,y3, 或者y3, z3,z3,2zz22z⑴式两边对x求导，得22y22()2z20，

xxx

z2zzz2z⑴式两边对y求导，得622y22z0，

xxyyxxyzz2zz22z⑵式两边对y求导，得20222y22()2z20，

yyyyy2zzz将x9,y3,z3,0，0代入，得A2xyx12z,B6xy12z,C22y5, 3(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)ACB2110,A0，故点(9,3)是zz(x,y)的极小医学考研论坛值点，极小值为z(9,3)3 366类似可得点(9,3)是zz(x,y)的极大值点，极大值为z(9,3)3.

（二）条件极值 求条件极值的步骤是：

⑴先构造拉格朗日函数F(x,y,)f(x,y)(x,y)，其中为某一常数； ⑵解驻点方程

Fxfx(x,y)x(x,y)0,Fyfy(x,y)y(x,y)0, F(x,y)0.得(x0,y0)；

⑶求出相应的函数值f(x0,y0).

注：这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数uf(x,y,z)在条件(x,y,z)0，(x,y,z)0下的极值.先构造拉格医学考研论坛朗日函数

F(x,y,z,1,2)f(x,y,z)1(x,y,z)2(x,y,z)，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.

x2y2z2【例2】求椭球面 2221的内接长方体的最大体积.

abc【解析】设内接长方体位于第一卦限的顶点为(x,y,z)，则它的长、宽、高分别为2x，2y，2z，问题归结为求

x2y2z2体积V8xyz(x0,y0,z0)在条件2221下的最大值.

abc

x2y2z2构造拉格朗日函数:L(x,y,z,)8xyz(2221)

abcLxLy解驻点方程组:LzL得唯一驻点：x2x0,2a2y8xz20,b

2z8yx20,cx2y2z222210,abc8yzabc， ,y,z3338abc83abc. 933由实际意义知道，内接长方体的最大体积存在，其最大体积为Vmax

（三）有界闭区域D上连续函数的最值

因为有界闭区域D上连续函数的最值一定存在，所以只要分别求出函数在D的内部和D的边界上可能取得最值的点.其中内部的可能最值点按无约束极值的求法，求出若干驻点，但只取落入D内的驻点（注意：这里不需要用二阶条件来验证极值）.D的边界上的最值点按条件极值的求法求出. 医学考研论坛最后，比较所有这些可能点处函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.

【例3】求二元函数zf(x,y)xy(4xy)在直线xy6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最

2小值.

【解析】⑴先求函数在D内的驻点，解方程组

2fx(x,y)2xy(4xy)xy0 22f(x,y)x(4xy)xy0y得区域D内驻点(2,1),且f(2,1)4, ⑵再求D的边界上的可能的最值点 在边界x0和y0上,f(x,y)0； 在边界xy6(0x6)上，y6x，

于是g(x)f(x,6x)x(6x)(2)2x12x2232(0x6),

由g(x)6x24x0,得x4，且g(4)f(4,2)， ⑶故f(2,1)4为最大值,f(4,2)为最小值.