常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 f(t)=1+∞F(ω)ejωtdω ∫2π−∞ F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωtdt f(0)=+∞1+∞F()dωω F(0)=f(t)dt ∫∫−∞2π−∞连续傅里叶变换对 重要 对偶的连续傅里叶变换对 连续时间函数f(t) 直流1 连续时间函数f(t) 冲激δ(t) 冲激偶δ'(t) 傅里叶变换F(ω) 1 jω (jω)n πδ(ω)+jπδ'(ω)−2 jωe−jωt0 π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)] jπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)] 抽样函数τSa(傅里叶变换F(ω) 2πδ(ω) 2πjδ'(ω) 重要√ √ √ √ t tn δ(n)(t) 阶跃u(t) 单位斜变tu(t) 2πjnδ(n)(ω) u(ω) 1 jω111δ(t)− 22πjtω2 1,t≠0 πt ω>⎧−j, 0⎪F(ω)=⎨0, ω=0 ⎪ω<⎩j, 0√ √ √ √ √ t>⎧1, 0⎪符号sgn(t)=⎨0, 0t= ⎪−1, 0t<⎩冲激延时δ(t−t0) 余弦cos(ω0t) 正弦sin(ω0t) √ √ δ(t+t0)+δ(t−t0) 复指数信号ejω0t2πδ(ω−ω0) 2cos(t0ω) j2sin(t0ω) 低通G2ω(ω)=⎨cδ(t+t0)−δ(t−t0) 抽样脉冲⎧t<τ/2⎪1, 门脉冲Gτ(t)=⎨t≥τ2⎪⎩0, /ωτ2) ωcπSa(ωct) ⎧⎪1, ω<ωc⎪⎩0, ω≥ωc√ 三角f(t)=⎨⎧⎪1−tτ,t<τ⎪⎩0, t≥ττSa2(ωτ2) ωc2πSa2(ωct2) ⎧⎪1−ωωc,ω<ωcF(ω)=⎨⎪⎩0, ω≥ωc √ √ √ √ √ √ √ √ 单边指数e−atu(t),a>0 双边指数e−at1 a+jω2a a+ω221 τ−jt2πe−τωu(ω),τ>0 √,a>0 τt+τ22 πe−τω,τ>0 e−atcos(ω0t)u(t),a>0 a+jω 2(a+jω)2+ω0 1,τ>0 (τ−jt)2 2πωe−τωu(ω) e−atsin(ω0t)u(t),a>0 指数脉冲te−atu(t),a>0 ω0 2(a+jω)2+ω01 (a+jω)21 (a+jω)k+∞+∞111tk−1e−atu(t),a>0 (k−1)!时域周期冲激序列δT1(t)=t−()2 n=−∞∑δ(t−nT)↔ω∑δ(ω−nω)=δω(ω)频域周期冲激序列 n=−∞1钟形脉冲eτ 2⎦钟形脉冲πτeτ⎡Sa2⎢⎣−(ωτ2)2 ,ω=nω1 ττ⎤矩形调幅cosω0t⎡⎢u(t+)−u(t−)⎥⎣2+∞(ω+ω0)τ(ω−ω0)τ⎤+Sa⎥22⎦+∞f(t)=n=−∞∑F(nω1)ejnω1t F(ω)=2π∑F(nω1)δ(ω−nω1),F(nω1)=1F0(ω)n=−∞T1TT⎤⎡f0(t)=f(t)⎢u(t+1)−u(t−1)⎥↔F0(ω)22⎦⎣ 连续傅里叶变换性质及其对偶关系 f(t)=1+∞F(ω)ejωtdω ∫−∞2π+∞ F(ω)=∫−∞f(t)e−jωtdt f(0)=+∞1+∞F()dωω F(0)=∫−∞f(t)dt 2π∫−∞连续傅里叶变换对 重要 名称 线性 尺度 变换 连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(ω) 名称 尺度 + 时移 互易性频移 频域 微分 频域 积分 频域 卷积 对偶的连续傅里叶变换对 连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(ω) 重要√ √ αf1(t)+βf2(t) f(at),a≠0 αF1(ω)+βF2(ω) 1ωF() aaf(t)↔F(ω) f(at−b),a≠0 1ω−jωbF()ea aa √√√√ √√ 对偶性 √ √ √ √ 时移 时域 微分 时域 积分 时域 卷积 F(t)↔2πf(−ω) f(t)ejω0t (−jt)f(t) πf(0)δ(t)+f(t) −jtF(ω−ω0) F'(ω) f(t−t0) f'(t) F(ω)e−jωt0 jωF(ω) πF(0)δ(ω)+F(ω) jωf(−1)(t)=∫f(τ)dτ −∞t∫ω−∞F(σ)dσ f(t)*h(t) F(ω)H(ω) f(t)p(t) 1F(ω)*P(ω) 2πF(ω)=R(ω)+jX(ω)实部R(ω)为偶函数虚部X(ω)为奇函数反褶 f(−t)时域反褶 F(−ω)频域反褶 F*(−ω)共轭取反 F*(ω)共轭 奇偶 虚实 性 f(t)为实函数 √ 共轭 对称 性 f*(t)共轭 f*(−t)共轭取反 fe(t)=even{f(t)}实偶 fo(t)=odd{f(t)}实奇 F(ω)=R(ω)实偶√ F(ω)=jX(ω)虚奇 希尔伯特变换 时域 抽样 帕塞瓦尔定理 F(ω)=R(ω)+jI(ω) f(t)=f(t)u(t) +∞R(ω)=I(ω)*1Ts+∞1 πωs 频域 抽样 1 F(ω)∑δ(ω−nωs)n=−∞+∞ √ √ f(t)∑δ(t−nTs) n=−∞n=−∞∑F(ω−nω) ωsn=−∞∑+∞f(t−nTs) ∫∞−∞f(t)dt=221∞ωF()dω 2π∫−∞
