第二章§3多目标线性规划

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第 3 次课

课 题 第二章 数学规划模型 §2.3 多目标规划模型 教学内容 多目标模型的建立及求解。 1.使学生掌握基本的建立多目标规划模型的方法。 2.能运用Matlab及Mathematica软件求解简单非线性规划问题。 多目标规划模型的实际应用 教学目标 教学重点 教学难点 多目标模型的理论讲解 双语教学Multiple objective Programming 多目标规划 内容、安排 subject to 约束 教学手段、措施 作业、后记 以板演为主,多媒体教学及课堂讨论为辅. 课后作业P43,45 教学过程及教学设计 §2.3多目标规划模型 备注 一.多目标规划模型的一般形式为 min(f1(x),f2(x),...,fp(x))Tgi(x)0(i1,2,...,m) s.t.hj(x)0(j1,2,...,l)称之为多目标规划问题的数学模型。 若记 fxf1x,f2x,,fpx12mTgxgx,gx,,gxTnThxh1x,h2x,,hlxRxEgx0,hx0则上述模型可简记为 VP minfxRx

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二.模型示范 例1、投资收益和风险问题（这是全国大学生数学建模竞赛的A题）。市场上有n种si(i1,...,n)资产（股票、债券、……） 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务分析人员对Si种资产进行评估，估算在这一时期内购买Si有平均收益率为ri ，并预测出购买Si的损失率为qi。考虑到投资分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中的最大一个风险来度量。 购买Si要付交易费，费率为pi,并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0,且既无交易费又无风险（r05%）。 （1）已知n4时的相关数据如下： Si ri（%） qi（%） S28 2.5 1 pi（%） 1 2 4.5 6.5 ui（元） 103 198 52 40 S2 S3 S4 21 23 25 1.5 5.5 2.6 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用以下数据进行计算。 Si ri（%） qi（%） pi（%） ui（元） ui（元） S1` S2 S3 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15 42 54 60 42 1.2 39 68 33.43 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23 2.1 3.2 6.0 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6 181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15

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建模过程: 1. 模型的假设及符号说明 （1）模型的假设 iii①在一个时期内所给出的 保持不变。 r,q,p②在一个时间内所购买的各种资产（如股票、证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再卖出。 ③每种投资是否收益是相互独立的。 ④在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易费。 （2）符号说明 ：公司现有投资总金额； M（元）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0表示存入银行）；Si（i0,1,,n）（i0,1,,n）：xi（i0,1,,n）:公司购买Si金额； ri（i0,1,,n）：公司购买Si的平均收益率； qi(i0,1,,n)：公司购买Si的平均损失率； pi(i0,1,,n)：公司购买Si超过ui时所付交易费率。 设购买Si的金额为xi，所付的交易费ci(xi),令c0(x0)0. 0ci(xi)piuipxiixi00xiuixiui(i1~n) 投资额M相当大，所以总可以假定对每个Si的投资xi ≥ui,这时（1）式可简化为 ci(xi)pixi对Si投资的净收益 Ri(xi)rixici(xi)(ripi)xi （3） 对Si投资的风险 Qi(xi)qixi （4） 对Si投资所需资金（投资金额xi与所需的手续费ci(xi)之和）即 fi(xi)xici(xi)(1pi)xi (5) (i0~n) 当购买Si的金额为xi（i0,1,,n），投资组合x(x0,x1,,xn)的净收益总额 n R(x)R(x) （6） iii01in整体风险：Q(x)maxQi(xi) （7） 资金约束： n F(x) i0fi(xi)M （8）

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2.数学模型 ①为使净收益总额R（x）尽可能大，而整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数 学模型可归为多目标规划模型，即 R(x)max Q(x)min （9） s.tF(x)M x0 ②假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为ρ，则模型（9）可转化为： Q(x)(1)R(x)minF(x)M s.t （10） x0③将总收益R(x)与整体风险Q(x)相比，则模型（9）可化为： max s.tR(x)Q(x)F(x)M (11) x0

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