例谈“一题多解”与“多题一解”之争

【摘要】在高中数学教学中贯彻“一题多解”与“多题一解”的解题思想，其本质作用都是培养学生的数学思维，在日常教学中应教学生掌握基本的解题模式和方法，形成必要的解题技能，使其掌握一定的探索数学问题的工具。

【关键词】一题多解；多题一解；数学思维

“一题多解”与“多题一解”是培养学生数学思维能力的两个重要途径。“一题多解”是同一个问题用不同的数学知识来解答，即通过对同一题目从不同角度多次思维，成功地进行知识的应用与迁移，从而获得解题的最佳方案。“多题一解”是用一种数学知识解决不同的数学问题，即学生做了同一知识点的许多习题后，对题目加以归纳、提炼、挖掘其本质特征，以达到事半功倍的效果。

一、应用“一题多解”培养学生的发散性思维，提高学生分析问题的能力。 例1．袋中有3只红球，5只白球，现在把球随机地一只一只摸出来，摸出来后不放回，试用几种不同的方法求第4次摸出的球是红球的概率。

方法一：将3只红球和5只白球都看做是不同的，并把所有的球都一一摸出依次

8排成一排，每一种排法作为一个基本事件，那么基本事件的总数为nA8，其中第4

17C3A73个球是红球的排法数为mCA,所以P。 88A81377方法二：仍把8只球都看做互不相同的，但我们仅将前4次摸出的球依次排成一

排，每种排法作为一个基本事件，那么基本事件的总数为nA84。其中第4个球是红

13C3A73球的排法数，即包含的基本事件数为mCA,所以P。 48A81337方法三：对同色球不加区别，即认为3只红球都是相同的，5只白球也都是相同

的，把所有的球一一摸出排成一排，每种排法作为一个基本事件，则基本事件总数为

87A8m3A7P。 。其中第4个球是红球所含的基本事件为，所以n3m255n8A2A5A3A5方法四：只考虑第4次摸出的球的每一种可能作为基本事件，那么基本事件总数

为n=3+5=8,而摸出红球的基本事件为m=3，所以P3。 8二、应用“多题一解”培养学生的收敛性思维，提高学生的归纳问题的能力。 例2．5男5女排成一排，要求男女相间，共有多少种排法？

5解答：先对5男进行全排列，有A5种排法，此时他们产生6个空隙，将5女依次55插入，以左端开始插入，有A5种插法，从右端插入，也有A5种插法，所以共有552xA5xA5=28800种排法。

例3．某中学从高中7个班中选出12名学生组成代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表队中每班至少有1人,参加的选法有多少种？

解答：由于代表队之间无差别，所以将12名无差别的代表队排成一排，产生11个空隙（除去首尾的2个空隙），在这11个空隙上选出6个插入“闸板”，就完成了名

6额的分配，共有C11=462种选法。

例4．3个人坐成一排8个座位上，则每人在左、在两边恰好都有空位的概率是多

少？

3解答：先让3个人连同座位离开后，插入5个空座位形成的4个空隙中，共有A43A41种情况，所以，所求的概率为P3。

A814例5．设有9个球和编号为1、2、3的3个盒子，现将这9个球放入这3个盒子内，要求每个盒子内放的球数不得少于其盒子的编号，问一共有多少种不同的放法？

解答：设X1,X2,X3分别为放在1号盒、2号盒、3号盒内的球数，则根据题意得： X1X2X39

X11 ①

X21 X31

111设X1X1，X2X2-1，X3X3-2，则有

111 X1X2X36

1 X11 ②

1 X21

1 X31

3方程①与②具有相同的解的个数，而方程②只有C5=10组解（方法参照例3），所以，

共有10种不同的放法。

以上四道题目，虽内容各有不同，但在解答时都采用了同一种放法——插空法。 数学思维所具有的显著品质是数学思维的深刻性，具体指“思维活动的抽象程度和逻辑水平，反映思维活动的广度和深度，一方面表现为洞察对象本质以及揭示对象间的相互关系，能够抓住问题的本质和规律，对问题进行深入细致的分析。另一方面，又表现为思路开阔，能够从多方面、多角度地分析问题和解决问题。”这一段论述，已将“一题多解”与“多题一解”划归到数学思维的同一品质当中去了，因此他们是同

一问题不可分割的两个方面，争论他们谁优谁劣根本没有任何意义。作为教师应在数学教学中使学生学好基础知识，掌握基本的解题模式和方法，形成必要的解题技能，使学生掌握一定的探索数学问题的工具。