浙江省嘉兴市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

一､选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知

AB,AC,B2,0,1,9,C1,3,6,9B. {1,9}

,则集合A可以为( )C. {2,0}

D. {2,3}

A. {1,3}【答案】B【解析】【分析】

根据题意集合A是集合B与C的交集的子集，判断选项即可.【详解】由题：

B2,0,1,9,C1,3,6,9，

BC1,9AB,AC，即ABC.

故选：B

【点睛】此题考查求集合的交集，判断集合的包含关系，关键在于读懂题目所给的集合关系.

2.已知正方形ABCD的边长为1,则A. 2【答案】C【解析】【分析】

正方形中根据向量的加法法则

B. 3

ABAD=( )

C. 2D. 22ABADAC，即可得解.

【详解】由题正方形ABCD的边长为1,根据向量加法法则，

ABADAC2故选：C

.【点睛】此题考查向量加法的平行四边形法则，根据加法法则求出向量之和，再求模长.3.已知点

Psin,tan在第二象限，则为（ ）

A. 第一象限【答案】C【解析】【分析】

B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

根据点的象限，判断对应坐标的符号，结合角的终边和三角函数的符号进行判断即可．【详解】∵点

Psin,tan在第二象限，∴sin0，且tan0，

即第三象限角，故选C．

【点睛】本题主要考查三角函数值符号的应用，根据点的坐标符号以及三角函数的符号与象限的关系是解决本题的关键．

4.设函数A. (0,1)

fx1xRx21,则它的值域为( )

B. (0,2)

C. (1,+∞)

D. (2,+∞)

【答案】A【解析】【分析】

根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解.【详解】由题：xR，

2x0,，

2x11,，

10,1x所以21fx故选：A

【点睛】此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域.

1xR的0,12x1值域为().

a23,b45.已知平面向量a,b满足,且a,b的夹角为30°,则( )

aabbabbabA.

aabB.

C.

D.

【答案】D【解析】

【分析】

22根据向量的模长和夹角关系，依次求出a12,b16,ab12，即可判断四个选项.

【详解】所以

2222aa12,bb16,ababcos30122aabaab24，

，babbab4，aabaab0aab，.

222babbab28，

故选：D

【点睛】此题考查求向量的数量积，根据数量积判断向量是否垂直，关键在于准确计算，熟练掌握数量积的求法.

fxsinx4,则fx( )6.函数

0,A. 在2上单调递增37,44上单调递增C. 在

【答案】D【解析】【分析】

3,B. 在44上单调递增

57,44上单调递增D. 在

fxsinx4的增区间即可判定.求出

fxsinx4，【详解】由题

2k令

2x42k2,kZ，

2k得：

3x2k,kZ44，

3fxsinx2k,2k,kZ4的增区间为44即，30,,所以函数在2上先增后减， 在44上单调递减，

3757,,4444上单调递增.在上先减后增，在

故选：D

【点睛】此题考查三角函数单调性的判断，准确求出函数的增区间，逐个讨论其单调性.7.函数

fx的图象如图所示,则它的解析式可能是( )

x21fxx2A.

C.

B. D.

fx2xx1fxlnxfxxex1【答案】B【解析】【分析】

根据定义域排除C，求出

f1的值，可以排除D，考虑

f100排除A.

【详解】根据函数图象得定义域为R，所以C不合题意；

D选项，计算f1e1，不符合函数图象；

对于A选项，

f10099992100与函数图象不一致；

B选项符合函数图象特征.

故选：B

【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.

ycos4x3的图象,可以将函数ysin4x的图象( )8.为了得到函数

5A. 向左平移24个单位

5C. 向左移动6个单位【答案】A【解析】【分析】

5B. 向右平移24个单位

5D. 向右平移6个单位

ycos4xsin4x332，根据平移法则即可得解.根据诱导公式

5ycos4xsin4xsin4x3326【详解】由题函数可以变形

，

5554624，为了得到它的图像，可以将函数ysin4x的图象向左平移24个单位.

故选：A

【点睛】此题考查函数的平移，需要注意在同名三角函数之间进行平移，不同函数名需用诱导公式变形，再根据平移法则得解.9.已知

OAOB1,AOB60,OCOAOB,其中实数,满足12,

0,0,则点C所形成的平面区域的面积为( )

33B. 43C. 23D. 4A. 3【答案】B【解析】【分析】

作出图形，根据向量共线定理及几何意义确定点C所形成的平面区域，即可求出面积.【详解】由题：

OAOB1,AOB60,OCOAOBOP2OA,OQ2OB，OC与线段AB交于D，设OCxOD，如图：

,作

根据平面向量共线定理有ODmOAnOB,mn1，OCxODxmOAxnOB,mn1OCOAOB，所以xm,uxn，

OCOAOB，0,0，所以点C在图形QOP内部区域，

12，即1xmxn2，

即1x2，OCxOD，所以点C所在区域为梯形APQB区域，

1133SAPQBSOPQSOAB22sin6011sin60224其面积

故选：B

【点睛】此题考查平面向量的综合应用，涉及共线定理，线性运算，综合性比较强.

10.若不等式

xxabcos0232B. 3对

x1,3恒成立,则ab=( )

1A. 3【答案】A【解析】【分析】

5C. 67D. 3不等式

xxabcos023cosxx1,3x1,33的2对恒成立,即时

xab0的根，即可求解.

正负情况与

xab的正负情况一致，得出

xabcosx230x1,3【详解】由题：不等式对恒成立,

1x1,cosx0xab033时，2当，所以，17x,cosx0xab0333时，2当，所以，7x,3cosx0xab033时，2当，所以，

x所以

71x3和3时，xab0，

73ab01ab04a,b133即，解得：，

a检验当

4,b13时，

x0，

411771x1,x,x,333大于等于0，在33时，小于等于0，在3大于等于在

ab所以故选：A

13.

【点睛】此题考查根据不等式恒成立求参数的值，将问题转化为方程的根的问题，涉及转化与化归思想，综合性强.二､填空题:11.若

alog23,blog32,则ab=______,lgalgb=______.

【答案】 (1). 1 (2). 0【解析】【分析】

①根据换底公式计算即可得解；

②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.【详解】①由题：

alog23,blog32,

ablog23log32log23则

log221log23；

②由①可得：lgalgblgablg10.故答案为：①1，②0

【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.

ex1,x1fxlnx,x1则f0的值为______；若fa2,则a=______.12.设函数

【答案】 (1). 0 (2). e【解析】【分析】

①根据分段函数解析式

2f0e01，即可得解；

②结合分段函数每段取值范围分析，

fa2，a不可能小于1.

ex1,x1fx0f0e10lnx,x1【详解】①由题：函数，则；

②根据函数解析式，当x1时，e1e12，所以

xfa2，a不可能小于1，

，即lna2，

所以a1，所以ae.

2fa2故答案为：①0，②e2【点睛】此题考查分段函数，根据分段函数求函数值，根据函数值求自变量的取值，关键在于准确考虑每段解析式所对应的自变量取值范围.13.已知向量

OAk,12,OB4,5,OCk,10,若

ABBC,则k=______；若

A,B,C三点共线,则k=______.

32【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】【分析】

ABBC①用坐标表示出向量AB,BC，根据，即可求解；

②A,B,C三点共线,即向量AB,BC共线即可.

【详解】①由题：向量

OAk,12,OB4,5,OCk,10，

AB4k,7,BCk4,5所以ABBC，平方化简得：

,

4kk=2494k2252416k解得：

AB4k,7,BCk4,5②A,B,C三点共线,即向量AB,BC共线，

所以

32；

54k7k4k23.

，

解得：

32故答案为：①2，②3【点睛】此题考查平面向量的坐标表示，根据模长相等求参数的值，根据向量共线求参数的值解决三点共线问题.

sin3cos14.若tan2,则sincos=______,sincos=______.

2【答案】 (1). 5 (2). 5【解析】【分析】

①分子分母同时除以cos即可得解；

sincos②

sincossin2cos2，分子分母同时除以cos2即可得解.

【详解】①由题：tan2,

sin3costan35tan1则sincos，sincos②

sincostan2sin2cos2tan215.

2故答案为：①5，②5【点睛】此题考查同角三角函数的基本关系，根据正切求值，关键在于正确处理分子分母齐次式便于解题.

2x,x0,fx2x2x,x0,若ffa30,则实数a的取值范围是______.15.设函数

3,2【答案】

【解析】【分析】

将不等式进行转化，令

fat，

ft30即

ft3，得出t≤3，再求解

fa3.

【详解】作出函数图象如图所示：

求得： 令

fx3，

仅有唯一解x3，

即

fx3x仅有唯一解

32，

fatft30a32.

ft3，得t≤3，

解

fa3得：

3,2故答案为：

【点睛】此题考查根据函数解析式解不等式，涉及分段函数和复合函数，利用换元法结合图象处理问题，体现数形结合思想.

OD2,OE4,DOE60,AB3AD,AC3AE16.如图所示,,则BCOE=______.

【答案】36【解析】【分析】

根据向量的线性运算法则，

BCACAB3OEODBCOE3OEODOE，

【详解】OD2,OE4,DOE60,AB3AD,AC3AE,

即可计算求解.

BCACAB3AE3AD3DE3OEODBCOE3OEODOE23OE3ODOE316324cos60481236.

故答案为：36

【点睛】此题考查平面向量的基本运算，涉及向量的线性运算，根据关系求数量积.17.设

fxxxax,对任意的实数

a1,2,关于x的方程

fxtfa共有三个

不相等的实数根,则实数t的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】

0,1a1a1a1a1aa22时,讨论函数的单调性，结合根的个数列分类讨论当2时, 当2出不等式组，即可求解.

2xa1x,xafxxxax2,tfataxa1x,xa【详解】,

a1a1a22(1)当时,即1a2，

a1a1,,afx2上单调递增,在2上单调递减,在a,上单调递增,则在a22a1a1a1f,faa4且22,

关于x的方程

2fxtfa总有三个不相等的实数根,

a22a1ata4只要对1a2恒成立,解得0t1；

a1a1a2时,即1a1,(2)当2a1a1a1a1,,,fx2上单调递增,在22上单调递减,在2上单调递增,则在

a22a1a1a1f,224且关于x的方程

2a22a1a1a1f224,

2fxtfa总有三个不相等的实数根,

a22a1a22a1ta44只要对1a1恒成立,

1104成立,此时tR①当a0时,411a2ata44②当0a1时,恒成立,此时0t111a2a2ata44③当1a0时,恒成立,此时0t1a2综合①②③得0t1由(1)(2)可知0t1故答案为：0t1【点睛】此题考查分段函数，根据函数的单调性分析根的个数问题，关键在于分类讨论.三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤18.已知集合

Axx24x120,Bx2ax2a2.

(1)若a1,求(2)若

AðRB；

AB4,6,求实数a的值.

【答案】(1)【解析】【分析】

x4x6；(2)2.

（1）解出一元二次不等式，根据集合的交并补计算求解；（2）根据并集关系，讨论参数的取值范围.

2【详解】(1)当a1时,解不等式x4x120得：2x6Bx2x4,Ax2x6所以所以

,

ðRBx|x2或

x4AðRBx4x6(2)若

AB4,6,

2a4a222a262a2，则,解得a2.

【点睛】此题考查集合的交并补基本运算，根据集合的并集求参数的范围，属于简单题目.19.已知平面向量

a2,4,b3,5,c2,6(1)若axbyc,求xy的值；

(2)若akc在ab上的投影是2,求实数k.

.

11【答案】(1)14；(2)2.【解析】【分析】

xbyc3x2y,5x6y（1）根据axbyc，，列方程组求解即可；

akcab2ab代入求解即可.

,所以

（2）根据投影公式【详解】(1)因为

a2,4,b3,5,c2,6xbyc3x2y,5x6y,

5x73x2y2y15x6y4,解得14,又axbyc,所以xy所以(2)由题意知所以

1114；

ab1,1,akc22k,46kab2,akcab22k46k4k6,

,

因为akc在ab上的投影是2,所以

akcab4k622ab,

解得k2.

【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示，涉及向量投影问题，关键在于熟练掌握计算法则和相关概念及公式，准确计算，属于中档题.

20.已知函数

fxa2x1xRx2是偶函数.

(1)求a的值；(2)当

x0,时,判断函数

fx的单调性,并证明你的结论.

【答案】(1)1；(2)【解析】

fx单调递增,证明见解析.

【分析】

（1）根据偶函数关系结合

fxfx求解；

（2）根据定义法讨论单调性任取

0x1x2,讨论fx1fx2的符号.

1xRx2是偶函数,

【详解】(1)因为

fxa2x所以

fxfxx2a1a2x,即

11xa22x2x,

化简得

12x0,

所以a1；

(2)结论:任取

fx2x12x在(0,+∞)单调递增.证明如下：

0x1x2,则

x1x2x1x2x2x1222122x1x222x1x2222x1x211fx1fx22x1x12x2x222x1x2x1x20xx220,210,所以2x1x21012因为,所以

2所以

x12x22x1x212x1x20,即

fx1fx2所以

fx2x12x在(0,+∞)单调递增.

【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的值，根据定义法讨论函数的单调性，对计算能力要求比较高.

fxAsinxA0,00,3321.已知函数的图象经过点,且图象上相邻两

条对称轴之间的距离为2.(1)求函数

fx的解析式及它的单调递增区间；

(2)是否存在实数m,使得不等式

fm2mfm1成立?若存在,请求出m的

22取值范围；若不存在,请说明理由.

51fx2sinx4k,4kkZ3,332【答案】(1)；(2)存在,

1m12.

【解析】【分析】

（1）根据函数经过的点求A，根据对称轴求周期得函数的单调性求函数的增区间；

12，即可得到函数解析式，结合正弦

m22m0222m2m0,1,m10,1m10（2）根据得0m1,所以，结合函

数的单调性，

2fx在

[0,1]上单调递增,

2fm22mfm21等价于

m2mm1,即可求解.

fxAsinxA0,00,33【详解】(1)因为函数的图象经过点,

f0Asin33所以

,解得A2又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为2得T4,

T又由

2,得

11fx2sinx322,所以

结合函数ysinx的单调性,

令

22k514kx4kx2kkZ3232,解得3,

54k,4kkZfx3所以函数的单调递增区间是3；m22m02m10(2)由题意知,所以0m1,

所以m22m0,1,m210,154k,4kkZfx33由函数的单调递增区间是知,

fx在

[0,1]上单调递增,

2222又

fm2mfm1,所以m2mm1,解得

m121m10m12结合,得

【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据曲线上的点和对称轴求解析式，讨论单调性，通过单调性比较函数值的大小求解不等式，综合性强.

fx22.已知函数(1)若a1,求方程(2)若函数

1axa,x1,x1.

的解集；

f(x)=0yfx恰有两个不同的零点

x1,x2x1x2,求

x1x2的值.

1515553aa2；(2)当2时,25.2时,2；当【答案】(1)【解析】【分析】

2xx1x1（1）分类讨论解方程即可；

f(x)=0gx转化为讨论函数

（2）将求解.

1a,hxxax1的公共点问题,分类讨论

【详解】(1)当a1时,

fx12x1x10x1x1x1,所以

1x2x22xx215x1x1x2或x所以x1或x1解得

,152fx=0；所以当a1时,方程()的解集为11axagxa,hxxaf(x)=0x1x1(2)由题意令得,记,

作函数

gx与

hx的图象,

由函数

yfx在定义域(1,+∞)内恰有两个不同的零点

x1,x2x1x2,

可知a0不合题意,故a0如图所示,要使函数

yfx恰有两个不同的零点,则应有直线yxa与函数

gx11a1,0yxax1a的图象相切或者直线经过点gx1ax1的图象相切时,

(i)当直线yxa与函数

yxa1yax22a1x2a10yx1联立方程,消去得,

由0得

2a1242a10a,所以

13a2(舍去)或215313x1yxyx22,联立x12,解得2此时2,直线

所以

x1x2552；

111,001aa时,有a(ii)当直线yxa经过点,

所以aa10,得

2a152yx此时直线方程为

1515,x12215yx235y151x2y2x12,联立,消去解得

所以

x1x225.

a综上所述,当

15553ax1x22时,x1x225.2；当2时,

【点睛】此题考查函数零点与方程的根的问题，利用分类讨论求解绝对值方程，将函数零点问题转化为两个函数图象公共点的问题求解，涉及分类讨论，数形结合，转化与化归思想.