一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知
AB,AC,B2,0,1,9,C1,3,6,9B. {1,9}
,则集合A可以为( )C. {2,0}
D. {2,3}
A. {1,3}【答案】B【解析】【分析】
根据题意集合A是集合B与C的交集的子集,判断选项即可.【详解】由题:
B2,0,1,9,C1,3,6,9,
BC1,9AB,AC,即ABC.
故选:B
【点睛】此题考查求集合的交集,判断集合的包含关系,关键在于读懂题目所给的集合关系.
2.已知正方形ABCD的边长为1,则A. 2【答案】C【解析】【分析】
正方形中根据向量的加法法则
B. 3
ABAD=( )
C. 2D. 22ABADAC,即可得解.
【详解】由题正方形ABCD的边长为1,根据向量加法法则,
ABADAC2故选:C
.【点睛】此题考查向量加法的平行四边形法则,根据加法法则求出向量之和,再求模长.3.已知点
Psin,tan在第二象限,则为( )
A. 第一象限【答案】C【解析】【分析】
B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
根据点的象限,判断对应坐标的符号,结合角的终边和三角函数的符号进行判断即可.【详解】∵点
Psin,tan在第二象限,∴sin0,且tan0,
即第三象限角,故选C.
【点睛】本题主要考查三角函数值符号的应用,根据点的坐标符号以及三角函数的符号与象限的关系是解决本题的关键.
4.设函数A. (0,1)
fx1xRx21,则它的值域为( )
B. (0,2)
C. (1,+∞)
D. (2,+∞)
【答案】A【解析】【分析】
根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解.【详解】由题:xR,
2x0,,
2x11,,
10,1x所以21fx故选:A
【点睛】此题考查求函数值域,涉及指数函数值域,反比例型函数值域.
1xR的0,12x1值域为().
a23,b45.已知平面向量a,b满足,且a,b的夹角为30°,则( )
aabbabbabA.
aabB.
C.
D.
【答案】D【解析】
【分析】
22根据向量的模长和夹角关系,依次求出a12,b16,ab12,即可判断四个选项.
【详解】所以
2222aa12,bb16,ababcos30122aabaab24,
,babbab4,aabaab0aab,.
222babbab28,
故选:D
【点睛】此题考查求向量的数量积,根据数量积判断向量是否垂直,关键在于准确计算,熟练掌握数量积的求法.
fxsinx4,则fx( )6.函数
0,A. 在2上单调递增37,44上单调递增C. 在
【答案】D【解析】【分析】
3,B. 在44上单调递增
57,44上单调递增D. 在
fxsinx4的增区间即可判定.求出
fxsinx4,【详解】由题
2k令
2x42k2,kZ,
2k得:
3x2k,kZ44,
3fxsinx2k,2k,kZ4的增区间为44即,30,,所以函数在2上先增后减, 在44上单调递减,
3757,,4444上单调递增.在上先减后增,在
故选:D
【点睛】此题考查三角函数单调性的判断,准确求出函数的增区间,逐个讨论其单调性.7.函数
fx的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
x21fxx2A.
C.
B. D.
fx2xx1fxlnxfxxex1【答案】B【解析】【分析】
根据定义域排除C,求出
f1的值,可以排除D,考虑
f100排除A.
【详解】根据函数图象得定义域为R,所以C不合题意;
D选项,计算f1e1,不符合函数图象;
对于A选项,
f10099992100与函数图象不一致;
B选项符合函数图象特征.
故选:B
【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式,主要利用函数性质分析,常见方法为排除法.
ycos4x3的图象,可以将函数ysin4x的图象( )8.为了得到函数
5A. 向左平移24个单位
5C. 向左移动6个单位【答案】A【解析】【分析】
5B. 向右平移24个单位
5D. 向右平移6个单位
ycos4xsin4x332,根据平移法则即可得解.根据诱导公式
5ycos4xsin4xsin4x3326【详解】由题函数可以变形
,
5554624,为了得到它的图像,可以将函数ysin4x的图象向左平移24个单位.
故选:A
【点睛】此题考查函数的平移,需要注意在同名三角函数之间进行平移,不同函数名需用诱导公式变形,再根据平移法则得解.9.已知
OAOB1,AOB60,OCOAOB,其中实数,满足12,
0,0,则点C所形成的平面区域的面积为( )
33B. 43C. 23D. 4A. 3【答案】B【解析】【分析】
作出图形,根据向量共线定理及几何意义确定点C所形成的平面区域,即可求出面积.【详解】由题:
OAOB1,AOB60,OCOAOBOP2OA,OQ2OB,OC与线段AB交于D,设OCxOD,如图:
,作
根据平面向量共线定理有ODmOAnOB,mn1,OCxODxmOAxnOB,mn1OCOAOB,所以xm,uxn,
OCOAOB,0,0,所以点C在图形QOP内部区域,
12,即1xmxn2,
即1x2,OCxOD,所以点C所在区域为梯形APQB区域,
1133SAPQBSOPQSOAB22sin6011sin60224其面积
故选:B
【点睛】此题考查平面向量的综合应用,涉及共线定理,线性运算,综合性比较强.
10.若不等式
xxabcos0232B. 3对
x1,3恒成立,则ab=( )
1A. 3【答案】A【解析】【分析】
5C. 67D. 3不等式
xxabcos023cosxx1,3x1,33的2对恒成立,即时
xab0的根,即可求解.
正负情况与
xab的正负情况一致,得出
xabcosx230x1,3【详解】由题:不等式对恒成立,
1x1,cosx0xab033时,2当,所以,17x,cosx0xab0333时,2当,所以,7x,3cosx0xab033时,2当,所以,
x所以
71x3和3时,xab0,
73ab01ab04a,b133即,解得:,
a检验当
4,b13时,
x0,
411771x1,x,x,333大于等于0,在33时,小于等于0,在3大于等于在
ab所以故选:A
13.
【点睛】此题考查根据不等式恒成立求参数的值,将问题转化为方程的根的问题,涉及转化与化归思想,综合性强.二、填空题:11.若
alog23,blog32,则ab=______,lgalgb=______.
【答案】 (1). 1 (2). 0【解析】【分析】
①根据换底公式计算即可得解;
②根据同底对数加法法则,结合①的结果即可求解.【详解】①由题:
alog23,blog32,
ablog23log32log23则
log221log23;
②由①可得:lgalgblgablg10.故答案为:①1,②0
【点睛】此题考查对数的基本运算,涉及换底公式和同底对数加法运算,属于基础题目.
ex1,x1fxlnx,x1则f0的值为______;若fa2,则a=______.12.设函数
【答案】 (1). 0 (2). e【解析】【分析】
①根据分段函数解析式
2f0e01,即可得解;
②结合分段函数每段取值范围分析,
fa2,a不可能小于1.
ex1,x1fx0f0e10lnx,x1【详解】①由题:函数,则;
②根据函数解析式,当x1时,e1e12,所以
xfa2,a不可能小于1,
,即lna2,
所以a1,所以ae.
2fa2故答案为:①0,②e2【点睛】此题考查分段函数,根据分段函数求函数值,根据函数值求自变量的取值,关键在于准确考虑每段解析式所对应的自变量取值范围.13.已知向量
OAk,12,OB4,5,OCk,10,若
ABBC,则k=______;若
A,B,C三点共线,则k=______.
32【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】【分析】
ABBC①用坐标表示出向量AB,BC,根据,即可求解;
②A,B,C三点共线,即向量AB,BC共线即可.
【详解】①由题:向量
OAk,12,OB4,5,OCk,10,
AB4k,7,BCk4,5所以ABBC,平方化简得:
,
4kk=2494k2252416k解得:
AB4k,7,BCk4,5②A,B,C三点共线,即向量AB,BC共线,
所以
32;
54k7k4k23.
,
解得:
32故答案为:①2,②3【点睛】此题考查平面向量的坐标表示,根据模长相等求参数的值,根据向量共线求参数的值解决三点共线问题.
sin3cos14.若tan2,则sincos=______,sincos=______.
2【答案】 (1). 5 (2). 5【解析】【分析】
①分子分母同时除以cos即可得解;
sincos②
sincossin2cos2,分子分母同时除以cos2即可得解.
【详解】①由题:tan2,
sin3costan35tan1则sincos,sincos②
sincostan2sin2cos2tan215.
2故答案为:①5,②5【点睛】此题考查同角三角函数的基本关系,根据正切求值,关键在于正确处理分子分母齐次式便于解题.
2x,x0,fx2x2x,x0,若ffa30,则实数a的取值范围是______.15.设函数
3,2【答案】
【解析】【分析】
将不等式进行转化,令
fat,
ft30即
ft3,得出t≤3,再求解
fa3.
【详解】作出函数图象如图所示:
求得: 令
fx3,
仅有唯一解x3,
即
fx3x仅有唯一解
32,
fatft30a32.
ft3,得t≤3,
解
fa3得:
3,2故答案为:
【点睛】此题考查根据函数解析式解不等式,涉及分段函数和复合函数,利用换元法结合图象处理问题,体现数形结合思想.
OD2,OE4,DOE60,AB3AD,AC3AE16.如图所示,,则BCOE=______.
【答案】36【解析】【分析】
根据向量的线性运算法则,
BCACAB3OEODBCOE3OEODOE,
【详解】OD2,OE4,DOE60,AB3AD,AC3AE,
即可计算求解.
BCACAB3AE3AD3DE3OEODBCOE3OEODOE23OE3ODOE316324cos60481236.
故答案为:36
【点睛】此题考查平面向量的基本运算,涉及向量的线性运算,根据关系求数量积.17.设
fxxxax,对任意的实数
a1,2,关于x的方程
fxtfa共有三个
不相等的实数根,则实数t的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】
0,1a1a1a1a1aa22时,讨论函数的单调性,结合根的个数列分类讨论当2时, 当2出不等式组,即可求解.
2xa1x,xafxxxax2,tfataxa1x,xa【详解】,
a1a1a22(1)当时,即1a2,
a1a1,,afx2上单调递增,在2上单调递减,在a,上单调递增,则在a22a1a1a1f,faa4且22,
关于x的方程
2fxtfa总有三个不相等的实数根,
a22a1ata4只要对1a2恒成立,解得0t1;
a1a1a2时,即1a1,(2)当2a1a1a1a1,,,fx2上单调递增,在22上单调递减,在2上单调递增,则在
a22a1a1a1f,224且关于x的方程
2a22a1a1a1f224,
2fxtfa总有三个不相等的实数根,
a22a1a22a1ta44只要对1a1恒成立,
1104成立,此时tR①当a0时,411a2ata44②当0a1时,恒成立,此时0t111a2a2ata44③当1a0时,恒成立,此时0t1a2综合①②③得0t1由(1)(2)可知0t1故答案为:0t1【点睛】此题考查分段函数,根据函数的单调性分析根的个数问题,关键在于分类讨论.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.已知集合
Axx24x120,Bx2ax2a2.
(1)若a1,求(2)若
AðRB;
AB4,6,求实数a的值.
【答案】(1)【解析】【分析】
x4x6;(2)2.
(1)解出一元二次不等式,根据集合的交并补计算求解;(2)根据并集关系,讨论参数的取值范围.
2【详解】(1)当a1时,解不等式x4x120得:2x6Bx2x4,Ax2x6所以所以
,
ðRBx|x2或
x4AðRBx4x6(2)若
AB4,6,
2a4a222a262a2,则,解得a2.
【点睛】此题考查集合的交并补基本运算,根据集合的并集求参数的范围,属于简单题目.19.已知平面向量
a2,4,b3,5,c2,6(1)若axbyc,求xy的值;
(2)若akc在ab上的投影是2,求实数k.
.
11【答案】(1)14;(2)2.【解析】【分析】
xbyc3x2y,5x6y(1)根据axbyc,,列方程组求解即可;
akcab2ab代入求解即可.
,所以
(2)根据投影公式【详解】(1)因为
a2,4,b3,5,c2,6xbyc3x2y,5x6y,
5x73x2y2y15x6y4,解得14,又axbyc,所以xy所以(2)由题意知所以
1114;
ab1,1,akc22k,46kab2,akcab22k46k4k6,
,
因为akc在ab上的投影是2,所以
akcab4k622ab,
解得k2.
【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示,涉及向量投影问题,关键在于熟练掌握计算法则和相关概念及公式,准确计算,属于中档题.
20.已知函数
fxa2x1xRx2是偶函数.
(1)求a的值;(2)当
x0,时,判断函数
fx的单调性,并证明你的结论.
【答案】(1)1;(2)【解析】
fx单调递增,证明见解析.
【分析】
(1)根据偶函数关系结合
fxfx求解;
(2)根据定义法讨论单调性任取
0x1x2,讨论fx1fx2的符号.
1xRx2是偶函数,
【详解】(1)因为
fxa2x所以
fxfxx2a1a2x,即
11xa22x2x,
化简得
12x0,
所以a1;
(2)结论:任取
fx2x12x在(0,+∞)单调递增.证明如下:
0x1x2,则
x1x2x1x2x2x1222122x1x222x1x2222x1x211fx1fx22x1x12x2x222x1x2x1x20xx220,210,所以2x1x21012因为,所以
2所以
x12x22x1x212x1x20,即
fx1fx2所以
fx2x12x在(0,+∞)单调递增.
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的值,根据定义法讨论函数的单调性,对计算能力要求比较高.
fxAsinxA0,00,3321.已知函数的图象经过点,且图象上相邻两
条对称轴之间的距离为2.(1)求函数
fx的解析式及它的单调递增区间;
(2)是否存在实数m,使得不等式
fm2mfm1成立?若存在,请求出m的
22取值范围;若不存在,请说明理由.
51fx2sinx4k,4kkZ3,332【答案】(1);(2)存在,
1m12.
【解析】【分析】
(1)根据函数经过的点求A,根据对称轴求周期得函数的单调性求函数的增区间;
12,即可得到函数解析式,结合正弦
m22m0222m2m0,1,m10,1m10(2)根据得0m1,所以,结合函
数的单调性,
2fx在
[0,1]上单调递增,
2fm22mfm21等价于
m2mm1,即可求解.
fxAsinxA0,00,33【详解】(1)因为函数的图象经过点,
f0Asin33所以
,解得A2又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为2得T4,
T又由
2,得
11fx2sinx322,所以
结合函数ysinx的单调性,
令
22k514kx4kx2kkZ3232,解得3,
54k,4kkZfx3所以函数的单调递增区间是3;m22m02m10(2)由题意知,所以0m1,
所以m22m0,1,m210,154k,4kkZfx33由函数的单调递增区间是知,
fx在
[0,1]上单调递增,
2222又
fm2mfm1,所以m2mm1,解得
m121m10m12结合,得
【点睛】此题考查三角函数的综合应用,根据曲线上的点和对称轴求解析式,讨论单调性,通过单调性比较函数值的大小求解不等式,综合性强.
fx22.已知函数(1)若a1,求方程(2)若函数
1axa,x1,x1.
的解集;
f(x)=0yfx恰有两个不同的零点
x1,x2x1x2,求
x1x2的值.
1515553aa2;(2)当2时,25.2时,2;当【答案】(1)【解析】【分析】
2xx1x1(1)分类讨论解方程即可;
f(x)=0gx转化为讨论函数
(2)将求解.
1a,hxxax1的公共点问题,分类讨论
【详解】(1)当a1时,
fx12x1x10x1x1x1,所以
1x2x22xx215x1x1x2或x所以x1或x1解得
,152fx=0;所以当a1时,方程()的解集为11axagxa,hxxaf(x)=0x1x1(2)由题意令得,记,
作函数
gx与
hx的图象,
由函数
yfx在定义域(1,+∞)内恰有两个不同的零点
x1,x2x1x2,
可知a0不合题意,故a0如图所示,要使函数
yfx恰有两个不同的零点,则应有直线yxa与函数
gx11a1,0yxax1a的图象相切或者直线经过点gx1ax1的图象相切时,
(i)当直线yxa与函数
yxa1yax22a1x2a10yx1联立方程,消去得,
由0得
2a1242a10a,所以
13a2(舍去)或215313x1yxyx22,联立x12,解得2此时2,直线
所以
x1x2552;
111,001aa时,有a(ii)当直线yxa经过点,
所以aa10,得
2a152yx此时直线方程为
1515,x12215yx235y151x2y2x12,联立,消去解得
所以
x1x225.
a综上所述,当
15553ax1x22时,x1x225.2;当2时,
【点睛】此题考查函数零点与方程的根的问题,利用分类讨论求解绝对值方程,将函数零点问题转化为两个函数图象公共点的问题求解,涉及分类讨论,数形结合,转化与化归思想.
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