从中考中的“一线三等角”说起

变式如图2 ,点B , C,

观，明确解题的

”是一种 分

（ 接 问题的本质.&一线三D 同 条 上 \"ABE $

的数学解题 ，中考中多次出现，主提出问题、\"ACB $ \"BDE $ 90° ,］则 △ACB s #BDE.2对中考中“一线三等角”的

考查学生对核心 的掌握 以

解决问题的数学能力素养.笔者曾在文*+中专门对徐州市中考数学中的&一线三 本文再次由此

'： 分类总结,的 .梳理和分析在徐州市2010 — 2018年 连续九年的中考数学试题中,

，谈谈对数学解题 图2

1

“一线三等角”模本文中，'‘一线三 '模

有八次考查了'‘一线三等角”这一解题模型！试题以翻型专指三个直角的情况.如图 折、旋转等变换方式和常见的一次函数、二次函数和反比 函数等为背景,结合

1,点B*+在同一条直线上， 三 、等腰三 、圆、矩形、\"ABC $ \"ACE $ \"CDE $

90°（三个直角）,则#ABC s菱形、正方形等基本几何图形,借助相似（全等）三角形中 的\"一线三 ”模型对学生的数学 、 理、数学

建模、数算、直观想象、数据分析六大核心素养进彳全面考查.整理如下表1.似比F.特别地,当相似比k $ 1时,#ABC $ #CDE.表1 徐州市2010 — 2018年中考中的“一线三等角”模型年份类型题型解题考查的相关知识点以翻折为背景,考查轴对称的性质、勾股定理、梯形中位

体现的能力素养2010显线、直角三角形斜边上中线的性质以及相似三角形的判 定和“相似三角形周长之比等于相似比”的性质考查抛物线的顶点式、待定系数法求一次函数解析式、

观 运算 力和数2011隐解题利用函数表达式求交点坐标、轴对称的性质、菱形的判 定和平分面积、相似三角形的判定和性质、解一元二次

观 运算 力理 力 数 结合和方程、勾股定理和三角形的面积等20132014

显型隐型解答题考查相似三角形、全等三角形、三角形的面积以及二次 模型思想,几何直观,运算能力， 函数的图象与性质分类讨论,转化,数形结合思想模型思想,几何直观填空题以旋转为背景,考查全等三角形以及平面直角坐标系内 点的坐标符号特征把矩形和双曲线有机融合,考查反比例函数中k的几何

2015隐解题意义、平行线分线段成比例定理、轴对称的性质、相似三 角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识模型思想,几何直观,运算能力

和数2016显型解答题以翻折为背景,考查直角三角形,相似（全等）三角形的 模型思想,几何直观,运算能力， 判定、性质和勾股定理推理能力考查二次函数的图象与性质、直角三角形、勾股定理、直

2017隐解题的位 、 似三 的 定 性质以 三观 运算 力分类

和数 结合 转化的中位2018显型解答题矩形、正方形的性质,全等三角形的判定和性质以及三 模型思想,几何直观,运算能力 角形的面积，二次函数的配方或公式法求最值和函数思想分析发现,& 一线三等角”这一解题模型大致分为显 了初中数学的核心知识,问题的设置包含观察、操作、猜展的全

型和隐型两种形式,大多以解答题的 出现.试题融入 想、探究、类比、验证等,考 .古 的2019年第12期中学数学月刊作正方形CEFG,作FH丄

・33・图形中分离出“一线三等角”是解决问题的关键,其实质 就是利

函数

表示数量之间的 变化规AD,垂足为H，连结AF.(1) 求证:FH $ ED-题既有 同一条 ).•

入 的变 中，又有融入(更多的是 \"的顶点在(显

函数图象中.若三个 (2) 当AE为何值时，上时，易于找出相似三 )；若只'(隐型模△AEF的面积最大？分析问题(1)中，由

有一个或两个 ，可以构造出“一线三

上时( 的坐标，利

，利 似三 的已知条件中的矩形和正方性质求出相应的数 函数表 定理 3

- 函数 上时,不妨根到 和 的边,

似三 的对应边成比数形结合、分类讨接满足解题模型“一线三等角”，#EHF s #CDE, FH $ED ,形成

出点的坐标.在运 、转化、方程、参数等数学

解决问题时( 借助于接的 的弊观，解决问题时直奔主题.解，同 (3) 数学解题

法的恰当运用.数学解题 为数学表达和交流提供了有效途径,也对数学解题模型的思考为解答数学问题提供

出解决问题的途的工具.然 际教学中,利亚在《怎样解题》中指出，'‘一个有用的念头，也 忽视的弊端.比如,学

本

经掌握基许是个决定性的念头(

……念头有 ？

的求解方法，但题目稍加变式,就无法融会贯 时给你指出整个 建议该怎

分解题对 的应用条件理解 偏差,盲目套用解题模型从期望的是“看到

是单一的

就［通，它或多 你有一个念

?

清楚 ……，如果的“念头”是出现错误.同时，数学解题 想到

跳跃

幸运的了. ”波利亚 ”,“刺激一反应”连接的

动屏蔽了其余的信息

! ( 对解决问题起到

？数学解题

的作，定向的 辟蹊径,，什么是数学解题

中考数学试题

分的定义的教学价了学生的发展,容易形成 明显奏效时,学

定式.当解题套路 值在哪里，有何弊端？对教学有

(1) 数学解题

示？下 结合徐州市觉地“修正'

易陷入思维的障碍圈.例2 (2018年徐州中考)

数学解题 些结论性 的

是 解题教学中发现并总结出的一如图4,将 三角形纸，即在解题中总结出的基本 .它表现为ABC对折,折痕为CD.展

、平后,再将点B折叠在边AC

一种能有效解决某类型问题的技巧，是课标、教材中 别

步延伸、拓展或更直观的表述.在审题中若能快速确

上(不与A , C重合),折痕为

，可以\"- 出''解题思路.比EF,点B在AC上的对应点为

，为使学 观地辨识基本的相似 ，总结出“AM,设CD与E—交于点p,连

结pF.已知BC $ 4.(1) 若M为AC的中点，求CF的长.(2) 随着点—在边AC上取不同的位置，”“X型”“母子型”“一线三 ' ，全等(相似)三中的“双子型'，折线段之和的最值问题中的“将军饮 ”模型、& 中的“平平

”模型，平

、角平分

、角平分

三三'，圆中平 切线的① #pf—的形状是否发生变化？请说明理由；② 求#pfm的周长的取值范析 在(2)②中，由于具备条件“一线三等角”\"A

“三 '(2) 数学解题模型的教学价值数学解题 成良好的思维直观.初中阶段的解题时展开

的原$ \"EMF $ \"ACD,受到“看到什么就想到什么”的影

学生会花费大量的

蔽 余的 息

数学解题 中

有很多，它们是学

寻找或构建与之

若

的相似三修，能够缩短学生的 .顾泠沅教

的

“青浦实验”：探究问题需要有一定的 着点.• W理学家克辟蹊径极容易走入“死胡同'.实际上,设CD, MF相交于 点O ,判断#pFM的形状,只需要通过#pOM s #FOC 和 #pOF . #MCO 即可得出\"pFM $ \"ACD $ 45° , r切斯基在对中小学数学能力 中发现，数学能力强的学生& 出了问题的结构( '•(一线三'

问题的本质(

条件是这样的，能看到证明的 类型，并明显地倾向迅

有助于缩减学生的的中考彻 缩短推理的

△pFM 是 三因此,在平时的课堂教学中对待数学模型,要唤起学

问题结构和 着点，它的

生的已有认知，通过证明梳理思维过程,拓展巩固以达到 熟练应用;要明晰 的应用条件,真正理解数学解题模 型的本质;要心中要有模型,学会利用模型分析思考问题、

长度,引导学 接

数学命题中频频受到命题专家的青睐.例1 (2018年徐州中考)如图3,在矩形ABCD中，AD $4,点E在边AD上，连结CE,以CE为边向右上方解决问题，同时又不拘泥于模型.・34・（4）对教学的启示中学数学月刊/C的半径为槡,为/C上一

动2019年第12期《义务教育 要求是，能从较

标准（2011年版）》在几何方面的学习的图形中分解出基本

，并能分析（1）点B, C的坐标分别为

基本 中的基本元素 ，利 观本，挖掘 ，联想B（_____） , C（______）.⑵是否存在点/，使得#PBC

思考教学

应用.•重视课本例习题研究，积极挖掘解题模型为直角三 ？若 ，求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.数学教材中最早出现的“一线三 ”这一基

⑶（略）.分析如何引导学生联想识别模型？在问题（2）中， 并没有与条件匹配的基本

.由

本 是在八年级上册第1章“全等三 第5题（图5）,而后出 八年级下册第9章\"中心对 〕 形”例5（图6），在九年级下册第6章“图形的相

条件展开 〔,△PBC为直角三角形存在两种可能:一是点P为直角的

顶点,二是点C为 是确定的

似”第57页第5题（图7）、第59页第3题（图8）,第91页第 13题（图9）再次出现.的顶点.在第一种情况下，想到直线PB与/C相切,符合要求的点P应该有两个，由点BC

段BC的长确定，又因圆的半径是定到

值，故BP也是确定的值，此 P构建“一线三等似三角形的性质”（图”（图11）,这样“原型”出现，再 12）,问题得以解决.解决问题.同样，点C是直角顶点，构建&一线三

\\k勺xk\\。1图8 图911到

12由此可见，挖掘识别模型并展开联想对解题应用起

前面表格中的中考试题都是在课本'‘一线三等角”这

的 .如果学 到相应的问题 建立开展.当对

一基本 的框架下 变 合拓展而成的，源于课本解题活动 本无法 “原又高于课本.类似这样的 平时的课堂教学中

还有很多.古 示 在，而应充分利

本、深本

”理解透彻后，学 会不招

新的问题情境时，“原型”就本,引导学

再，变化条件或结

掌握课本基 、基本技能和，产生活跃的 ，迁移、类比、假设、转化 法的基础上对课本中的例、习题 改编、演变、拓展等

条件从静态变成动态，改变催化,问题就会顺利解决.4 结束成一个新的题 的规律，让学

考查学生的 力和灵活应变能变中考数学的命制基本都体现了课标要求下的教学导

力,从变的现象中 变的本质，从不变的本质中

到教材找题源是试题命制常用的方法.在平时的教

题习题的 中潜移默化地学会发现学过程中,教师要提炼和总结出

解题教学中要善于

的 基本模问题、提出问题，进而分析问题并解决问题，从而有效地提 升学生的学力，提高学生的学习效率，让学生学会学习.•重视模型识别策略，加强模型联想应用问题的 ，充分利用基本分析问题，体会基本 法,构建基本

中 的结解问题.当然还要提倡问题解法的解题 学中

是学 学

数学解题中开展 的“原型'.教多样化，一题多解,开阔学 路,发散学 ，使学生”，力、拓宽的 考：由当前问题 到哪些问学会多角度分析和解决问题,既 到“心中要有

题？ 的问题是当前问题的“原型”吗？ 将前问添加到“不拘泥于

解题思路、培养创新

”,这对发展学 、提升数学素养具有

题转化为“原型”？ “原型”能解决吗？有些问题中不一定 有与条件匹配的基本

构造出

，这时还需

，再利

性质

义参考文献*+张新尚.也谈中考数学中的“K型相似”[J+.理科考

的基本 应的结论，达到解决问题的目的.百02 —4的图象与0轴交于AB两点，与$轴交于点C,4例3 （2017年徐州中考）如图10,已知二次函数$ $试研究,2018（10）： 1621.