清华附中-2013、初二

一、选择题：（每题3分，共24分） 1．与12是同类二次根式的是（ ）

A．4 B．8 C．18 D．27

2．下面计算正确的是（ ）

A．3333 B．2733 C．235 D．222

3．一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且对角线的长度为8cm，则较短边的长度为（ ） A．8cm B． 6cm C．4cm D． 2cm 4．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） ．．

A． B． C． D． 5．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

2A．x

12220axbxc03x2x53x B． C． D．(x1)(x2)1 2x6．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是（ ）

A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

27．关于x的方程x4xa0有两实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A．a4 B．a4 C．a4 D．a4 8．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点，下列结论 ：①BECF2BC；② S2AEF1S4ABC；

③S四边形AEDF=AD·EF；④ AD≥EF；

⑤ AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是 （ ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（每题3分，共24分） 9．x3中x的取值范围是 ．10．化简：50＝ ．

211．关于x的方程x2mxm0的一个根为1，则m的值为 ．

212．若关于x的方程xkx90有两个相等的实数根，则k __________．

13．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是 。

1 / 8

14．如图，直线y4后得到△AO′B′，x4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°

3则点B′的坐标为 ．

15．如图，正方形ABCD中，点E在DC边上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线．．BC

上的F点，则F、C两点间的距离为 ．

yBO'B'ADE

OAx

BC

第13题图 第14题图 第15题图

16．如图，在直角坐标系中，正方形A1B1C1O、 A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn-1的顶点A1、A2、A3、…、An均在直线y＝kx＋b上，顶点C1、C2、C3、…、Cn在x轴上，若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），那么点A4的坐标为 ，点An的坐标为 ．

三、解答题：（17～20，23题每题5分，21，22每题6分，24题7分，25题8分，共52分，如无特别说明，解答题中的填空均直接写答案） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

217．解方程：x4x50 18．计算：1186(121)0

22119．已知：a =

31，求a22a2013的值．

220．求证：a取任何实数时，关于x的方程ax13ax2a10总有实数根． 21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，

且AC︰BD=2︰3．(1) 求AC的长； (2) 求△AOD的面积．

22．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用

25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，恰好用完，试求AB的长，使矩形花园的面积为300m2．

23．5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形．按照此

种做法解决下列问题：

2 / 8

（1）5个同样大小的矩形纸片摆放成图2形式，请将其分割并拼接成一个平行四边形．要求：在图2中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）； ．．

（2）如图3，在面积为1的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．则平行四边形MNPQ的面积为__________（在图3中画图说明）． ．．

24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕

点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）证明：△ABM≌△EBN

（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，则正方形的边长为 ．

25．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分EF线分别交

AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t＝ ．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式为 ．

ENMBCAD

附加题(每题4分，共20分)

26．若2，m，4为三角形三边，化简：m22m6 3 / 8

2＝ ．

27．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形

的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．

mn28．设mn0，若

mn22m2n2＝ ． 2 ，则

mn29．关于x的方程xk8x8k10有两个整数根，则整数k＝ ．

30．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），

得到△A′B′C．设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝2，连接EP，当θ= °时，EP长度最大，最大值为 ．

初二第二学期期末试卷数学参

一、 选择题：（每题3分，共24分） 题号 答案

二、填空题：（每题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9 x≥3 13 50° 10 11 1 15 1或5 （7，8） 12 ±6 16 （2n-1－1，2n-1） 1 D 2 B 3 C 4 D 5 D 6 B 7 A 8 C 52 14 （7，3） 4 / 8

三、解答题：（17～20，23题每题5分，21，22每题6分，24题7分，25题8分，共52分，如无特别说明，．．．．．．．解答题中的填空均直接写答案） ．．．．．．．．．．．．．17．解：x5x10 ……3分 x15x21 ……5分 21 ……4分 18．解：原式＝212262＝21223210 19．∵a = 31，∴a13 ，∴a123 ， ∴a22a13 ∴a22a2， ∴a22a2013220132015 20．当a＝0时，原方程为－x－1＝0，x＝－1，此时方程有实根；当a≠0时，原方程为一元二次方程， 13a24a2a19a26a18a24a a22a1a120 ，原方程有实根， 综上所述，a取任何实数时，原方程总有实数根. 21．解：（1）如图

∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴OA=11

2AC，OB=2BD …………… 1分

∵AC︰BD=2︰3，∴OA︰OB=2︰3 .

设OA=2x (x >0)，则OB=3x.

∵AC⊥AB， ∴∠BAC =90°.

在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2.…… 2分 ∵AB=2，∴(2x)2+22=(3x)2 . 解得x=±25

5

(舍负).

5 / 8

……5分 ……2分 ……4分 ……5分 ……1分 ……4分 ……5分 ∴AC=2OA=

85

. ………………………………… 4分 5

（2）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴OB=OD.

1145

∴S△AOD= S△AOB= AO·AB = ××2= . ………… 6分

2255

22．解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m． ………… 1分 根据题意可得，x（50﹣2x）=300， ………… 3分 解得：x1=10，x2=15， ………… 4分 当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，

故x1=10（不合题意舍去）， ………… 5分 答： AB的长为15米． ………… 6分 23．（1）如图2所示：拼接成的四边形是平行四边形；

； …………………… 2分

（2）正确画出图形（如图3）

…………………… 4分

故平行四边形MNPQ的面积为：

1 …………5分 524．解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN，即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分 （2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. ………………4分 理由如下：连接MN，由（1）知， △AMB≌△ENB，∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN.

F

B C

E N M A D

6 / 8

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小， 即等于EC的长 ……………….……6分 （3）正方形的边长为2 ……………….……7分

过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝

x3x，EF＝. 2222x3222

在Rt△EFC中，∵EF＋FC＝EC，∴xx2231

2解得，x＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为2

25．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC ∴CADACB，AEFCFE ∵EF垂直平分AC，垂足为O ∴AOE≌COF ∴OAOC ∴OEOF ∴四边形AFCE为平行四边形

又∵EFAC ∴四边形AFCE为菱形….……4分 (2)①t4秒 ……….……6分

3显然当P点在AF上时，Q点在CD上，

此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形 ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PCQA ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒 ∴PC5t，QA124t ∴5t124t，解得t4

3

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t4秒.

3②a与b满足的数量关系式是ab12……….……8分

由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 点P、Q在互相平行的对应边上，分三种情况：

BPFAEDOBFCAEQDC四边形.

7 / 8

i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，APCQ，即a12b，得ab12 ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQCP， 即12ba，得ab12 iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，APCQ，即12ab，得ab12 综上所述，a与b满足的数量关系式是ab12(ab0)

APBF图1

QEQDAEDAPEDQCBPF图2

CBF图3

C

附加题(每题4分，共20分) 题号 答案 26 4 27 17 28 29 8 120 30 3 23 8 / 8